活用情境，巧設問題，生成發(fā)展

董文峰 任宏章

課題信息：本文系蘇州市教育科學“十四五”規(guī)劃初中教育專項重點課題“基于核心素養(yǎng)的數學生成性課堂教學模式的構建”（課題編號：2021/C/01/005/07）的研究成果.

摘要：二次函數的概念教學，以生成性教學理論為指導，依據學生原有的知識基礎和學習經驗確定學習目標，通過創(chuàng)設問題情境，實行課堂靈動對話，讓學生自然獲得研究二次函數概念要素之間關系的方法，自然生成二次函數概念，形成研究數學概念的思維能力，發(fā)展數學直觀、數學抽象等素養(yǎng).

關鍵詞：生成性學習；二次函數；生成發(fā)展；核心素養(yǎng)

對于數學概念的教學，一般更多關注的是怎樣“習得”概念，課堂偏重于教師的教的設計和學生對數學概念的表述和理解.

筆者感覺數學概念教學多關注學生怎樣“研得”概念.從學生學習的角度出發(fā)進行課堂問題設計，通過課堂對話開展學習，課堂聚焦學生的數學思維能力的培養(yǎng)，課堂重心落在在怎樣“研得”概念上，落在數學概念的模型建構上，落在數學研究對象本質特征的感悟和發(fā)現上，自然生成數學概念，學生的數學核心素養(yǎng)在數學概念的“研得”過程中得到提升.

下面筆者以蘇科版初中數學九年級下冊第六章“6.1二次函數”為例，闡述“研得”二次函數概念的過程.

1 學習目標的素養(yǎng)定位

生成性教學觀點認為：學生的已有經驗和現有水平是有效建構生成性教學的基礎和起點，只有以學生的基礎為生成點，才是有效進行生成性教學.教師通過與學生的平等對話，促使學生的知識理解和掌握水平在課堂上充分地展現出來，這樣在課堂教學中，教師就可以較好地照顧到每個學生的發(fā)展，對預設的教學目標進行或升或降的調整和改變，以適合當前學生發(fā)展水平的需要［1］.學習過程以生成性教學理論為指導，希望通過創(chuàng)設問題情境，設計串聯問題驅動，實行課堂靈動對話，促進數學知識、數學方法和數學思想的自然生成，實現學生抽象建模和邏輯推理等數學素養(yǎng)的提升.

鑒于此，確定學習目標如下：

（1）以舊引新，依據課本圖片素材，預設生成變量關系，形成對二次函數變量關系的初步理解；

（2）建立模型，激活原有認知經驗，通過類比發(fā)現二次函數關系式的本質特征，概括、抽象二次函數的概念；

（3）鞏固理解，利用概念解決問題，會確定二次函數自變量的取值范圍，形成運用二次函數概念解決問題的能力；

（4）總結建構，鞏固研究函數對象關系的基本方法，提高研究數學概念的思維能力，發(fā)展數學直觀、數學抽象等素養(yǎng).

學習重點：從實際情境中抽象出二次函數模型，通過觀察、比較、概括，抽象生成二次函數概念.

2 學習過程的環(huán)節(jié)設計與教學分析

我們知道，課堂學習的溝通不僅包含信息發(fā)出的表達與信息接收的傾聽，還包括信息接收者對信息發(fā)出的反饋，師生高階的思維對話是思想的碰撞、共建，是思維互動與智慧共生.

2.1 創(chuàng)設問題情境，感悟變量關系

教者呈現出兩幅圖片，如圖1、圖2所示.

圖1是初中七年級上冊第一章第一節(jié)“生活與數學”中的圖片，圖2是八年級上冊第六章第一節(jié)“函數”中的圖片.

圖1中，長方形籬笆問題涉及到哪些量？針對圖1，同學們想提出什么問題？

圖2中，水滴激起的波紋不斷向外擴展的過程中涉及到哪些變量？針對圖2，同學們想提出什么問題？

教學分析：此設計基于情境，從學生的生活現實出發(fā)，著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，采用已經學習過的教材上的兩幅圖片，一下子調動了學生的學習興趣，讓學生充分感悟數學與現實世界之間的聯系.再通過設問，激發(fā)學生想要探求實際問題的欲望，引發(fā)學生的深層思考.學生主動發(fā)現了數學問題中的基本要素，進而提出要研究的問題，為深入研究數學問題中基本要素之間的關系做了良好鋪墊.在問題的探討過程中學生有了系統思維的意識，進行了多元對象之間關系的梳理.

