檢測學(xué)情，化解錯誤

呂文書

摘? 要：教學(xué)《同底數(shù)冪的乘法》一課，重點(diǎn)關(guān)注法則的運(yùn)用，設(shè)計(jì)指向辨析結(jié)構(gòu)特征、排除干擾因素、推廣底數(shù)形式、統(tǒng)一底數(shù)形式、逆向運(yùn)用法則等的習(xí)題，檢測學(xué)生的掌握情況，進(jìn)而化解學(xué)生的解題錯誤。這樣的教學(xué)符合變式理論和因材施教理念。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；同底數(shù)冪的乘法；法則運(yùn)用

“同底數(shù)冪的乘法”是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年下冊第8章《冪的運(yùn)算》第1節(jié)的內(nèi)容。從以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生很容易基于乘方的意義通過演繹推理得出同底數(shù)冪的乘法法則am·an=am+n（m、n是正整數(shù)），但是，因?yàn)檫@一法則是代數(shù)學(xué)的一個基本法則（從代數(shù)公理化的角度看，實(shí)際上是一個“運(yùn)算律”），具有極強(qiáng)的一般性［1］，所以學(xué)生在運(yùn)用這一法則時，面對千變?nèi)f化的具體情況，很容易出現(xiàn)混淆，產(chǎn)生錯誤。因此，筆者在教學(xué)中重點(diǎn)關(guān)注法則的運(yùn)用，設(shè)計(jì)類型豐富的習(xí)題，檢測學(xué)生的掌握情況，進(jìn)而化解學(xué)生的解題錯誤（為了提高了解和分析學(xué)情的效率，筆者將習(xí)題發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)平臺上，要求學(xué)生限時完成，再利用平臺自帶的功能采集學(xué)生的答題情況，統(tǒng)計(jì)正確率）。

一、指向辨析結(jié)構(gòu)特征的學(xué)情檢測與錯誤化解

筆者設(shè)計(jì)的第1道法則運(yùn)用習(xí)題如下：

1.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（? ）

A.a2·a3=a6

B.a2+a3=a5

C.a2+a3=a6

D.a2·a3=a5

本題意在通過四個選項(xiàng)的比較辨析，引導(dǎo)學(xué)生明晰同底數(shù)冪乘法法則的結(jié)構(gòu)特征，是將冪的乘法變成指數(shù)的加法（D選項(xiàng)），而不是將冪的乘法變成指數(shù)的乘法（A選項(xiàng)）、將冪的加法變成指數(shù)的加法（B選項(xiàng)）或?qū)绲募臃ㄗ兂芍笖?shù)的乘法（C選項(xiàng)）。

學(xué)生答題后，平臺統(tǒng)計(jì)得到的正確率為95%，出錯的學(xué)生都選擇了A選項(xiàng)。這說明學(xué)生對法則的結(jié)構(gòu)特征掌握得較好，特別是知道法則適用于冪相乘而不是相加的情況。所以，筆者簡單地強(qiáng)調(diào)：同底數(shù)冪的乘法法則是將冪的乘法變成指數(shù)的加法，A選項(xiàng)將其變成了指數(shù)的乘法，是不對的。

二、指向排除干擾因素的學(xué)情檢測與錯誤化解

筆者設(shè)計(jì)的第2、第3、第4道法則運(yùn)用習(xí)題如下：

2.x·x11的計(jì)算結(jié)果是（? ）

A.x11

B.2x11

C.x12

D.2x12

3.-bn-1·bn+1的計(jì)算結(jié)果為（? ）

A.b2n

B.2b2n

C.-b2n

D.-2b2n

4.a2·a2·am的計(jì)算結(jié)果為（? ）

A.a4+m

B.2a2m

C.2a2+m

D.a4m

這三題都增加了干擾因素：第2題中，因式x的次數(shù)1是習(xí)慣性被省略的，學(xué)生很容易將其當(dāng)作0進(jìn)行指數(shù)相加；第3題中，式子前面的負(fù)號會對學(xué)生判斷底數(shù)是否相同形成干擾，導(dǎo)致學(xué)生對最終結(jié)果感到模棱兩可；第4題中，前兩個同底數(shù)冪的指數(shù)也相同，學(xué)生容易將其當(dāng)作合并同類項(xiàng)處理。此外，從第2題到第3題，指數(shù)從數(shù)變?yōu)槭剑醪襟w現(xiàn)了同底數(shù)冪乘法法則的一般性；從第2、第3題到第4題，冪從2個變?yōu)?個，體現(xiàn)了同底數(shù)冪乘法法則在復(fù)雜運(yùn)算中的多次運(yùn)用。

