數學幾何直觀的內涵、價值與培養策略

摘" 要" 幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的數學核心素養的重要表現。幾何直觀依托、利用圖表進行數學思考和想象，它在本質上是一種通過圖表而進行的抽象和思維能力。幾何直觀是形象思維在數學中的重要表現形式，也是一種有效的教學方法，有助于豐富學生數學學習體驗、幫助學生分析數量關系和發展學生空間想象能力。在數學教學實踐中，教師應通過強化學生幾何認知、幫助學生積累經驗、引導學生學會畫圖、指導學生學會變換和培養學生策略意識等方式，培養學生的數學幾何直觀素養。

關鍵詞" 小學數學；核心素養；幾何直觀；教學實踐

中圖分類號" G623.5

文獻標識碼" A

文章編號" 2095-5995（2024）06-0053-03

幾何直觀是一種重要的思維方式，是學生適應未來社會必不可缺的關鍵能力之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）將“會用數學的眼光觀察現實世界”作為數學課程要培養的學生核心素養之一，其中，在義務教育階段，《課程標準》把“幾何直觀”列入“數學眼光”的重要構成內容。［1］幾何直觀能把抽象的、說理性的數學知識變得形象具體、通俗易懂，有助于學生更好地理解數學知識，形成良好的數學思維習慣和應用意識，提高學生用數學知識解決問題的能力。本文在深度闡釋幾何直觀的內涵、分析幾何直觀的價值基礎上，闡述教師在日常教學實際中培養學生幾何直觀素養的教學策略。

一、幾何直觀的內涵解讀

《課程標準》對幾何直觀的解釋較為簡單和籠統，認為幾何直觀主要是指“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”［2］。在這里，筆者認為，要全面解讀幾何直觀的涵義，需要對“幾何”和“直觀”分別進行闡述。幾何，可以理解為圖表，其中圖包括點、線、面和體，表則是反映數量關系的一種常見呈現形式。筆者認為，在實際的小學數學課堂中，幾何主要就是借助實際的實物學具，幫助學生搭建“具體”到“抽象”的橋梁，然后將實物轉化成圖表，再通過圖表去分析思考數學問題，進而建立初步的空間觀念。直觀則是在已有的空間觀念基礎上，利用這些抽象出來的圖表去分析思考問題，進而促進學生幾何直觀能力的培養。這里的直觀不僅僅是指學生通過視覺看到事物，或借助觸覺感受到事物，更重要的是學生利用看到的事物和接觸到的事物進行抽象和思維。綜合起來，幾何直觀就是學生依托、利用圖表對數學知識進行抽象和思維，從而形成對數學知識全面而深刻的理解，最終表現出來的是一種依靠圖表而進行抽象和思維的能力。

實際上，幾何直觀并不是虛幻無物的，而是具體真實的，與數學課程內容緊密聯系在一起。［3］比如，數學課程中很多重要的知識內容都具有“雙重性”特征，也就是說，這些知識內容既可以通過“數”來表達，又可以通過“形”來呈現。如果教師僅從某一個方面去引導學生學習這些知識內容，學生可能會受限于他們的現有知識結構、思維發展水平等而產生知識理解偏差，或出現難以深刻理解數學知識的問題。但從“數”和“形”兩個角度同時進行學習時，學生可能會更好地理解這些知識內容，并掌握它們的深層意義。也就是說，學生幾何直觀能力的形成，需要借助“數形結合”的思想去理解知識，探尋解決數學問題的方法和策略。

二、幾何直觀的價值審視

幾何直觀是形象思維在數學中的重要表現形式，在學生數學學習的過程中發揮著極其重要的作用。［4］正如荷蘭數學家弗賴登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要的、可能有意義的和可接近的，并使我們在課題、概念、方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”筆者認為，在小學數學教學中，幾何直觀發揮的作用主要體現在如下幾個方面：

（一）有助于豐富學生數學學習體驗

小學生正處于以形象思維為主的認知階段，在學習那些具有高度系統化、抽象化和結構化的數學知識時，他們通常會覺得數學知識難度較大，因此容易對數學學習感到枯燥無味。在實際教學中，我們可以輕易發現，當學生借助熟悉的、直觀的圖表學習數學知識時，能夠產生輕松愉快的心情，激發對數學學習的興趣。實際上，幾何直觀就是幫助學生構建數學新知、獲得良好數學學習體驗、發展數學核心素養的一種有效思維方式。在幾何直觀的幫助下，學生經歷由實物到抽象的建構過程，可以深入理解數學知識，逐步發展抽象思維和邏輯思維能力。［5］例如，對于三角形、正方形和長方形等圖形的周長教學，教師可以利用畫圖的方法，引導學生直觀感知線段具有的可加性特征，自主探索三角形、正方形和長方形的周長問題。在此之后，教師可以引導學生自主探索這三種圖形的周長之間存在的關系，歸納出長方形和正方形周長的計算公式。這樣的數學教學過程，簡化了抽象知識本身的難度，優化了學生的數學學習體驗，對提高學生的數學學習興趣起到了重要的作用。