2.2 依據變量關系，建立函數模型

針對圖1、圖2，教者接著提出如下問題：

問題1? 蘇科版七年級上冊第7頁“試一試”第3題——學校打算用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔.怎樣圍可使小兔的活動范圍較大？

若16 m長的籬笆圍成的長方形生物園長為x m、寬為y m，則x，y有何關系？

若圍成的長方形生物園面積為16 m2，其長為x m、寬為y m，則x，y有何關系？

若16 m長的籬笆圍成的長方形生物園長為x m、面積為S m2，則x，S有何關系？

問題2? 如圖2，若水滴激起的波紋不斷向外擴展的圓面積為S、圓周長為C、圓的半徑為r，則S，C，r之間有何關系？

問題3? 如圖3，一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子，四周鑲有邊框.已知鏡面的價格是120元/m2，邊框的價格是30元/m，加工費為45元.設鏡面寬為x m，求總費用y（單位：元）.

教學分析：教者設計的問題1與問題2，巧妙運用課本情境，通過追問，自然得到了變量間的不同關系，生成學生熟悉的一次函數、反比例函數模型，還有即將研究的新的函數模型（二次函數）.這些變量關系放一起，通過比較，在原有學習經驗的驅使下，學生很容易就會產生疑問“S＝πr2”“S=8x-x2”是什么函數？此時繼續(xù)拋出問題3，問題3的設計對變量間的關系提出了更高的要求，也為后面新函數的一般形式“y=ax2+bx+c（a≠0）”的出現作了鋪墊，彌補了前面沒能呈現出的含有a，b，c的函數模型.

2.3 類比發(fā)現特征，抽象生成概念

教者依據得出的數學關系式請學生辨別哪些是之前沒有學過的函數式？學生很自然地辨別出這樣的結果：關系式y=8-x，C=2πr是一次函數，關系式y=16x是反比例函數，關系式S=12Cr可以轉化為S＝πr2.關系式S=8x-x2，S＝πr2，y=240x2+180x+45是函數關系式嗎？如果是，是什么函數呢？

師：觀察“S=8x-x2，S＝πr2，y=240x2+180x+45”，這些函數有哪些共同特征？

生1：自變量的最高次數都是二次.

生2：等式兩邊的式子都是整式.

師：如果讓你給這些函數取個名字，會怎么取？

生3：二次函數.

師：那什么是二次函數？你能給它下個定義嗎？

學生有些猶豫，教者等待30 s學生依然沒有反應.于是教者讓學生回顧一次函數的定義.

師：一次函數是怎么定義的？

生4：函數y=kx+b叫做一次函數.

師：k和b有要求嗎？

生4：k和b為常數，且k≠0.

師：你能完整敘述一次函數的定義嗎？

生5：形如y=kx+b，其中k和b為常數，且k≠0的函數叫做一次函數.

師：什么是二次函數？能下定義了嗎？

生6：形如y=ax2+bx+c的函數稱為二次函數.

生7：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）的函數稱為二次函數.

生8補充道：其中，x是自變量，y是x的函數.

師：式子S=8x-x2，S＝πr2好像不是這個形式？

生9：是這個形式，只不過前一個式子的常數項是0，后一個式子的一次項系數和常數項都是0.

師：太棒了！為你點贊.像一次函數一樣，我們把函數式y=ax2+bx+c中的a，b，c分別稱為二次項系數、一次項系數和常數項.

師：a能不能等于0？

生10：a不能等于0，如果a等于0，ax2項就不存在了，它就不是二次函數了.

師：太棒了！你的認識真到位，b，c有要求嗎？

生11：b，c可以等于0，沒有限制條件.上面兩個式子就是例證.

師：請分別說出函數式S=8x-x2，S＝πr2，y=240x2+180x+45中的二次項系數、一次項系數和常數項.