學(xué)生答題后，平臺統(tǒng)計(jì)得到第2題的正確率為90%，出錯的學(xué)生都選擇了A選項(xiàng)。對此，筆者利用平臺找到選擇A選項(xiàng)的學(xué)生，問他們因式x的次數(shù)是多少，提醒他們首先確認(rèn)各個冪的指數(shù)，然后按照同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算。

平臺統(tǒng)計(jì)得到第3題的正確率為85%，出錯的學(xué)生都選擇了A選項(xiàng)。個別交流得知，選擇A選項(xiàng)的學(xué)生認(rèn)為指數(shù)相加后的結(jié)果2n為偶數(shù)，所以負(fù)號可以省略。其實(shí)，這正是沒有對底數(shù)充分辨析的結(jié)果。對此，筆者讓他們確認(rèn)底數(shù)是什么，從而明白最前面的負(fù)號是對同底數(shù)冪運(yùn)算的結(jié)果取相反數(shù)，而不是底數(shù)的一部分；然后以“-b4表示b的4次方的相反數(shù)，而不是－b的4次方”為例，提示他們在計(jì)算前確認(rèn)運(yùn)算對象和運(yùn)算順序。

平臺統(tǒng)計(jì)得到第4題的正確率為80%，出錯的學(xué)生大部分選擇了B選項(xiàng)，小部分選擇了D選項(xiàng)。選擇B選項(xiàng)的學(xué)生混淆了同底數(shù)冪相乘與同類項(xiàng)相加，選擇D選項(xiàng)的學(xué)生執(zhí)行的是指數(shù)相乘。對此，筆者引導(dǎo)他們回顧同底數(shù)冪乘法法則的結(jié)構(gòu)特征，明確：這里是冪的乘法，而不是冪的加法；要進(jìn)行指數(shù)相加，而不是相乘。

三、指向推廣底數(shù)形式的學(xué)情檢測與錯誤化解

筆者設(shè)計(jì)的第5道法則運(yùn)用習(xí)題如下：

5.（x+y）3（x+y）4的計(jì)算結(jié)果為（? ）

A.7（x+y）（x+y）

B.（x+y）12

C.（x+y）7

D.12（x+y）

本題對同底數(shù)冪乘法法則的形式做了進(jìn)一步推廣：底數(shù)由單個字母（單項(xiàng)式）變?yōu)樽帜高\(yùn)算形成的代數(shù)式（多項(xiàng)式），考查學(xué)生對同底數(shù)冪乘法法則一般性的深度理解。

學(xué)生答題后，平臺統(tǒng)計(jì)得到的正確率為70%，出錯的學(xué)生選擇A、B、D選項(xiàng)的都有。選擇A選項(xiàng)的學(xué)生仍然是混淆了同底數(shù)冪相乘與同類項(xiàng)相加，選擇B選項(xiàng)的學(xué)生仍然是執(zhí)行了指數(shù)相乘，選擇D選項(xiàng)的學(xué)生則在運(yùn)算類型與法則結(jié)構(gòu)的認(rèn)知上都存在問題。對此，筆者引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清運(yùn)算類型和法則結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)是認(rèn)識到：同底數(shù)冪乘法法則中的底數(shù)a具有極強(qiáng)的一般性，可以表示三類情況：單純的數(shù)字、次數(shù)是1的單個字母（次數(shù)高于1的單個字母的情況是冪的乘方，多個字母相乘的情況是積的乘方，留作后兩節(jié)課的預(yù)設(shè)）、含有多個字母（可能包含數(shù)字）的多項(xiàng)式。進(jìn)而明確：只要底數(shù)完全一樣，即可運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。

四、指向統(tǒng)一底數(shù)形式的學(xué)情檢測與錯誤化解

筆者設(shè)計(jì)的第6道法則運(yùn)用習(xí)題如下：

6.（-3）3×36等于（? ）

A.（-3）9

B.39

C.33

D.318

本題是底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法，屬于底數(shù)需要統(tǒng)一（即化為同底數(shù)）的情況。根據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)，這類問題考查學(xué)生對法則的靈活運(yùn)用，是學(xué)生容易出錯的。

