高中數學概率與統計模塊中的數學文化分析

伍倩 董白英

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求在教材中融入數學文化元素展現數學的人文價值.文章主要對2019年普通高中教科書人教A版在概率與統計模塊中融合數學文化的情況進行統計，分別從總體特征、欄目分布、類型分布三方面分析教材中數學文化的現狀.并根據分析結果提出，高中數學教學應通過融入數學史、增加數學與人文藝術、添加數學游戲等途徑進一步突出概率與統計模塊中的數學文化，從而提高學生的文化素養和學習能力.

【關鍵詞】高中數學教材；概率與統計；數學文化

【基金項目】寧夏自然科學基金項目（2021AAC03234）

一、背景

20世紀80年代國際知名數學家、教育家齊聚布達佩斯，舉辦了第六屆全球數學教育大會，會議以“數學·教育·社會·文化”為主題.“數學文化”是世界各國教育研究者和教育工作者熱議的話題，顧沛在《數學文化》一書中提出：數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點以及數學的概念和思想方法在形成和發展中所體現的文化特征和文化價值.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》多處強調數學文化的滲透，不僅僅提到“強調數學與生活及其他學科的聯系，注重滲透數學文化”的基本理念，而且要求在編寫教材時“融合數學文化和重視中國傳統文化中的數學元素”.依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，教材內容分為六大模塊，其中數學文化的相關內容以概率與統計模塊占比最多.本文主要研究2019年普通高中教科書人教A版的概率與統計模塊中數學文化分布情況，將從數學文化的總體分布情況、數學文化在各欄目的分布情況、教材中各類型數學文化的分布情況三方面進行統計分析.

二、概率與統計模塊中數學文化的分布情況

（一）數學文化的總體分布

隨著對數學文化的重視，在概率與統計模塊中數學文化主要體現在數學史、現實生活中的數學問題、其他學科中的數學知識，其中著重以學生在學校或日常生活中所能接觸的事物和活動為背景，如抽選學生參加活動、拋擲硬幣、數學成績分析、體育比賽等.教材中概率與統計模塊知識點分布集中，以必修一和選修三為主.參考教材分布，概率與統計模塊分為五部分內容：概率、統計、計數原理、隨機變量與分布、成對的數據分析，統計數學文化在各部分內容中所占比例（見表1），在計數時同一個數學文化例子歸為一處.

通過統計發現，數學文化在概率與統計模塊的五部分內容中分布情況所占比重依次為：隨機變量及分布>計數原理>概率>統計>成對的數據分析.其中統計、概率、成對的數據分析這三部分內容中的分布較為均勻，計數原理、隨機變量及分布這兩部分的數學文化內容較多，且五部分內容中所包含的數學文化主要通過生活中的數學問題培養學生的概率意識，體現數學的應用價值和文化價值.

（二）數學文化在各欄目中分布

教材中不同位置的數學文化，學生會收獲不同的學習效果，所以應該根據教材中的具體位置分析數學文化.通過查閱新人教A版高中數學教科書的內容設置，將每內容分為四個欄目：引言（每章開始的那一頁）、正文（思考、例題、探究）、拓展（旁注、數學探究、閱讀與思考、統計案例）、習題（練習、習題、復習題）.對于同一個數學文化實例，計數時以詳細介紹的位置作為計數標準，當在其余位置出現時不再重復計數.

教材中各個欄目都存在數學文化，在五部分內容中，使用條形圖分別統計四個欄目中所包含的數學文化個數（見圖2）.發現五部分內容的各欄目中數學文化分布情況基本一致，數學文化的個數排序依次為習題>正文>拓展>引言.在“正文”中，例題所包含的數學文化個數占主要篇幅.并且“正文”的例題和“習題”中都通過使用數學文化設置問題情境，用以鞏固學生的學習收獲.

不同欄目中所包含的數學文化數量也有所不同，通過餅狀圖統計各欄目所包含的數學文化個數所占比重（見圖3）.

