一題多解，發(fā)散思維，多解歸一，能力升華

何偉

【摘要】“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”.數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程A化歸思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性，在應(yīng)用化歸思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了化歸思想.

【關(guān)鍵詞】一題多解；發(fā)散思維；化歸思想

經(jīng)典例題? 如圖0，在△ABC中，CD⊥AB，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，AE交CD于點(diǎn)F，若CD=AB=AE，求證：AF=CF+BD.

方法1? 構(gòu)造全等三角形

證明? 如圖1，作AG⊥AB，BG⊥BC，交于G點(diǎn)，連接CG，交AE于H點(diǎn)，易證：△CDB≌△BAG，AG∥CD，△CBG為等腰直角三角形，BD=AG；

設(shè)∠BCD=α，∠ABE=90°-α=∠AEB，∠HCF=45°-α，∠AEC=90°+α，∠CHF=45°-α，

△CFH為等腰三角形，所以CF=HF

易證：AH=AG，所以BD=AH所以AF=AH+HF=BD+CF.

方法2? 構(gòu)造旁心圓

證明? 如圖2，作∠BAE的角平分線，由B作AB的垂線，兩線相交于G點(diǎn)，由G作CD的垂線與CD交于H點(diǎn)，因?yàn)锳B=AE， 所以AG⊥BE，∠BAG=90°-∠ABC=∠DCB，又AB=CD，所以Rt△BAG≌Rt△DCB，所以GB=BD=GH，所以G在∠CDB的角平分線上，即G為△ADF的旁心，AB、DF均與⊙G相切，因?yàn)锳E=AB，所以E為⊙G切點(diǎn)，所以DF=DH+HF=BD+EF，

即AE=AB=CD=DF+CF=BD+EF+CF，因?yàn)锳E=AF+EF，所以AF=CF+BD.

方法3? 三角比計(jì)算

證明? 如圖3，作AG⊥BE，交BD于G點(diǎn)，設(shè)CD=AB=AE=1，BD=x，角α，β見圖上標(biāo)注，

易得：tanα=1x，tanβ=x，

tan∠FAD=tan2β=2x1－x2，

在Rt△ADF中，DF=2x1+x，

AF=1+x21+x，CF=1－DF=1－x1+x

則CF+BD=1－x1+x+x=1+x21+x，所以AF=CF+BD.

方法4? 構(gòu)造正方形

證明? 如圖4，作∠BAE的角平分線，由B作AB的垂線，兩線相交于G點(diǎn)，連接GE、FG，

作CH⊥BG，交點(diǎn)H，則四邊形ABHK為正方形.

所以AK=AE=AB，所以ABHK為正方形，所以AB=BH.

因?yàn)锳B=AE，AG平分∠EAB，易證：∠AEG=90°.

易證：△ABG≌△BHC，所以CH=BG=EG=BD.

作CJ∥FG，CJ與GH交于J，所以CF=JG，F(xiàn)G=CJ.

因?yàn)镋G=CH，F(xiàn)G=CJ，∠FEG=∠CHJ=90°所以△EFG≌△HJC，所以EF=HJ.

因?yàn)锳B=BH=AE，所以AF+EF=JH+BG+CJ，所以AF=BD+CF.

方法5? 構(gòu)造相似三角形

證明? 如圖5，延長FA到G，使得AG=AD，過F作FH⊥AF，交GD于H，

設(shè)∠AGD=∠ADG=α，

則∠FAD=2α，∠DFH=2α，∠FHD=90°-α，∠FDH=90°-α，∠ABE=90°-α，∠BCD=α，

易得：△BCD∽△HGF，

所以CDFH=AG+AFFD=AD+AFFD

所以CD·DF=（AD+AF） ·BDCD·2DF=2（AD+AF） ·BD

所以CD2+CD（DF-CF）=2（AF+AD）AB2-2AD·BD+CD（DF-CF）=2AF·BD

所以AD2+DF2+BD2-CF2=2AF·BDAF2+BD2-2AF·BD=CF2

所以（AF-BD）2=CF2AF=CF+BD

方法6? 解析法——建立平面直角坐標(biāo)系

證明? 如圖6，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為X軸，直線DC為Y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=CD=AE=1，DB=a（a>0），則點(diǎn)B，A，C的坐標(biāo)分別為B（a，0），A（1-a，0），C（0，1），作AH⊥BC，交BC于H點(diǎn)，

因?yàn)锳E=AB，所以H為BE中點(diǎn)，且AH⊥BC，因?yàn)閗BC=－1a，所以kAH=a.

