見微知著　因微而深

［摘? 要］ 文章以微專題“分段函數中的含參問題”為例，介紹在高三一輪復習中滲透數學思想，精準地突破難點，多角度提升學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 分段函數；微專題；核心素養

為了回應高中新課標、新高考模式的改革，謀劃現代學校辦學的新樣態，江蘇省常州高級中學舉辦了“‘大教育引領下的品質課堂”公開教研活動，筆者應邀開設了一節高三一輪微專題課“分段函數中的含參問題”.

筆者以此公開課的開設為契機，對分段函數中的含參問題進行了歸類研究，并粗淺思考如何以微專題的形式提升高中數學一輪復習的有效性.筆者將本節課的教學實錄和感悟整理成文，以期拋磚引玉.

基本情況

1. 學情分析

授課班級為重點高中的普通理科班，學生整體水平高，大部分學生思維活躍，有較強的邏輯推理能力和數學運算能力，能積極參與課堂教學互動.

2. 教學內容分析

分段函數是一種重要的函數形式，幾乎每年都會出現在高考試題中，可以說是經久不衰的熱點問題. 學生對這類問題多少都有些害怕，主要是其“分段”的特征決定分類討論的必要性.對于含有參數的分段函數，學生感到最棘手的是探求分類討論的標準. 因此，微專題課“分段函數中的含參問題”恰好給學生提供了集中精力思考這類問題的機會.

考慮到以上因素，本節課的教學目標是：

（1）會根據分段函數的特點處理含參問題，發展直觀想象、數學運算等素養.

（2）能主動運用分類討論、數形結合等思想方法分析和解決問題，發展數學抽象、邏輯推理等素養.

（3）在互動交流和互相合作中積累基本活動經驗，提高問題解決能力.

3. 教學思路

這節課的設計思路是：先引領學生回顧含參分段函數的類型，然后用例題和習題幫助學生突破含參分段函數的單調性及其零點等難題，著重突出數學思想方法的運用，最后共同歸納解題方法和注意點.

課堂實錄與設計意圖

1. 課前熱身，溫故知新

學生在課前完成以下填空題：

（1）已知函數f（x）=ax+1-2，x≤1，

2x-1，x>1，若f（0）=3，則f（a）=______.

（2）若函數f（x）=（2-a）x+1，x<1，

ax，x≥1，是R上的增函數，則a的取值范圍是______.

（3）若函數f（x）=-x2-2x，x≤0，

log

（x+1），x>0，且函數g（x）=f（x）-m有3個零點，則實數m的取值范圍是______.

（4）若函數f（x）=x2-4x-5，x<λ，

ex-1，x≥λ，λ∈R，且函數y=f（x）恰有2個零點，則實數λ的取值范圍是______.

筆者讓學生簡要講述以上填空題的求解過程，并在此基礎上讓學生回答以下三個問題.

問題1：什么是分段函數？

生1：分段函數是指由于自變量取值范圍不同，對應法則也不同的函數.

問題2：處理分段函數問題的常用方法是什么？

生2：根據條件選擇合適的解析式，必要時借助函數圖象進行處理.

問題3：對于分段函數中的含參問題，參數可能出現在哪些位置？

生3：參數可能出現在解析式里、分界點處或目標問題里.

師：同學們對分段函數的認識非常清晰！這節課，我們將重點研究含參分段函數問題.

設計意圖 課前布置四道含參分段函數填空題，一方面加深學生對分段函數的理解，明確它是一個函數，它的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集. 另一方面引發學生思考參數出現的位置——參數可能出現在解析式里（如第（1）題和第（2）題），也可能出現在目標問題里（如第（3）題），還可能出現在分界點處（如第（4）題）.

ax-1，x>1，若存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實數a的取值范圍是______.

生6：根據函數f（x）的解析式可知，它的圖象在分界點x=1處不間斷.另外，“存在x，x∈R且x≠x，使得f（x）=f（x）成立”這句話的意思是“f（x）在R上不單調”. 我覺得可以先從它的反面來思考，也就是假設f（x）在R上單調：當a≤0時，f（x）=-x2+ax在（-∞，1］上先增后減，不符合；當a>0時，需滿足對稱軸x=≥1，即a≥2，f（x）在R上單調遞增.因此，所求的a的取值范圍是（-∞，2）.

設計意圖 此環節設計了一道例題和兩道變式題，主要用于解決如何根據分段函數的單調性求參數的范圍. 解決此類問題，既要注意每一段函數的單調性，也要關注分界點兩側函數值的大小關系.變式題1里的是含參絕對值函數，體現了其“分段”的本質；變式題2則將函數的單調性問題隱含在題意里. 這“一顯一隱”的變式題組體現了轉化與化歸以及正難則反的數學思想.

3. 由此及彼，突破難點

解決含參分段函數的單調性問題后，筆者投影下面一道例題.

筆者用GeoGebra軟件演示上述動態分類討論過程，并追問：當0

生7：設f（x）=lnx-（00，所以f（x）在（0，e）上單調遞增. 又f（e）=0，所以不等式f（x）<0的解為0

師：通過構造函數來解不等式，非常棒！下面思考這個問題：當分界點x=a （a>0）變化時，y=也在變化，那么直線x=a與y=的交點的軌跡有什么特點呢？

生8：直線x=a與y=的交點的軌跡方程是y=x （x>0），它是一條不含端點的射線，正好與函數y=lnx相切于點P（e，1）.