第一，“習題”包含的數學文化數量最多，共106處，占數學文化總量的50%.可見概率與統計模塊中近一半的數學文化內容是通過“習題”進行呈現的，這是因為“習題”是鞏固新知的主要途徑，其本身是教材的重點；另一個方面，數學文化融入在“習題”中，可以通過創設情境輔助學生更好地理解數學問題.第二，“正文”包含數學文化個數共69處，占比33%，且“正文”中的數學文化元素主要以例題為主.例如，把程序問題融入例題之中，引導學生用數學的眼光看待計算機中如何選擇執行路徑的問題，加深學生對概率與統計的理解.第三，“拓展”包含數學文化個數共29處，占比14%.“拓展”中情境豐富，數學文化主要呈現在每章小結的閱讀與思考.例如，以數學歷史為背景，讓學生了解統計學在軍事中的應用，如二戰時德國坦克總量的估計問題.第四，“引入”包含數學文化個數共8處，占比4%，是占比最少的欄目，甚至在統計與隨機變量及分布兩部分內容中未出現數學文化元素.該欄目內容通常以數學在日常生活中的應用為例介紹每章所學內容.

（三）數學文化的類型分布

概率與統計模塊中不僅每一部分的數學文化數量分布不同，而且所包含數學文化的類型也有所不同.因此，根據教材中數學文化類型的不同，借鑒汪曉勤教授的分類方式，將教材中的數學文化分為數學與現實生活、數學與科學技術、數學與人文藝術和數學史四類.

概率與統計模塊中的數學文化數量多且類型豐富，數學文化類型分布情況見表2.整個模塊中數學文化個數共計221處，但是不同類型的數學文化在該模塊中的分布不均衡，其中“數學史”“數學與人文藝術”占比最少.

第一，“數學與現實生活”所包含的內容非常多，包含了能接觸或者常見的事物，例如家中日常、學校生活、職業選擇、文娛活動等都是現實生活.由于“數學與現實生活”的相關內容更貼近學生生活，且易理解，能間接拓展學生的生活常識，所以所占篇幅較大，是概率與統計模塊中數學文化內容總量的61%，超過了其他三種類型的總和.這個現象說明新教材更看重將學生容易接觸到的素材作為數學文化實例，充分體現了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的“強調數學與生活以及其他學科的聯系”的基本理念，同時也符合學生的身心發展規律及認知水平.

第二，科學技術不僅僅是指高科技、大數據，在概率與統計模塊中包含的“數學與科學技術”有高新技術、天文、地理、生活、計算機等其他學科相關知識.“數學與科學技術”的數量比“數學與現實生活”少75處，所占比例為27%.當今社會處于大數據時代，科技推動社會發展，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》也建議：引導學生認識數學在科學技術發展中的作用，實現信息技術與數學課程的深度融合.教材中融入相關的數學文化，以人工智能、信息技術應用為背景提出數學問題，甚至在“拓展”欄目中會直接給出運用信息技術解決某類數學問題的方法，可見教材也在不斷順應社會發展，緊跟時代潮流.

第三，概率與統計模塊中包含的“數學史”主要包括數學家的介紹、數學定理與公式的發展及以歷史事件為原型的數學應用.“數學史”的數量比“數學與現實生活”少121處，占全部數學文化總數的6%，和“數學與人文藝術”的數量大致相同，且大部分“數學史”出現在“拓展”欄目的閱讀材料或旁注中.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在教學建議中特別提到“引導學生了解數學的發展歷程”，通過在教材中融入數學史，讓學生了解數學的發展歷程，將大量的數學史料經過一定的“加工”融入新教材的方式是落實課標教學要求的最快途徑.因此，教材中所包含的“數學史”的數量不足，距離課標要求還有一定差距.

