分類討論：建構初中數學嚴謹的思維方式

徐茜敏

【摘要】分類討論是一種解題方法，也是一種思維理念.學生熟練運用分類討論方法，可以提高解題的正確率，培養嚴謹的思維習慣.本文首先分析分類討論思想在初中數學教學中的應用意義，然后從“創設熟悉情境，培養分類意識”“依托分類思想，厘清數學概念”“布置分類任務，探究幾何問題”“注重解題訓練，實施分類實踐”四個方面探索分類討論思想在初中數學教學中的有效應用策略.

【關鍵詞】分類討論；初中數學；課堂教學

分類討論思想，是解決問題的一種基本策略，更是一種嚴謹的思維方式.這需要學生根據合理的邏輯，將研究對象劃分成各種不同的類別，在整理和分析的過程中推導出正確的結論.當前，分類討論思想在初中數學教學中得到廣泛應用，對于公式、定理、概念、運算等抽象的知識點都能起到良好的教學指導作用.下面，筆者結合具體的教學案例，對分類討論思想在初中數學學習中的應用談一談自己的思考和實踐.

1 分類討論思想的應用意義

1.1 提高問題分析能力

并非所有的問題都有唯一的答案.如果學生無法意識到這個關鍵點，說明初中生未能從小學階段的學習觀念中脫離出來，數學思想存在薄弱點，在思考和研究的過程中很容易出現遺漏答案的情況.教師可以應用分類討論思想，彌補學生在問題思考方面的短板.比如，針對某些結果不唯一的數學問題，讓學生學會根據不同的情況、不同的標準，逐一討論.之后，將所有討論結果歸納匯總，將問題的答案逐步完善.由此，就能逐步養成良好的分類思考習慣，讓學生的數學思維變得更為嚴謹，避免他們出現思維定式的問題.

1.2 優化探究學習方式

傳統的數學學習方式通常以套用模板、反復刷題的方式為主，教師會采用“滿堂灌”的方式，將知識點直接填充給學生.在這種情況下，很容易僵化學生的數學思維，導致學生的探究學習效率低下.教師應該優化教學方式，讓學生嘗試運用分類討論思想，對不同的知識類別進行舉例.這樣既可以鍛煉學生的合作探究能力，也能提高學生的思維水平，幫助學生更好地認清數學學科的本質.

1.3 靈活運用基礎知識

運用數學基礎知識解決問題是數學學習根本目標，但很多問題往往答案不唯一，需要進行不同的假設后才能分別得出答案，而一旦問題需要從多角度進行分析思考，學生的答題就會陷入僵局.通過運用分類討論思想，可以幫助學生靈活應用所學的基礎知識，將重要的公式、概念、定理融會貫通^[1].比如，數學問題的某個已知量中包含字母，學生在解答這類習題時，應有意識地根據字母的取值范圍進行分類討論，求解出不同的題目結果.這樣可以確保解題方向的正確性，從而讓學生更好地遷移運用基礎知識.

2 分類討論思想在初中數學教學中的有效應用策略

2.1 創設熟悉情境，培養分類意識

分類討論需要兼顧很多問題細節，許多初中生由于不熟悉分類討論的思考方式，當求解出一個答案之后，就會習慣性地終止思考，忽略了有多個答案存在的情況.新課標鼓勵教師運用情境教學的方式，引發學生的參與積極性，從而讓學生逐漸熟悉分類討論的學習方式，培養出良好的分類意識.

首先，教師可以在教學中融合生活元素，讓情境更富有真實感.

例如 教師在教學蘇科版初中數學八下有關“直方圖”的課程時，可以通過電子白板創設以下生活情境：某初中學校為了舉辦廣播體操比賽，需要選拔一些身高相仿的學生加入方隊.同時，屏幕上會展示一張身高調查表.教師根據調查表提出問題：“如何針對表中的數據，合理進行分類？”該情境問題具有一定的開放性，學生可以大膽發表自己的觀點.比如，有的學生認為應當繪制頻數分布表，有的學生認為應當先取平均數，有的學生認為應當標注好組數、組距.根據學生的看法，教師可以讓意見相同的學生相互合作，嘗試結合調查表繪制直方圖，并根據不同的取值范圍，得出最為合理的身高選取范圍.

