數形結合思想在高中數學教學中的應用與分析

陳元斌

【摘要】新課標明確提出，要重視學生自主學習和解題能力的培養和提升，強調數學興趣的激發，重視學生終身學習能力和意識的形成.而數形結合思想通過數量關系和圖形的結合，能夠有效降低數學學習的難度，充分落實新課標要求.

【關鍵詞】數形結合；高中數學；課堂教學

高中數學與小學數學和初中數學比起來，具備一定深度和難度，學生的學習過程有一定難度，而數形結合思想的運用能夠有效降低數學教學中的難度和抽象性，讓學生在數形轉化中感受數學的樂趣，有利于學生進一步深入數學教學中開展學習活動.

1 數形結合思想內涵

數形結合思想是近幾年逐漸被應用的教學方式，將數字與圖形有機結合，能夠提高學生對數學定理、概念的理解深度，強化數學問題的解決效率，一定程度上降低數學習題難度，具有重大教學價值.通過數形結合思想，學生能夠將圖形和數量關系有機結合，解決實際數學問題.對數形結合思想的運用可以分為以形助數和以數解形兩種方式，一方面能夠利用圖形表達意義、概念、屬性等，一方面能夠運用圖形表示數量、公式之間的關系，二者相互獨立，卻又相互聯系、相輔相成.

2 數形結合思想在高中數學中的運用優勢

2.1 降低知識難度

高中階段的數學具有較強的抽象性、邏輯性和理論性、計算性等特點，而高中階段學生雖然具有一定數學基礎和數學思維，但對抽象、復雜的教學內容難以真正掌握和理解，容易對數學學科的學習形成恐懼、抗拒心理，不利于數學課堂質量的提升，而在高中數學教學中運用數形結合思想，能夠將抽象的數學定理、公式通過圖形的方式直觀、形象地展示給學生，降低數學教學的困難程度，便于培養學生運用數形結合思想解題的能力，使學生能夠在自主學習中理解、學習教學知識，提高自身自主性和獨立性，進一步培養數學能力和數學素養.

2.2 降低問題難度

在教學中運用數形結合思想能夠降低學生理解數學定理的難度，同時，數形結合思想能夠運用到實際問題的解決中，增加學生解題路徑和思路，將復雜、抽象的數量關系以圖形的方式展示，明確數量之間的關系，使學生能夠更加便捷、明確地探究數學問題中數量關系之間的聯系，從而運用更加便捷、合理的方法解決問題，幫助學生解決數學難題.由此可見，數形結合思想能夠運用到數學知識的學習和數學問題的解決中，教師要重視對學生運用數形結合思想能力的培養，提高他們數學核心素養.

3 數形結合思想在高中數學中的運用原則

3.1 等價性原則

數形結合思想運用要遵循等價性原則，即圖形性質與代數性質的等價互換，如果忽視數形結合思想的等價性原則，學生在實際運用數形結合思想時容易出現一定漏洞，并不是所有數量關系皆能夠運用圖形表達，圖形也具有一定局限性，圖形多用于說明，具有直觀性、形象性特點.

3.2 雙方性原則

數形結合思想的運用要遵循雙方性原則，即運用數形結合思想解決問題時，要在分析直觀幾何的基礎上對抽象的代數進行分析，如果在運用數形結合思想時偏向于某一方面，則容易產生錯誤.

3.3 簡單性原則

數形結合思想在運用時要遵循簡單性原則，在運用數形結合思想前，要分析具體問題是否需要運用數形結合方法，以及運用后是否能達到理想的效果，同時，要設計切入點，科學、合理地將數形結合思想運用到數學解題中，建立數與性的關系并轉化，要注意數學隱含條件的挖掘，提高結果的精準性.

4 數形結合思想在高中數學中的運用策略

4.1 將數形結合思想與教材內容結合，避免學生記憶混淆

高中階段數學學科中涵蓋豐富的數學知識，由于數學學科的特點，部分知識具有較強的相似性和關聯性，學生在實際學習中容易出現記憶混淆、運用混淆等現象，導致學生在開展數學習題訓練時難以提高數學習題的正確率，從而打擊學生的學習信心，不利于學生長期、持續地學習數學［1］.高中階段數學知識與數形結合思想具有緊密聯系，面對這一情況，教師在實際教學中可以將數形結合思想與數學教材有機結合，通過數形結合思想的直觀和形象特點，使學生能夠區分教材內容的差異性和相同性.

例如 人教版高中數學高一必修一“集合的基本運算”一課中，圍繞并集、交集等概念、意義展開，以掌握并集、交集、補集的概念，符號之間的區別與聯系為教學重難點.高一的學生剛剛步入高中階段，數學思維仍然停留在初中階段，很大一部分學生在學習這部分內容時以背誦概念為主，解決問題以套用概念為主，但隨著時間的推移，學生對這部分內容的記憶逐漸減少，非常容易出現記憶混淆、遺忘的現象，基于此，教師可以將數形結合思想與教材內容有機結合，運用維恩圖將并集、交集、補集直觀、形象地展示給學生，通過圖象和教材概念的結合，使學生明確三者的意義和異同，提高學生對數學知識的理解，強化數學記憶深度.