生9：如圖4所示，函數y=lnx和y=的圖象相交于點P，直線y=x與函數y=lnx的圖象相切于點P且在點P處穿過函數y=的圖象.

師：兩位同學都觀察得非常仔細！“三線交于一點”正是這道題的命制背景.根據這道題，請同學們說一說，在解決分段函數的零點個數問題時，我們需要注意些什么呢？

生10：解決分段函數的零點個數問題，關鍵在于判斷每一段函數各有多少個零點，必要時我們可以畫圖來數.

師：這位同學歸納得相當精準.如果分段函數含有參數（或目標函數含有參數），那么我們要厘清參數變化時圖象的變化規律，也就是用運動的觀點去研究問題.

設計意圖 設置例2的主要目的是引導學生探討如何根據分段函數的零點個數求參數的取值范圍. 分段函數的形式決定解題需要對自變量的范圍進行討論，如果函數含有參數，那么討論的維度就會增加.這種深層次的分類討論訓練對于提升學生的思維品質是大有裨益的.

4. 適時強化，練習反饋

筆者布置以下兩道題作為練習，請兩位學生在黑板上分別展示解題過程（內容略），然后讓同桌點評解題過程是否合理和正確.設計意圖 當筆者與學生共同解決完難點后，筆者布置了兩道練習題，一方面通過學生板書展現其思考過程，對教學來說是現場反饋和即時交流；另一方面學生通過互相討論，集思廣益，對問題的理解會更加深刻.

5. 反思歸納，總結提升

師：今天我們一起研究了含參分段函數，請同學說一說這節課你有哪些收獲和體會.

生11：我們學習了分段函數的概念、分段函數的圖象與性質、參數的變化對分段函數圖象的影響等知識.對于含參分段函數問題，我們解題時要善于運用分類討論和數形結合等方法.

師：這位同學的知識理論體系非常清晰，他對數學思想方法的理解也很到位.我們今天學習了這一微專題，在解題過程中要注意體會辯證統一的哲學韻味，比如分（分類）與合（整合）的統一、數（代數）與形（圖形）的統一、靜（靜態）與動（運動）的統一，等等.

設計意圖 課堂小結的目的是讓學生主動回顧這節課的知識要點和解題方法，幫助學生系統構建知識網絡. 筆者對學生的歸納進行了補充和完善，強調解決含參分段函數問題的常用策略，這對后續學習有一定的指導意義.

教學感悟與思考

1. 借力數學思想，高效解決含參函數問題

函數中的含參討論一直是高考熱點，從實際教學效果來看，借助數學思想方法可以迅速找到解題思路，避免討論過程片面和盲目的發生. 比如，本節課例2的難點在于對a和e的大小關系的分類討論，這可以采用數形結合思想——在同一直角坐標系中畫出函數y=lnx和y=的圖象，猜想兩者交點的橫坐標為e，但對于該交點的存在性和唯一性，則需要借助函數與方程思想進行論證. 因此，數學思想方法并不是空中樓閣，而是蘊含在解題需求里，也蘊含在邏輯推理中.

2. 開設微專題課，精準突破復習中的階段難點

在一輪復習過程中，學生會遇到階段性難點，如函數中的零點問題，解析幾何中的隱形圓問題，數列中的通項與求和問題，等等. 這時，教師可以在常規教學中靈活地穿插微專題課，及時系統地提煉題型與方法，把隱性的解題經驗顯性化，從而為學生的知識體系造就新的“生長點”，提升學生運用所學知識解決問題的能力.

在微專題教學中，教師要注意使用合乎邏輯的知識鏈以及層次清晰的問題串. 例如，本節課的知識鏈是“含參分段函數的單調性→含參分段函數的零點”，體現了知識的遞進關系. 在例2的求解過程中，又有如下問題串：“問題1：請同學們說一說你們的解題思路和流程→問題2：當00）變化時，y=也在變化，那么直線x=a和y=的交點的軌跡有什么特點呢？→問題4：在解決分段函數的零點個數問題時，我們需要注意些什么呢？”這四個問題層層深入，引領學生由淺入深地思考，并從一道題引發一類題的歸納總結. 由此可見，微專題課通過微中知著、以小見大，精準地突破難點.

3. 構建靈動課堂，多角度提升學生的核心素養

課堂是師生交流的舞臺，也是思維火花碰撞的能量場. 數學學科核心素養的培養應該融于每一節課的教學過程，也應該融于每一個教學環節的精心設計. 因此，教師需要以知識點為中心，在發展核心素養的視角下設計微專題復習，引導學生體悟數學本質和思想方法，并讓學生體會思考帶來的樂趣. 例如，本節課以含參分段函數為載體，選取典型例題和習題，通過多種方式激發學生思考，包括課前“熱身”、師生互動、學生互評、學生提煉等，讓學生主動思考如何解決含參分段函數問題，培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養. 對于高三微專題課，教師要抓住其入口微、選題精、針對性強等特點，主動構建自然而靈動的課堂，不斷提升學生的數學學科核心素養.

作者簡介：孫承輝（1981—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作.