（二）有助于幫助學生分析數量關系

在小學階段，學生碰到的很多數學問題，都需要通過分析數量關系、列出數量關系式的方式，實現對數學問題的解決。但在實際中，我們很容易發現一些學生的抽象思維存在發展滯后問題，如果教師不借助有效的手段對數量關系加以解釋說明，學生很難認識和理解數學知識背后的實質內涵，導致不能有效解決遇到的數學問題。借助幾何直觀，學生能夠將復雜的數學語言與直觀的、容易理解的圖表聯系起來，把抽象的數學知識轉化為學生能直接感知的具體形象，從而理清問題背后的數量關系，找到解決問題的具體辦法。例如，在教學圓柱的體積時，教師需要引導學生推導圓柱的體積計算公式。在教學過程中，教師一般需要利用“化曲為直”和“極限”的數學思想引導學生推導體積計算公式。具體來說，教師可以通過動畫視頻呈現圓柱切拼成長方體的過程，模擬出切拼過程中展現的“極限”思想。這樣的直觀教學，能夠讓學生輕易理解圓柱和長方體之間的關系，從而讓推導圓柱體的體積計算公式變得不再困難。在面對復雜的數學問題時，學生借助幾何直觀可以準確分析問題，找到問題背后的數量關系，在推導數量關系式的過程中實現對問題的有效解決。

（三）有助于發展學生空間想象能力

幾何直觀和空間想象能力有著密切的聯系，其對空間想象能力的形成和發展有著十分重要的作用。空間想象是抽象思維的基本構成之一，也就是說，幾何直觀對于提升學生的抽象思維能力，促進學生透過表象抓本質，逐步走向對知識的深刻認識和理解有著重要的意義。義務教育階段是學生空間想象能力形成的關鍵時期，教師應充分利用幾何直觀的思想方法，發展學生的空間想象能力。具體來說，教師可以依托數學課程中“圖形的位置和運動”教學內容，引導學生結合日常生活中常見的圖形運動現象，加深對數學課程中空間概念相關知識的理解和內化，感受平移、旋轉等簡單圖形空間位置變化所產生的空間關系，能對抽象的數學計算公式或數量關系等賦予具體的幾何意義，從而逐步增強學生的空間觀念，形成量感和邏輯思維能力。例如，對于圖形的位置教學，教師可以結合班級學生的座位安排情況等熟悉的情境，引導學生借助方格紙上的點，用有序數對表示具體的位置；對于圖形的運動教學，教師可以借助日常生活中常見的現象，如運動中的風車、旋轉木馬等，引導學生畫出這些事物的簡單圖形，并描述這些圖形平移、旋轉后有什么樣的特征，感受圖形變化所帶來的“數學之美”。

三、基于幾何直觀的小學數學教學策略

（一）強化學生幾何認知

幾何認知是形成幾何直觀素養的前提和基礎。在實際的教學過程中，教師可以通過加強對幾何實體物品或學具的使用力度，加深學生對幾何的理解和感悟。例如，在對“圖形與幾何”進行教學時，教師可以為學生準備多個幾何形狀的實體物品，并對這些物品在生活中的實際運用進行解讀，以此加深學生對于幾何的認知。在此基礎上，教師可以進行延伸和拓展，指導學生對這些幾何物品的類似物品進行想象，以此培養學生的空間想象能力。教師通過利用實際幾何物品或學具進行教學，不僅能夠使學生理解不同的幾何圖形，還可以降低抽象的數學知識帶來的學習難度，加深學生對于幾何知識的認知和理解，從而鍛煉學生幾何直觀能力，培養學生思維素養。

（二）幫助學生積累經驗

幾何直觀素養的培養不是一蹴而就的，需要經過長期的、有意識的訓練，在教師的幫助下逐漸積累起豐富的經驗，體會幾何直觀的真正價值，進而形成一種穩定的數學素養。通常來說，教師可以通過以下兩種具體方法幫助學生積累幾何直觀的經驗。一是引導學生“借形觀數”。具體來說，這種方法就是教師借助圖表的形式直觀解釋一些較為抽象的數學概念與算法等。例如，教師可以利用平均分割的圓形來解釋分數和比的概念，利用正方形和長方形拼接的方式解析完全平方公式和平方差公式原理，等等。二是啟發學生“以數解形”。具體來說，這種方法就是教師通過給圖形確定度量單位，并賦予每個圖形一個數量，啟發學生通過這些圖形探究它們背后的數量關系，從而更深入地理解數學知識。例如，小學數學教學中，教師會經常引導學生使用數值和數學方法（如乘法）來解決與形狀（如矩形）相關的問題（如面積）。