4.2 數形結合與數學教學結合，增加數學知識理解深度

高中階段的數學知識具有綜合性、抽象性和豐富性，強調學生對數學知識的學習和運用，但在以往教學中，教師以口述教學為主，更側重于數學理論知識的內涵和意義教學，學生在課堂教學中以聽和做為主，缺乏自身思維的運用，導致學生在學習過程中容易出現難以理解、死記硬背的現象，難以提高學生學習效率和學習效果［2］.數形結合思想能夠將數學知識直觀、形象地展示給學生，對學生數學思維具有一定促進作用，基于此，教師可以將數形結合思想與高中數學教學有機結合，提高高中數學教學的直觀性，使學生能夠真正投入數學課堂中，感受數學中蘊含的趣味，進一步理解數學知識，提高學生對數學知識的理解深度和廣度.

例如 人教版高中數學高一必修一“二次函數與一元二次方程、不等式”一課中，圍繞二次函數、一元二次方程、不等式概念、定義、計算方法和關系展開，以掌握二次函數、一元二次方程、不等式之間的關系為教學重難點.這部分內容涉及的知識點相對較多，教師在實際教學要改變以往的口述式教學方法，運用更加明確、直觀的教學方法，將數形結合思想與教學有機結合，以圖象的方式將三者的解的關系展示，使學生能夠更加直觀地掌握三者的關系，加深對教學內容的理解和感受.

4.3 數形結合與數學作業結合，夯實學生數學知識基礎

數學基礎對學生而言是非常重要的，只有具有夯實的數學基礎，學生才能腳踏實地不斷深入學習.教師要重視學生數學基礎的構建，不斷夯實基礎，為后續更加深入學習奠定基礎.教師可以通過布置數學作業的方式，運用實際問題促使學生將掌握的數學知識應用于實際，提高學生對教學內容運用的靈活性.高中階段數學問題具有較強的抽象性和綜合性，數學作業對學生而言具有一定的困難，基于此，教師可以引導學生利用數形結合思想，將數學作業中的數量關系以圖象的方式展示，增加降低作業難度，使學生能夠夯實數學基礎的同時形成數形結合思想［3］.

例如 人教版高中數學高一必修一“函數的應用（二）”一課中，圍繞函數零點與方程的解、二分法求方程的近似解等內容展開，以運用函數解決實際問題為教學重難點.這部分內容具有較強的實用性，以對知識的運用為重點，教師在教學時，要注重學生對基礎知識的掌握，可以布置難易程度適中的作業，在鞏固基礎的同時拓展數學解題能力，如求方程lnx+2x－6=0的實數解的個數.學生在解決這一問題時，可以畫出y=lnx+2x－6的圖象，并列出y=f（x）對應數值表，觀察零點所在區間，可知f（2）<0，f（3）>0，則f2f3<0.由函數零點存在定理可知，函數fx=lnx+2x－6在區間（2，3）內至少有一個零點，函數fx=lnx+2x－6，x∈（0，+∞）是增函數，所以函數只有一個零點，即相應方程lnx+2x－6=0只有一個實數解.

4.4 數量關系轉換為空間幾何，提高學生數學解題能力

數學學科的根本在于解決實際問題，高中數學學科的根本目標在于培養學生解決數學問題的能力，而解決問題也是學生將所學知識運用到實際中的體現，由此可見數學問題解決能力的重要性［4］.教師在實際教學中，可以將復雜、抽象的數學數量難題，通過數形結合思想的支撐，將數量問題轉化為幾何問題，將復雜、抽象的數學難題降低難度，能夠在一定程度上發散學生數學思維，明確解決數學難題的策略和方法，提高他們數學問題的解決能力，實現高效率數學學習.

例如 人教版高中數學高一必修一“任意角和弧度制”一課中，圍繞任意角和弧度制的概念、定義等方面展開，以理解正角、負角、零角定義，掌握終邊相同的角的表示方法為教學重難點.以寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？教師可以將題干中的要求和數量關系以圖象展示，如圖1所示，在直線坐標系中畫出直線y=x，可以發現它與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內，終邊在直線y=x上的角有兩個：45°，225°.因此，終邊在直線y=x上的角的集合：

S=ββ=45°+k·360°，k∈Z

∪ββ=225°+k·360°，k∈Z

即S=ββ=45°+n·180°，n∈Z.

S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有

45°－2×180°=－315°，

45°－1×180°=－135°，

45°+0×180°=45°，

45°+1×180°=225°，

45°+2×180°=405°，

45°+3×180°=585°.

圖1

通過將數學數量關系轉化為圖形，能夠明確分析出數量關系之間的聯系，為學生解決問題提供較大便利，教師在教學中要積極將數形結合思想融入高中教學中，在提高課堂質量基礎上培養學生數形結合思想，使學生逐漸具備學習能力.

5 結語

綜上所述，將數形結合思想運用到數學教學和解題中，能夠將復雜、抽象的數量關系、公式、概念轉變成直觀、形象的知識，最大程度降低數學知識和問題的難度，能提高學生解題效率，從而提高學生的數學學習效率，進一步發展學生的數學能力.

參考文獻：

［1］劉杰，韓繼偉，高夯.由描述性到形式化：中學函數定義的發展及其價值［J］.數學教育學報，2022，31（03）：1-5.

［2］李保臻，陳國益.高中數學教科書中數學建模問題情境的比較研究［J］.數學教育學報，2022，31（03）：6-14.

［3］呂世虎，彭燕偉.2020版高中數學課標中課程結構的變化和特點［J］.數學教育學報，2022，31（04）：1-6.

［4］華志遠.以高中數學為主導的跨學科教學探索與思考［J］.數學通報，2022，61（06）：30-33+37.