基于發展數學學科核心素養的章引言課的設計

［摘? 要］ 章引言是一章內容的起始，也是一章內容的總匯，還是一章內容的“導游圖”，對培養學生數學學科核心素養有著獨特的價值，其功能的實現需要在章引言課的設計與實施上下功夫.

［關鍵詞］ 章引言；章引言課；核心素養

章引言

章引言是一章內容的起始，也是一章內容的總匯，它通常涉及以下四個基本問題：“為什么學”“學什么”“怎么學”“學到什么水平”. 章引言，相當于“導游圖”，能夠引導學生全面認識一章內容，幫助學生規劃學習過程，使學生做到心中有數. 章引言不僅提出本章即將學習的知識內容以及前后知識內容間的聯系，讓學生了解知識發生、發展的大概過程，激發學生的學習興趣，而且指出本章重要的研究方向與方法. 因此，章引言在教學中具有舉足輕重的地位. 如何上好章引言課，為一章的學習開好頭顯得尤為重要.

關于章引言課設計的理念

單元整體教學是培養學生數學學科核心素養的必要途徑. 教材的每一冊、每一章都是圍繞核心素養安排內容的，因此數學章引言課的設計要以數學學科核心素養為目標. 首先，著眼于單元整體教學，挖掘單元主題的育人價值，將育人目標和核心素養綜合融入單元和課時教學目標中. 其次，著眼于單元整體教學進行研讀和分析，尋找部分與整體之間的關系，使單元教學目標具有邏輯性和進階性等特點. 最后，在單元整體教學的視角下，對照目標，制定評價任務，使學習活動和相應的評價活動能體現綜合性、關聯性和實踐性等特點，以整合輸出活動作為實現學生學科核心素養融合發展的落腳點，讓學生在基于主題意義的不同層次的多輪活動中，形成整體理解和綜合、辯證表達主題意義的能力.

本文以《普通高中教科書·數學必修第一冊（人教A版）》第二章第一節第一課時“等式性質與不等式性質”的教學設計為例，具體說明如何通過章引言課的設計有效培養學生的數學學科核心素養，敬請大家批評指正.

章引言課的教學內容和教學目標

1. 地位和作用

本節課所學內容是繼等量關系后，在現實世界中存在的另一種重要關系——不等關系. 在數學研究和數學應用中，不等關系與等量關系一樣，都起著重要作用. “等”是相對的，“不等”是絕對的. 不等關系是學習不等式性質及解法的基礎，也是構造方程、不等式與函數的基石. 因此，本節課所學內容具有重要的奠基作用.

2. 教學內容

（1）不等關系. 不等關系是現實世界和日常生活中廣泛存在的數量關系，眾多生活實例能為學生抽象不等關系、學習不等式提供認知基礎.

（2）不等式（組）. 現實中大量的數量關系是通過不等式表示的. 不等式是用數學符號表征不等關系的式子，是研究不等關系的數學工具，對于刻畫不等關系有著重要的意義和價值.

（3）利用不等式的基本事實比較大小. 不等式的基本事實是比較大小、證明不等式的基本原理和依據，由此可以歸納出證明不等式的一般方法和步驟.

3. 教學目標

（1）發現實際問題中蘊含的不等關系，并且用不等式表達出來.

（2）歸納基本事實中蘊含的數學思想（通過運算解決代數問題），并用于比較大小、證明不等式，體會基本事實中蘊含的作差法是比較大小的基本方法.

（3）培養觀察、類比、辨析、運用等思維能力，體會化歸與轉化、數形結合、類比等數學思想方法. 培養創新精神、團隊合作意識和學習興趣.

章引言課的教學設計

1. 創設情境，認識不等關系

2021年7月20日凌晨2點至2021年7月21日凌晨2點，鄭州降雨量達到了622.7毫米. 通常24小時降雨量等于或大于250毫米就可以稱為特大暴雨，而鄭州同時段的降雨量是它的兩倍以上. 2021年7月20日，某公益組織緊急向鄭州地區受災人員發放救援物資. 短短一天時間內，不少于5000套救援物資抵達，包含各類日常生活所需用品.

師：你從這些報道的數字中可以抽象出什么數量關系？

生1：相等關系和不等關系.

師：是的. 其中“達到”“以上”“不少于”這些詞就說明了里面包含的相等關系與不等關系. 我們知道相等關系和不等關系是數學中最基本的數量關系. 我們可以利用相等關系、不等關系構建方程、不等式，再通過方程、不等式解決數學內外的各種問題. 在現實世界和日常生活中，存在著大量的相等關系和不等關系，同學們能找找身邊的不等關系嗎？

生2：多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等.

師：不等關系在我們身邊非常多，比如“雷聲大，雨點小”“道高一尺，魔高一丈”都包含著不等關系. 類似于這樣的問題，反映在數量關系上，就是相等與不等. 相等用等式表示，不等用不等式表示. 今天我們就要進一步來認識不等關系與不等式的意義和價值.

設計意圖 引出課題，讓學生對本節課研究什么、怎么研究，做到心中有數. 連接初高中內容，讓學生置身于情境，使學生進一步了解“數學源于生活”，培養學生的數學抽象核心素養.

