例談旋轉變換在幾何最值問題中的應用

摘" 要：直觀想象是高中數學六大核心學科素養之一，較高水平的直觀想象素養能夠通過想象對復雜的數學問題進行直觀表達，反映數學問題的本質，形成解決問題的思路.文章通過實例展示幾何圖形的旋轉變換在幾何最值問題中的應用，旨在引導學生逐漸養成運用圖形和想象進行思考的習慣，綜合“形”與“數”兩個維度認識事物的本質，提升直觀想象素養.

關鍵詞：直觀想象；核心素養；旋轉變換；幾何最值

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0060-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：王道金（1971—），男，本科，中學正高級教師，湖北省特級教師，從事高中數學教學研究.

在解決幾何最值問題的時候經常采用三角函數、向量或解析法等手段，然而有時候采用幾何手段，回歸幾何本質，可以使問題的直觀性更好，運算量大為降低.下面舉例展示應用旋轉變換的方法解決幾何最值問題，簡潔直觀，數形結合思想展現得淋漓盡致，充分體現提升直觀想象素養的重要性.

1" 長度最值問題

例1" 如圖1，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AC⊥CD，AC=CD，當∠ABC變化時，求BD的最大值.

解析"" 如圖2，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉90°到達CE，則ED=BA=1.

點D在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則EB=6，BD≤BE+ED=1+6，

當B，E，D三點共線時，BD取得最大值1+6.

點評" 此題用旋轉變換探求出點D的軌跡，幾何直觀性就顯露無遺，解法自然簡潔［1］.

變式1" 如圖3，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD⊥CD，AD=CD，當∠ABC變化時，求BD的最大值.

解析" 如圖4，△ACD為等腰直角三角形，考慮旋轉位似變換，將BC長度縮短為原來的12倍，繞點C順時針旋轉45°到達CO，則△DOC，△ABC相似.

所以OD=12BA=22［2］.

點D在以O為圓心，22為半徑的圓上運動，則

OB=62，BD≤BO+OD=2+62，

當B，O，D三點共線時，BD取得最大值2+62.

2" 面積最值問題

例2" 如圖5，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求△BCD面積的最大值.

解析" 如圖6，由△ACD為正三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉60°到達CO，則OD=BA=1.

點D在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，作OT⊥BC于點T，DH⊥BC于點H，則

OT=3，DH≤DO+OT=3+1.

當D，O，T三點共線時，△BCD的面積取得最大值3+1.

變式2" 如圖7，在平面凸四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，AC⊥CD，∠CAD=π3，求△ABD面積的最大值.

解析" 如圖8，將AB繞點A順時針旋轉π3角度到達AE，且使得AE=2AB，可以得到△AED與△ABC相似［3］，DE=2BC=2.

點D在以E為圓心，2為半徑的圓上，所以當B，E，D三點共線時，點D到AB的距離最大，△ABD面積的最大值為2+23.

例3" 如圖9，在平面凸四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=75°，對角線BD=4，求四邊形ABCD面積的最小值.

解析" 如圖10，△ABC是正三角形，考慮旋轉變換，將△ADB繞點B逆時針旋轉60°，到達△BCT的位置，連接DT，則△BDT為正三角形，∠DCT=∠ADC+∠ABC=135°為定值，點C在以DT為弦，半徑為22的圓O上.

當OC⊥DT時，△DCT的面積最大為2（22-2）.

四邊形ABCD等于△BDT的面積與△DCT的面積之差，四邊形ABCD面積的最小值為43+4-42.

點評" 此題用旋轉變換將原四邊形的面積進行重組，在△BDT確定的條件下探尋點C的動態規律，等于是減少了動態因素，使得問題變得更加直觀.

3" 角度最值問題

例4" 如圖11，在平面凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求∠BDC的最小值.

解析" 如圖12，由△ACD為正三角形，考慮旋轉變換，將BC繞點C順時針旋轉60°到達CE，則ED=BA=1.

點D在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，作EH⊥BC于點H，設經過B，C且與圓E相內切的圓與圓E相切于點F，則當點D在點F處時∠BDC最小，EF=1，EH=3，∠BDC的最小值為

2arctan13+1，即為arccos3+4313.

點評" 如果要求∠BDC的最大值，則需要找到經過B，C且與圓E相外切的圓，用幾何直觀求解.

4" 長度之比的最值問題

例5" 如圖13，在等邊△ABC中，P為△ABC內部一點，且∠BPC=2π3，求PAPC的最小值.

解析" 如圖14，將△ABC繞點C順時針旋轉π3到達△CAD，CP旋轉到CO，易知△CPO為正三角形，△COA≌△CPB，∠COA=2π3，∠COP=π3，∠AOP=π3，PAPC=APPO=sin（π/3）sin∠PAO≥sinπ3=32，當PA⊥AO時取得等號，

即PAPC的最小值為32.

點評" 原圖△PAC中角度都是未知量，不便于求PA，PC之比，通過圖形旋轉變換轉移線段的位置，在△PAO中，可以求出∠AOP，這有利于求解PA，PC之比［4］.

試題鏈接" （2019年佛山市青年教師解題比賽第15題）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=5，BD⊥BC，BD=2BC，求AD的最小值.

答案" AD的最小值為5.

5" 結束語

由上面的問題可見，有些幾何最值問題的條件涉及三角形具體形狀，我們可以利用三角形的形狀實施旋轉變換，通過探求動點的軌跡或者調整圖形的位置，利用幾何直觀性來解決問題.直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.在高中幾何內容模塊教學中，要堅持回歸幾何本質，用數形結合的思想分析問題和解決問題，提升學生的直觀想象素養.

參考文獻：

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 王孝波.旋轉變換在幾何解題中的作用［J］.中學數學雜志，1999（10）：18-19.

［3］ 李鍵，李永忠.例談旋轉變換在幾何試題中的應用［J］.中學生數學，2023（20）：11-13.

［4］ 馬加升.圖形的旋轉變換在數學解題中的應用［J］.課程教材教學研究，2020（Z1）：29-31.

［責任編輯：李" 璟］