…………

教學分析：蘇科版初中數學教材中的情境問題只有二次函數模型，教者挖掘課本素材，通過變量關系的感悟增加了一次函數、反比例函數模型，當學生提到一次函數這個名詞時，教者很敏銳地抓住契機，得出二次函數名稱，并引導學生從呈現的關系式中抽象二次函數的特征.

課堂在師生的對話中推進，二次函數的特征、內涵和關鍵點都由學生通過觀察、比較、發(fā)現得出.特別是當學生不能歸納二次函數概念時，教師不是急切地表達，而是耐心地等待，通過類比一次函數的概念，讓學生去細細地品位.學生思考后大膽發(fā)表自己的見解，概念在學生互相修正中完善，最終形成完整的二次函數概念的表述.

2.4 變式拓展問題，活用概念解題

教者在概念形成后設計了三個問題，鞏固對二次函數概念的理解和運用.

問題4? 下列函數中，y是x的二次函數的是哪些？說明理由.

（1）y=x+1x2；

（2）y=（x-3）2-x2；

（3）y=ax2+bx+c.

教學分析：問題4針對二次函數的概念進行鞏固，其中包含了常見的典型錯誤類型.第（1）個表達式從形式上看存在二次，實際為負二次，所含式子是分式.第（2）個表達式直接判斷時很容易認為是二次函數，但化簡來看二次項可以相減，最后結果只存在一次項和常數項，是一次函數.教者的提醒促進了學生深入思考，函數的判斷不能只看表象，要通過簡化看實質.第（3）個表達式教者引導學生觀察二次項系數沒有限制條件，不能作出判斷，學生的補充使判斷思路更加清晰.這樣的三個表達式加深了學生對二次函數概念的理解，提高了學生的辨證思維能力.

問題5? 已知函數y=（m+3）x〖JB（|〗m〖JB）|〗-1，求m的值.

在學生提議之下進行分類，如下：

（1）已知一次函數y=（m+3）x〖JB（|〗m〖JB）|〗-1，求m的值.

（2）已知反比例函數y=（m+3）x〖JB（|〗m〖JB）|〗-1，求m的值.

（3）已知二次函數y=（m+3）x〖JB（|〗m〖JB）|〗-1，求m的值.

生12：對于問題（3），根據題意得〖JB（|〗m〖JB）|〗-1=2，則m=±3.

生13：m≠-3，二次項的系數不能為0.

教學分析：

問題5中只給出了一個關鍵詞“函數”，在教師的意料之中，學生蒙了一下后，發(fā)現題目是開放的，需要分類討論.學生提出了函數分別為一次函數、反比例函數和二次函數三種情況.當生12求出問題（3）中m的值時，生13馬上指出“m≠-3，二次項的系數不能為0”，說明學生對二次函數概念的理解已經很深刻了.

問題6? 如圖4，用16 m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻長6 m）的長方形生物園飼養(yǎng)小兔，設垂直于墻的一邊長為x（單位：m），生物園的面積為y（單位：m2），求y與x之間的關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

教學分析：

通過追問，引導學生對問題進行深入分析，不斷激發(fā)學生思考，得出函數關系式，進而歸納出自變量的取值范圍.自變量的取值除了使函數式有意義，還必須使實際問題有意義.學生對相關問題的認識有了進一步的理解，也為后期研究二次函數應用問題做了鋪墊.

2.5 整體總結建構，生成認知體系

問題7? （1）本節(jié)課是怎樣引入二次函數概念的？

（2）二次函數的本質特征是什么？什么是二次函數？

（3）本節(jié)課研究了二次函數概念在哪些方面的應用？

（4）通過本節(jié)課的學習，你還有哪些疑問？

師生對話后，最后學生提出：通過本節(jié)課的學習，我們還想知道二次函數的圖象是怎樣的，有什么性質，還有哪些運用.

教學分析：課堂小結教者沒有采取直白告知的方式，而是設計了四個問題，讓學生回顧、梳理、表述，教者適時追問，學生自主總結，自然形成二次函數概念的認知體系、研究方法.通過第（4）個問題的回答，甚至形成整個二次函數章節(jié)學習的體系框架.