問題1 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？

（1）鄭州強降雨帶來的一個災難是飲用水問題，按《生活飲用水衛生標準》，飲用水中硝酸鹽的含量s不超過10 mg/L，氯化物的含量p不超過250 mg/L.

（2）某路段限速40 km/h.

（3）a克糖水中有b克糖（a>b>0），若再加入m克糖（全部溶解），則糖水更甜了.

（4）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊.

（5）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

設計意圖 選取學生易于理解的生動、有趣的實例，讓學生體會不等關系無處不在，體驗不等式的重要性. 同時，使學生在學習過程中逐步學會抽象、歸納、概括等數學思想方法，熟知數學研究的基本模式.

2. 交流提煉，理解不等關系

師：自然災害會引起人們對某種物質在短時間內的大量需求.

問題2 某種物質以單價1元銷售，可以賣出2000件. 據調查，若單價每提高0.1元銷量就減少50件，則單價定為多少元能使銷售總收入高于2000元？

思考：如何解問題2中的不等式呢？

設計意圖 采用探究活動的方式，先讓學生自主探求情境中的不等關系，并提煉出不等式；然后求不等式的解集，研究不等式的性質，思考比較兩個實數大小的基本事實. 以問題鏈的形式激發學生“知其然”，也“知其所以然”，使學生體會到“數學是自然的”.

問題3 用數軸上點的位置關系，怎樣表示實數的大小關系？

由于數軸上的點與實數一一對應，所以可以利用數軸上點的位置關系來規定實數的大小關系：如圖1所示，設a，b是兩個實數，它們在數軸上所對應的點分別是A，B. 那么，當點A在點B的左邊時，______；當點A在點B的右邊時，______；當點A和點B重合時，______.

問題4 關于實數a，b大小的比較，有以下基本事實.

如果a-b是正數，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負數，那么ab?______；a=b?______；a

設計意圖 用問題引導學生歸納兩個實數大小比較的基本事實，挖掘數學思想. 通過上述教學過程，使學生感悟到運算在解決不等式問題中的作用，不僅提高學生的知識遷移能力，還培養學生的邏輯推理等核心素養.

練習題1 （1）比較（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小.

（2）比較2x2+5x+3和x2+4x+2的大小.

3. 合作探究，應用不等關系

師：鄭州居民災后重建家園遇到了以下問題.

建筑設計規定：民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按照采光標準，窗戶面積與地板面積的比值（稱為采光比）不小于0.1，且采光比越大，住宅的采光條件越好. 試問：原窗戶面積為b，原地板面積為a，同時增加相等的窗戶面積和地板面積m，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？

設計意圖 通過真實的實驗體驗，抓住學生的興奮點，讓學生充分經歷“回顧梳理—提煉—遷移”的過程，使學生認識到數學“源于現實，用于現實”，培養學生數學建模核心素養.

練習題2 用作差法證明上述不等式.

設計意圖 讓學生借助實物投影展示思維過程，使學生共享學習成果的同時體驗到數學學習成功的喜悅. 通過練習題2的講解，總結作差法的步驟，讓學生體會基本事實中蘊含的作差法是比較大小的基本方法，培養學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

4. 遷移拓展，深化不等關系

圖2是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客. 你能從面積的角度在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？

將會標抽象成圖3，設CF=a，DF=b，CD=c，則你能得到：

（1）相等關系：________；對應等式：________.

（2）不等關系：________；對應不等式：________.

思考：你能證明上述不等式嗎？

設計意圖 又一次體現數學知識間的聯系，說明大小比較的基本事實在解決不等式問題中的價值. 通過合作學習、討論交流等方式，放手讓學生自主研究，讓學生體會所學知識在不同情境中的應用，加深學生對大小比較的基本事實的理解；不斷鞏固學生的新知和技能，防止思維定式的發生.

5. 梳理回顧，感悟不等關系

（1）不等關系及其表示.

（2）兩個實數大小比較的基本事實.

（3）重要不等式.

設計意圖 采用模塊化的方式引導學生從知識、思想、方法、應用、情感等方面進行總結，將所學知識納入原有的認知結構中，從知識歸納延伸到思想方法提煉，優化學生的認知結構，把課堂傳授的知識快速地轉化為學生的數學素養和數學文化.

6. 鞏固練習，升華不等關系

（1）課后作業：作業本P42-43.

必做題：基礎訓練.

選做題：素養提升.

（2）研究性作業：寫一篇以“我眼中的不等關系”為主題的數學小論文.

設計意圖 幫助學生鞏固所學知識，激發學生的發散思維，體現不等式的工具性，發展學生的數學應用意識. 布置彈性作業，使各個層次的學生都有所發展.

教學設計簡要說明

本節課的設計以章引言為依托，逐步展開，激發學生的學習興趣，引領學生體驗知識內容、領悟思想方法，體現出“學生為主體，探究為手段，素養培養為目的”的教學理念. 教學環節明暗兩線巧穿插，著眼于“知識的形成發展，學生的學習體驗”，通過輕松引入、探索交流、辨析質疑、學以致用、提煉感悟，把課堂還給學生，把學生引入深度學習，為后面的學習奠定基礎.

作者簡介：沈小明（1978—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學和數學競賽輔導工作，曾獲杭州市教壇新秀、 余杭區學科帶頭人等稱號.