可得直線AH的方程為：y=ax+a（a－1），因?yàn)橹本€BC的方程為：y=－1ax+1.

聯(lián)系方程組可得點(diǎn)H坐標(biāo)為

H（－a3+a2+aa2+1，2a2－aa2+1）.

因?yàn)镠為線段EB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（－3a3+2a2+aa2+1，4a2－2aa2+1）.

從而可得直線AE的方程為：

y=2a－a2+1x+2a（a2+a－2）（a2+1）（a+1）.

因?yàn)橹本€AE交Y軸于點(diǎn)F，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F0，2a（a2+a－2）（a2+1）（a+1）.

由兩點(diǎn)間距離公式可得：

AF=a3－a2+3a－1a2+1，

CF=－a2+2a+1a2+1，BD=a，

計(jì)算可得：AF=CF+BD.

典型應(yīng)用? 一題多解是幾何學(xué)習(xí)過程中不斷提升思維能力的有效手段，針對同一個(gè)問題，用不同的思考方式，體會上不同方法之間的融會貫通，在個(gè)性中尋找共性，以解決類似的幾何問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在應(yīng)用的過程中，我們要針對具體問題，要合理選擇最適合的證明方法，下面提供兩道例題，本文僅選用一種較為簡潔的證明方法，其他方法留給讀者自信完成．

例題1? 如圖1.1，已知：正方形12中，12分別在12上，12于12，求證：12．反之，若12．

解答? 如圖1.1，延長CB至H，使BH=DF，連結(jié)AH，則△AHB≌△AFD，∠HAF=∠BAD=90°，∠HAF=90°-45°=45°，又AH=AF，AE=AE，故△AHE≌△AFE，AB、AG為其對應(yīng)邊上的高，于是AG=AB．

反之，若AG=AB，則RT△ABE≌RT△AGE，∠EAG=∠BAE，同理∠FAG=∠DAF，于是∠EAF=12∠BAD=45°．

例題2? 如圖2.1，已知：△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC于D，BD=3、CD=2．求：AD.

解答? 如圖2.2，由題意知AD⊥BC，則∠ADB=∠ADC=90°，翻折直角△ABD到△ABE，翻折直角△ADC到△AFC，延長EB、FC，交于點(diǎn)G．

由翻折的對稱性得：∠BAD=∠BAE=∠1，∠CAF=∠CAD=∠2，AE=AF，因?yàn)椤螦=45°，則2∠1+∠2=90°=∠EAF，又∠AEB=∠AFC=90°，所以四邊形AEGF為正方形，設(shè)正方形邊長為x；在Rt△BCG中，x－22+x－32=52，解得：x=6或－1（舍），所以AD=6．

結(jié)語

面對抽象的平面幾何問題，可以用轉(zhuǎn)化和化歸思想進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，應(yīng)用全等、相似、三角比、圓等工具，將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，從而順利解決問題.通過建立平面直角坐標(biāo)系，充分運(yùn)用代數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行化歸，將幾何問題代數(shù)化，從而解決抽象的幾何難題.充分理解不同解題方法的深層原理和數(shù)學(xué)思想，直線與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想， 特殊與一般的思想.敢于發(fā)散思維，大膽嘗試獨(dú)特的解題思路，并在運(yùn)用過程中根據(jù)題目的實(shí)際需要，對方法進(jìn)行合理有據(jù)的轉(zhuǎn)化，使之能夠正確、合理的完成對題目的簡潔性解答.