例說“拼圖法”在初中數(shù)學解題中的應用

王佳

摘 要： “拼圖法”主要是指依據(jù)數(shù)學問題的具體解決需要，有意識地把幾個圖形都拼合到一起，并參照拼圖之前與拼圖之后的圖形面積、周長與角度等，對相關(guān)數(shù)學問題進行解決.鑒于此，本文主要對“拼圖法”在數(shù)學解題當中的巧妙運用進行探討，找出解題的新思路，以實現(xiàn)數(shù)學問題的高效解決.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學；拼圖法；解題；策略

新課標下，新的數(shù)學教材當中的幾何內(nèi)容明顯要比先前的內(nèi)容豐富.圖形變化也屬于“圖形與幾何”當中的主要內(nèi)容，其充分體現(xiàn)出了幾何的價值取向，即空間觀念、幾何直觀等素養(yǎng)與能力培養(yǎng).“拼圖法”常見的方法有翻折、平移與旋轉(zhuǎn)，拼圖的過程常常會涉及位置與方向的改變，這都需要開展觀察、比較、想象以及推理等一系列的思維活動，其是對學生空間觀念進行培養(yǎng)的有效載體.同時，經(jīng)過翻折、平移與旋轉(zhuǎn)等方式進行拼圖，讓圖形真正的動起來，則能在該過程中發(fā)現(xiàn)圖形始終不會改變的性質(zhì)，由此可知，拼圖法是解決相關(guān)幾何問題的有效方法，能夠使學生實現(xiàn)高效解題.

1 巧用“拼圖法”作輔助線

例1 ????如圖1所示，在 Rt △ABC中，AC＞BC，∠ACB=90 ° ，CD為△ABC的中線，E點位于CD上，且有∠AED=∠B，證明：AE=BC.

解析： ???學生依據(jù)自身經(jīng)驗，就能聯(lián)想到倍長中線法，如圖2、3，其主要的目的就是經(jīng)過圖形旋轉(zhuǎn)，將需要證明的線段AE與BC置于同個三角形，形成等腰三角形，以實現(xiàn)問題的有效解決.上述問題，也能當做是將復制的△CBD或者是△ADE拼成圖2、圖3.以△ADE為例，將△ADE拼到其他的位置，則能找出相應的輔助線.

解答： ???方法一：以AD=CD=BD當做拼圖條件.

現(xiàn)已知圖形當中的線段AD、CD、BD是相等的，將復制的△ADE當中的線段AD和已知圖形當中的CD、BD分別進行重疊，試著拼出圖4、圖5、圖6.

如圖4所示，拼圖之后，會發(fā)現(xiàn)構(gòu)成等腰三角形CBF，那么就可以作輔助線：在線段AB上取F點，確保CF=CB，以此便可證明△ADE≌△CDF，即可證AE=BC.

如圖5所示，拼圖之后，連接BF，則有BF∥AE，同時形成等腰三角形CBF，此時，作輔助線：過B點作出BF∥AE，且∠DCF=∠DAE，CF分別與BD、BF相交于O、F兩點，連接DF，可證明出∠CDB=∠CFB，又有∠CDB=∠DAE+∠AED，∠CBF=∠CBD+∠DBF，那么∠CDB=∠CBF，所以∠CBF=∠CFB，因此，CB=CF，由此可證：∠AED=∠CFD，所以，△ADE≌△CDF，所以AE=CF，也就是AE=BC.

如圖6所示，拼圖之后，可發(fā)現(xiàn)形成了等腰三角形OCF與等腰三角形OBD，可作輔助線：過C點作出CF∥AB，并使CF=DE，連接DF，且與線段BC相交于O點，以此可證明△ADE≌△DCF，且∠CFD=∠AED，由此可證OB=OD，OC=OF，那么可證明AE=BC.

方法二：以AE=BC當做拼圖條件.

試題中要求證明AE=BC，將復制出的△ADE當中的AE和已有圖形的BC重疊，可拼出圖7、圖8.

如圖7所示，拼圖之后，會發(fā)現(xiàn)構(gòu)成等腰梯形CFBD，可作輔助線：經(jīng)過C點作出CN∥AB，在射線CN上取F點，使BF=CD，此時，四邊形CFBD為等腰梯形，即可證明∠ADE=∠CFB，從而證明△ADE≌△BFC，即AE=BC.

如圖8所示，拼圖之后可形成等腰三角形BDF，作輔助線：在CD上取F點，使BF=BD，即可證明∠ADE=∠BFC，也就是△ADE≌△BFC，即AE=BC.

2 巧用“拼圖法”解證明題

例2 ????如圖9所示，在 Rt △ABC與 Rt △A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′＝90 ° ，證明： Rt △ABC≌ Rt △A′B′C′.