學(xué)生答題后，平臺統(tǒng)計(jì)得到的正確率為55%，出錯的學(xué)生接近一半選擇了B選項(xiàng)，其他的選擇C、D選項(xiàng)的都有，還有沒有提交答案的。選擇A選項(xiàng)的學(xué)生沒有對是否為同底數(shù)進(jìn)行辨析，選擇C或D選項(xiàng)的學(xué)生對法則結(jié)構(gòu)的認(rèn)知存在問題，沒有提交答案的學(xué)生可能完全不知道應(yīng)該運(yùn)用什么法則。對此，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)底數(shù)不同，需要通過變換變得相同，接著引導(dǎo)學(xué)生思考互為相反數(shù)的兩個底數(shù)應(yīng)該變換哪個、如何變換。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)冪的指數(shù)為偶數(shù)時，其底可以直接換為原底的相反數(shù)；當(dāng)冪的指數(shù)為奇數(shù)時，其底變?yōu)樵椎南喾磾?shù)后要在冪的前面加負(fù)號。從而明確：應(yīng)該首先嘗試換掉指數(shù)是偶數(shù)的冪的底數(shù)，因?yàn)榭梢詼p少一次符號的判斷，提高解題的正確率。最后，筆者針對這個難點(diǎn)給出了幾道補(bǔ)償練習(xí)：

計(jì)算：

（1）24×（-2）7；

（2）（a-b）3×（b-a）2；

（3）33×81。

這三道補(bǔ)償練習(xí)逐層遞進(jìn)：（1）底數(shù)是互為相反數(shù)的數(shù)，即上述習(xí)題的簡單變式；（2）底數(shù)是互為相反數(shù)的代數(shù)式，且是多項(xiàng)式；（3）不同的底數(shù)不互為相反數(shù)，而擁有乘方關(guān)系。

五、指向逆向運(yùn)用法則的學(xué)情檢測與錯誤化解

筆者設(shè)計(jì)的第7、第8道法則運(yùn)用習(xí)題如下：

7.填空：（1）a2·a（? ）=a8；（2）a4·??? ·a2=a10；（3）若a4·am=a10，則m=??? ；（4）若xm·xm=x16，則m=??? 。

8.已知am=5，an=3，求am+n的值。

這兩題都是同底數(shù)冪乘法法則的逆向運(yùn)用：要把a(bǔ)m+n還原為am·an，即把一個指數(shù)拆分為兩個指數(shù)的和，并注意兩個同底數(shù)冪的相乘關(guān)系。其中，第7題給出了冪的相乘關(guān)系和一個作為加數(shù)的指數(shù)，要求另一個作為加數(shù)的指數(shù)，比較簡單，能夠?yàn)橥讛?shù)冪除法法則的學(xué)習(xí)做鋪墊；第8題給出了指數(shù)的相加關(guān)系和兩個冪的值，要求指數(shù)和的冪的值，有一定的難度，需要在逆用法則的基礎(chǔ)上注意冪的相乘關(guān)系以及進(jìn)行整體代換。

學(xué)生答題后，平臺統(tǒng)計(jì)得到：第7題的正確率為95%，個別學(xué)生第（4）小題出錯，給出的答案是4；第8題的正確率為65%，出錯的學(xué)生給出的答案是8，有一些學(xué)生沒有給出答案。出錯的學(xué)生是因?yàn)樵谀嫦蜻\(yùn)用法則時混淆了法則的結(jié)構(gòu)特征：把指數(shù)相加變成相乘或把冪相乘變成相加。沒有給出答案的學(xué)生則可能還缺乏整體代換的意識，看到這種不能求出每個字母的值卻要求出字母式子值的問題有些慌亂。對此，筆者引導(dǎo)他們再回顧同底數(shù)冪乘法法則的結(jié)構(gòu)特征，注意底數(shù)相同以及冪相乘、指數(shù)相加，從而自主糾正錯誤；同時，強(qiáng)調(diào)法則運(yùn)用的靈活性，即不僅可以正用、局部用，而且可以逆用、整體用。

總的來看，這樣的教學(xué)不僅符合變式理論（通過豐富的變式深刻地理解知識），而且符合因材施教理念（以學(xué)生為主體，教在需要教的地方）。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉東升.代數(shù)解題教學(xué)：重視“代”和“變”，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)感——從常見誤區(qū)說起［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（2）：64.