其次，教師可以通過新舊結合的方式，構建教學情境.所謂新舊結合，是以舊知識為基礎，引發學生的深度聯想，與新知識相互關聯在一起.

例如 教師在講解有關一元二次方程根判別式的知識點時，可以結合以前所學的知識點，導入以下問題情境：關于一元二次方程，我們曾經學習過各種解析的方法，大家是否能通過分類的方式，將這些方法逐一列舉出來.學生通過回憶，可以總結出直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法四種解題方法.此時，教師可以列舉四道方程例題，鼓勵學生求解出結果，并趁熱打鐵，進一步提出分類討論問題：認真觀察以上方程的根，分析這些根的情況是否存在差異性.學生通過討論判定，可以發現這些根的情況并不相同.有的存在兩個實數根，且二者相等；有的同樣存在兩個實數根，但二者不等；還有的不存在實數根.根據學生的討論結果，教師可以展示一些經典例題，讓學生思考以上總結的三種情況需要什么條件才能出現.由此，學生在反復分類討論的過程中，就能從中得到良好的學習啟發，認識到根的判別式在解題中有什么樣的應用意義，逐漸體會分類討論思想的嚴謹性^[2].

2.2 依托分類思想，厘清數學概念

概念的掌握是學習數學的前提和基礎，其中涉及公式、定理、法則等類型豐富、內容抽象的知識要點.一般情況下，概念的表達是嚴謹的，甚至每一個字都有著很重要的意義.在進行概念教學的時候，教師要滲透分類討論的思想，幫助學生深刻掌握概念的內涵，充分夯實學生的數學基礎^[3].

針對某些容易混淆的數學概念，由于它們的相似性相對較高，教師就可以利用分類討論思想，厘清概念，讓學生能夠深刻記憶.

例如 對于“絕對值和相反數”的概念，學生很容易弄混.教師可以利用生活場景，選擇三個位于一條直線的三個地方A，B，C，其中AB=BC，B為中點.教師可以將三個點放在同一條數軸之中，B剛好與原點重合.此時，教師提出思考問題：A點和C點與原點有什么關系？學生經過觀察后，可以得出“兩個點距離原點均相等”這個結論.在數軸上，教師可以用正負數標記這兩個點的數值.并繼續提出問題：如果消除掉這兩個數的正負號，二者之間的關系是什么？當學生回答相等這個答案之后，教師就能順利導出相反數這個數學概念.在此基礎上，教師可以繼續布置分類討論學習任務：A點與C點到原點的距離與什么因素有關？與什么因素無關？借助生活經驗，學生會意識到，距離是一種長度，應當以正數表示，而絕對值必定是正數.數軸上的數字需要考慮數字所處的位置，與正負性密切相關，需要用正負數加以表示，明顯不適用于現實中的距離問題.由此，學生在分類討論的過程中，就能明確兩種數學概念的不同之處.

2.3 布置分類任務，探究幾何問題

幾何問題是數學學科的學習難點，這類問題同樣能應用分類討論思想加以解析.一般來講，學生需要從圖形位置、圖形形狀兩方面入手，討論對應的圖形問題.對此，教師可以結合分類討論理念，讓學生深入理解幾何圖形有哪些性質特點，找出解決幾何問題的有效方法^[4].

例如 教學“直線與圓位置關系”時，教師可以組織富有趣味性的小實驗，讓學生使用圓規在草紙上繪制一個圓.隨后將直尺放置在圓上，嘗試上下移動.并提出實驗問題，如果將直尺視為直線，你認為這條直線通過移動，能與圓出現幾種位置關系？學生們通過實驗操作，不難發現相交、相切、相離三種情況.之后，教師可以通過多媒體播放日出的動畫，將太陽視為圓，將地平線視為直線.并引出思考問題：如視頻所示，日出的過程可以直觀反映出相交、相切、相離三種直線與圓的位置關系，圓和直線在這三種關系中分別有幾個公共點？學生既可以主動上臺操作多媒體設備，在大屏幕上標記出三種位置情況下公共點的數量，也可以在臺下自主探究，通過實驗和猜想得出結論.在此基礎上，教師可以繼續布置分類探究任務，在相交、相切、相離三種情況下，分別判定圓的半徑跟圓心到直線的距離的長短關系.借助分類討論學習任務，可以從不同的角度梳理幾何圖形位置關系的知識要點.這樣既可以提高學生的幾何課程學習效率，也能在潛移默化中滲透數形結合思想，培養學生良好的幾何直觀核心素養.