第四，“數學與人文藝術”在概率與統計模塊的數量最少，僅占5%.這說明教材在“數學與人文藝術”上融入過少.在統計“數學與人文藝術”數量時，數學公式、符號、嚴謹的證明、幾何圖形等都屬于數學與人文藝術范疇，體現數學的美學價值.

三、結論與建議

（一）結論

在分布數量方面，高中教材的概率與統計模塊所包含的數學文化數量較多，且其五部分內容中數學文化的數量分布比較均衡，各部分中各種類型的數學文化均有涉及.其中，計數原理部分的“習題”中所包含的數學文化數量最多，且類型主要以“數學與現實生活”為主，這說明計數原理部分與數學文化融入得更為緊密.

在各欄目中，數學文化分布并不均衡.在“正文”和“習題”占比共達83%，且數學文化都是作為問題情境設置的.例如，生活常見的氣溫變化規律、降雨量等數學問題，運用概率與統計知識解釋自然現象.在“引言”和“拓展”出現較少，僅有17%，且主要以閱讀材料形式呈現.例如楊輝三角、孟德爾遺傳規律，不僅培養學生數學閱讀能力，而且讓學生了解相關歷史背景.

從數學文化類型分布來看，“數學與現實生活”數量最多，占比61%，以“數學與人文藝術”最少.這說明教材注重學生與現實生活的聯系，以現實生活情景作為融入數學文化的載體有利于學生接受和理解，也能夠使學生深刻了解到數學文化對解決現實問題的巨大作用.

（二）建議

概率與統計是高中數學教材中五個模塊之一，在教學中將概率統計與數學文化進行合理融合，能激發學生主動思考，更有助于突破概率與統計模塊中的難點.但是，數學文化的融入給教學增加了難度，因此本文結合教材給出以下教學建議.

教學中適當融入數學史.在課堂上賦予數學更多的人文色彩，能啟發學生學習靈感，促進學生了解數學背景.如將概率與統計學發展中的一些大事件、主要人物以及重大研究成果等都納入教學中.概率與統計學中的每個概念、定理都有各自的背景故事，通過適當介紹其中精華片斷，有助于學生開闊眼界，擴大知識面，從而培養其思維和創造能力.在運用數學史時，可以把德育、數學教育和數學文化進行融合，數學史中關于數學家們對知識的艱苦探索是很好的德育內容，以豐富的情感帶領學生學習，使學生身臨其境，以便起到良好的德育教育效果.

教學中增加數學與人文藝術.一方面，根據學生不同階段的身心發展特點，采用多種多樣的案例進行教學，能使學生將所學的概率統計知識與生活經驗相對照，理解概率與統計在生活中的重要用途；另一方面，教學中要注重引導學生發現生活中的數學美.例如函數表達式中包含了簡約美，通過不同函數可以畫出美輪美奐的圖案；再如車牌號碼中字母所代表的含義等，這些都可以激發學生的探索興趣.

教學中適當添加數學游戲.概率與統計中除了大量的學科知識外，還包含了豐富的數學思想.在教學過程中，可以通過數學游戲有效提高學生的思維邏輯和解決問題的能力.數學游戲屬于數學文化的重要組成部分之一，在教材中也多次呈現，例如骰子模型計算概率、紙牌游戲、莫比烏斯帶等.游戲在課堂中不僅能快速的激發學生思考，也能調動學生學習的積極性.

文章主要對2019年普通高中教科書人教A版在概率與統計模塊中融合數學文化的情況進行統計，分別從總體特征、欄目分布、類型分布三方面分析了數學文化的融入現狀.分析結果顯示，教材中數學文化的數量在不同部分、不同欄目中分布存在差異，且數學文化類型各有不同.根據分析結果，提出在高中數學教學中通過融入數學史、增加數學與人文藝術、添加數學游戲等途徑進一步突出概率與統計模塊中的數學文化元素，從而提高對學生數學文化素養的培養質量.

【參考文獻】

[1]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

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