證明： 因為AC=A′C′，所以把 Rt △ABC與 Rt △A′B′C′拼合到一起，形成圖10，確保A與A′是重合的，且C與C′是重合的，所以∠BCB′=∠ACB+∠A′C′B′=90 ° +90 ° =180 ° .因此，B、C、B′三點共線，又由于AB=A′B′，因此∠B=∠B′.又因為∠BCA=∠B′C′A′，即得 Rt △ABC≌ Rt △A′B′C′.

例3 ????如圖11所示，鈍角三角形ABC與鈍角三角形A′B′C′當中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（∠B為鈍角），證明：△ABC≌△A′B′C′.

證明： 因為AC=A′C′，所以可將△ABC與△A′B′C′ 拼合到一起，讓A與A′重合，C與C′重合，連接BB′，詳見圖12，由于AB=A′B′，即∠1=∠2，又有∠ABC=∠A′B′C′，因此∠ABC-∠1=∠A′B′C′-∠2，也就是∠3=∠4，因此BC=B′C′.在△ABC與△A′B′C′當中，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，由此可證△ABC≌△A′B′C′.

例4 ????如圖13，在 Rt △ABC中，∠B=90 ° ，BC= 1 2 AC，證明：∠A=30 ° .

證明： ????將另一個和 Rt △ABC全等的 Rt △ABD與 Rt △ABC依照圖14的方法拼到一起，那么∠CBD=∠ABC+∠ABD=90 ° +90 ° =180 ° ，由此可知，B、C、D三點是共線的，即CD =BC+BD=2BC=AC=AD，△ACD為等邊三角形， 即∠CAD=60 ° ，所以∠CAB= 1 2 ∠CAD= 1 2 ×60 ° =30 ° ，也就是∠A=30 ° .

3 巧用“拼圖法”解實際問題

3.1 解圓的問題

例5 ????如圖15所示，在△ABC中，∠A=120 ° ，AB=AC=5，則△ABC外接圓的半徑R是多少？

解答： ???依據(jù)垂徑定理可知：作△ABC的外接圓O，且OA為∠BAC平分線，由此可知，∠OAC= 1 2 ∠BAC=60 ° ，連接OC，即OC=OA，此時，三角形OAC為等邊三角形，即OC、OA、AC是相等的，都是5，所以外接圓的半徑R=5.

例6 ????如圖16，圓O的半徑為13，其弦AB的長度是24，且AB的中點為M，而P點為圓上的動點，則PM的最大值為多少？

解析： ???依據(jù)題意可知：OM+OP≥PM，按照點圓模型的具體原理，在O、P、M三點共線的時候，PM可取最大值，則有PM⊥AB，且過點O，即點P處于P′的時候，PM值最大.

解答： ???如圖17所示，連接OA，依據(jù)垂徑定理，得AM= 1 2 AB=12.在 Rt △AOM中，OA=13，根據(jù)勾股定理，得OM=5，所以P′M=OM+OP′=18，即PM的最大值為18.

3.2 解三角形的問題

例7 ????如圖18，在△ABC與△DEF中，AB=DE，AC=DF，且∠B=∠E，∠B、∠E均為鈍角，證明：△ABC≌△DEF.

證明： ???依據(jù)題意，如圖19所示，把AC和DF拼到一起，使A點和D點兩點重合、C點與F點兩點重合，讓∠B和∠E分別位于AC或者是DF兩側(cè)，連接BE，依據(jù)AB=DE，可得∠1=∠2，又有∠ABC=∠DEF，因此∠ABC-∠1=∠DEF-∠2，由此可得∠3=∠4，所以BC=EF，按照“邊邊邊”，可證得△ABC≌△DEF.

3.3 解一元二次方程式問題

例8 ????已知長方形的寬與長之和是7，其面積是10，求長方形長和寬之差的平方.

解析： ???本題如果依據(jù)常規(guī)方法進行求解，則設(shè)長是a，寬是b，按照題意，可得到：a+b=7，ab=10，那么長和寬之間差的平方是（a-b）2，想要求出（a-b）2的具體值，可以把（a-b）2轉(zhuǎn)化成包含a+b與ab的式子，也就是（a-b）2=a2+b2-2ab=（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=49-4×10=9.除去這種直接解法，還可以巧妙地運用拼圖法加以求解，如圖20所示，將其拼到一起，則能拼成大的正方形，該正方形邊長恰好為長方形長和寬之和，中間的小正方形，則為其長和寬之間的差.

解答： ???經(jīng)過對圖20進行觀察可知，大正方形面積與4個長方形面積相減，就是小正方形的面積，也就是S 小正方形=S 大正方形-4S 長方形=72-4×10=49-40=9，因此長方形長和寬之間差的平方值是9.

4 結(jié)束語

綜上所述，將“拼圖法”運用于初中數(shù)學的解題中，既能呈現(xiàn)出化難為易、化繁為簡的效果，又能充分呈現(xiàn)出數(shù)學問題的魅力.因此，在初中數(shù)學解題教學中，教師需注重“拼圖法”的運用技巧與方法，從而使學生的解題效率得到有效提高.

參考文獻：

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