3 教學反思

課堂從學生已有的知識和學習經驗開始，在知識、方法和思想不斷生成的過程中推進學生核心素養(yǎng)的形成、課堂學習的深度開展和靈性智慧的提升，課堂學習取得了良好的教學效果［2］.

3.1 基于情境，系統思考，提出問題

本節(jié)課以學生已有的學習經驗為基礎，深入挖掘已經學過的圖片問題中數學元素之間的關系，把新知識的學習建立在舊知識基礎之上，沒有就題論題，而是突破教材情境問題中只有二次函數模型的情況，更廣泛考慮了周長一定長與寬的關系、面積一定長與寬的關系等內容.通過教師引導，學生在真實的情境中系統思考，發(fā)現關系和提出問題，生成除即將研究的二次函數表達式外，還有一次函數表達式、反比例函數表達式，多元數學元素之間的關系更符合問題的實際，更符合學生認知的實際.

3.2 問題導向，類比研究，揭示本質

課堂學習是以教師創(chuàng)造性地設計，學生創(chuàng)造性地學，最終獲得充分發(fā)展，而不是以記憶與理解來作為教學效果的最終特征［3］.本節(jié)課通過“情境+問題串”的方式組織學習活動，充分挖掘教材素材，七個問題串聯，逐步揭示二次函數概念及組成要素之間的關系，通過類比一次函數發(fā)現二次函數的特征——兩個變量、自變量最高次數為二次、二次項系數不為0、整式形式，進一步通過類比抽象概括出二次函數的概念.

概念的運用環(huán)節(jié)設置了三個問題，第一層次是判斷，第二層次是確定字母系數的值，第三層次是關系式的建立和自變量取值范圍的確定，這樣的變式處理從不同角度由淺入深加強學生對二次函數概念本質特征的理解.

3.3 靈動對話，整體建構，生成發(fā)展

在課堂學習過程中，教師給予學生足夠的思考空間，激發(fā)興趣，開拓思維，從而促進學生的深度學習.對于二次函數的概念，課堂中沒有匆忙“給出”，而是引導學生觀察、比較，激活學生原有的認知經驗.對于二次函數的概念，一個學生的表達不完善，被接著的學生補充，教師的等待和追問推動了概念的表達，概念在不斷生成的過程中完美呈現，從而促進學生對二次函數概念的深刻思考和再認識，推動學生抽象概括、推理能力等數學素養(yǎng)的形成.這一學習過程也充分體現了研究數學概念的一般思考方法.

課堂最后的小結階段，設計了四個小問題引導學生回顧本節(jié)課的學習內容，通過學生的交流對話、自主總結，整體建構形成認知體系.問題7（4）引導學生大膽預測即將學習的內容，學生的展望準確、到位，學生的學習能力在這樣的學習過程中得到培養(yǎng).這樣體現生成發(fā)展教學意義的課堂小結，使學生帶著問題進課堂，滿懷解決問題后的喜悅走出課堂，抑或帶著新的疑問進行課后的深入研究［4］.

本節(jié)課的學習過程中，學生“研得”了函數的概念，更重要的是進一步鞏固了研究函數的基本方法，即從生活情境中建立函數模型，發(fā)現新函數模型，思考新函數模型的特征，抽象新函數概念，利用新函數概念解決問題.發(fā)展了數學模型意識和數學抽象能力.

參考文獻：

［1］宋健，劉廣利.教師促成生成性教學的有效建構之探究——論生成性教學的注意環(huán)節(jié)及實踐訴求［J］.現代教育論叢，2008（8）：50-53.

［2］任宏章，周正峰.以人為本 道法自然 生成發(fā)展——指向生成的初中數學課堂教學實踐［J］.中學數學月刊，2021（11）：9-11.

［3］程琳，康釗，焦浩進.生成性教學的價值取向探究［J］.教學與管理，2016（30）：11-13.

［4］任宏章.立足動態(tài)課堂實踐，促進師生智慧提升——關于動態(tài)生成的課堂教學實踐的思考［J］.教育界：教師培訓，2017（11）：8-10.