（三）引導學生學會畫圖

幾何直觀素養的培養離不開畫圖，通過畫圖可以將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機結合起來，實現抽象的問題圖形化，從而使數學學習過程變得直觀。［6］因此，教師引導學生學會畫圖，對培養學生的幾何直觀素養起到了重要的作用。首先，數學教材在編排上具有較強的直觀性特點（內容的呈現方式、色彩的選擇等都有著很強的直觀性），教師可以依托教材有意識地將所要講解的問題借助圖形直觀化，讓學生形成初步的依托圖形進行表征的心理傾向。其次，教師在教學中要做好示范，在引導學生思考、分析數學問題時多采取畫圖的方式進行內容呈現，讓學生真正體驗到畫圖在理解概念、尋找解題思路等方面帶來的益處，從而潛移默化地影響學生。最后，教師還要引導學生掌握一定的畫圖技巧，培養學生靈活運用畫圖策略的能力，即能對解決不同題型的問題時所運用的畫圖策略進行歸納，達到合理運用，舉一反三，從而通過畫圖策略提升幾何直觀素養。

（四）指導學生學會變換

利用幾何變換或圖形的運動去認識、理解幾何圖形是培養幾何直觀的重要方法。實際上，幾何變換或圖形的運動不僅是《課程標準》規定的、學生需要學習的重要內容，還是一種幫助學生有效理解數學知識、解決問題的思維方式。一方面，在小學階段，學生在數學學習中接觸到的圖形多是對稱圖形，例如，數學教材中呈現的平面圖形（如長方形、正方形、平行四邊形、梯形等）、立體圖形（如長方體、圓柱、球等）、實物圖形（如汽車、熊貓、天壇）多屬于對稱圖形。另一方面，教師在引導學生認識不對稱圖形時，往往以對稱圖形的探究為基礎組織相關的教學活動，通過拓展延伸教學內容，幫助學生理解不對稱圖的性質和特點。因此，在教學時，教師可以通過幾何變換或圖形的運動幫助學生認識這些圖形。例如，在對“圖形的運動”進行教學時，教師可以利用視頻、動圖的形式進行實時展示，幫助學生更加直觀地認識不同圖形在運動后所呈現的新圖形或狀態表現。這種方式能夠有效加強學生對幾何圖形相關概念的印象和理解記憶，從而提高學生對于抽象的數學知識理解程度，激發學生學習興趣。

（五）培養學生策略意識

在實際教學中，教師應鼓勵學生以自己喜歡、易理解的幾何直觀方式來刻畫自己的思維，引導學生從不同的角度思考同一個問題，鼓勵學生對各種方法進行區分比較，發現不同方法之間的區別與聯系。幾何直觀的培養是一個過程，借助幾何直觀解決實際問題應貫穿教學的始終［7］，因此，教師在教學過程中應有意識地進行滲透，激發學生的內在需要，幫助學生經歷幾何直觀的過程，促使學生對幾何直觀有著更為深刻的認識，提升學生的策略意識。例如，在“圖形與幾何”教學中，教師應該引導學生對立體圖形有深入的了解，掌握其特性，并對點、線、面的相互關系有深刻的認識，同時幫助學生積累觀察圖形和思考問題的經驗，從而讓學生逐步建立對空間的想象圖式和初步的幾何直觀思想。以此為基礎，教師可以進一步引導學生推導出一些常見的立體圖形的周長、面積和體積等的計算公式，并掌握相應的數理計算方法，從而培養學生的量感和推理意識。

（孫霞，濟南市章丘區實驗小學，濟南 250200）

參考文獻：

［1］［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京師范大學出版社，北京：2022：5，27，8.

［3］ 李樹臣，欒尚鋒.對幾何直觀的認識和培養［J］.中學數學雜志，2023（8）：11-14.

［4］ 王飛，于蓉.指向幾何直觀素養的小學數學學習評價［J］.課程教學研究，2024（3）：86-91.

［5］ 周存蘭.加強多元表征策略研究，提升幾何直觀核心素養［J］.中學數學，2024（4）：40-41.

［6］ 林美.借“畫圖”之力，培養幾何直觀［J］.福建教育，2023（32）：56-58.

［7］ 汪洋，孫紅偉.培養模型意識 發展幾何直觀——“解決問題的策略——列舉”教學實錄與評析［J］.小學數學教育，2024（10）：37-39.

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