2.4 注重解題訓練，實施分類實踐

除了基礎教學，分類討論思想也是解析數學題的重要武器.在新課改的背景下，初中階段的數學題目多以實踐應用為主，題干信息相對比較復雜.學生在讀題過程中，經常會遺漏掉重要的條件，或因為對數學概念掌握得不夠扎實，導致學生的解題結果存在偏差.因此，教師應當從日常的解題訓練入手，將分類討論思想融入其中，充分強化學生的實踐解題能力.

例1 假如等腰三角形中有一個角為50°，試問該等腰三角形的頂角為多少度？

解析 許多學生在面對這類題目時，很容易出現思維定勢，將題目中給出的角默認為底角，再經過相應的計算，求出頂角為80°.但題目中并未明確說明這個角不可以為頂角.因此，根據分類討論思想，應當得出50°和80°兩個答案.

例2 有一個等腰三角形，它的其中兩條邊長分別為3cm和6cm，試問周長為多少？

解析 有些學生因為例1的前車之鑒，會下意識地使用分類討論思想，將3cm和6cm分別視為等腰三角形的腰長，進而得出12cm和15cm兩個答案.這屬于對分類討論思想的誤用，因為分類討論既要有分類的過程，也要論證每一種情況是否合理.在本題中，若腰長為3cm，則兩腰的長度和為6cm，正好與底邊6cm相等.根據三角形的基本定義“任意兩邊的長度和必定大于第三邊的長度”，說明這種情況不合理，應當排除.因此，本題只有15cm一個答案.

例3 解方程|x－1|=2.

解析 根據以往的學習經歷，當題目中涉及絕對值時，學生應當產生警惕意識.在題目中，絕對值為2的數字有2個.因此，教師應對x－1=2或x－1=－2展開分類討論，分別求出3和-1兩個正確答案.

例4 嘗試比較1+a與1－a的大小.

解析 在實際做題中，針對比較大小類的問題，采用作差法的方式最為合適.通過列式1+a－1－a，經化簡可得2a.此時，需要從2a=0，2a<0三方面進行分類討論.由此可見，當a>0時，1+a>1－a；當a=0時，1+a=1－a；當a<0時，1+a<1－a.

綜上所述，教師通過各種類型的習題演練，可以幫助學生迅速熟悉分類討論思想的實踐應用，強化學生的解析思路，從而掌握良好的解題技巧.運用分類討論思想，既能提高學生做題的準確性，又能培養他們嚴謹的數學思維，更有利于學生數學核心素養的發展^[5].

3 結語

在初中數學教學中合理運用分類討論思想，不僅能讓學生掌握高效的解題技巧，也能幫助學生將數學基礎知識融會貫通.教師應當從情境、概念、幾何、解題等方面入手，深化分類討論思想的實踐應用，讓學生在探究過程中充分掌握數學學科的知識要點，將復雜的問題有效簡化，全面發揮分類討論思想的實踐作用，從而幫助學生在數學學習中構建嚴謹的思維方式.

參考文獻：

[1]王珍.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用[J].中學數學，2023（12）：73-74.

[2]徐水花.初中數學分類討論思想運用原則與學習策略[J].現代中學生（初中版），2023（06）：11-12.

[3]柳廣社.分類討論思想在初中數學解題中的應用探索[J].數學學習與研究，2023（06）：65-67.

[4]黃道全，龔敬明.例談分類討論思想在中考綜合試題中的運用[J].數理化學習（初中版），2023（01）：17-20.

[5]單俠飛.分類討論法在初中數學解題中的有效應用[J].數學之友，2022，36（23）：81-83.