“概念圖”在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的運(yùn)用探研

陳銀娟

摘要：基于初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)際，教師可以概念圖將數(shù)學(xué)知識脈絡(luò)清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，啟發(fā)學(xué)生思考，強(qiáng)化學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)概念的理解、對知識之間聯(lián)系的把握，進(jìn)而使學(xué)生形成個性化的數(shù)學(xué)知識框架，提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效率。在具體實(shí)踐中，教師可以概念圖展示引導(dǎo)學(xué)生回顧知識，以概念圖繪制引導(dǎo)學(xué)生梳理重點(diǎn)知識，以概念圖優(yōu)化引導(dǎo)學(xué)生完善知識體系，以概念圖運(yùn)用強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，以概念圖拓展促使學(xué)生遷移知識，以概念圖回歸加強(qiáng)師生的反思總結(jié)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；概念圖；復(fù)習(xí)教學(xué)；知識體系；訓(xùn)練；遷移

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2024）02-0089-04

初三階段的復(fù)習(xí)課可幫助學(xué)生有效梳理知識，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性較強(qiáng)的學(xué)科，主要知識點(diǎn)之間存在嚴(yán)密的邏輯關(guān)系。概念圖是一種能夠表征和組織知識點(diǎn)的可視化思維工具，一般由概念、連線、命題組成，其應(yīng)用于初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，可清晰呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，提升復(fù)習(xí)課效率[1]。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，探究“概念圖”在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的運(yùn)用策略，以此為初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課提供教學(xué)方法的借鑒。

概念圖具有非常強(qiáng)的直觀性和邏輯性。初三階段的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是讓學(xué)生簡單地重復(fù)所學(xué)知識，而是使其思維實(shí)現(xiàn)由低級到高級的螺旋式上升，即在重復(fù)和概括的基礎(chǔ)上梳理知識，在對知識對象化認(rèn)識的基礎(chǔ)上建構(gòu)知識之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，并把所學(xué)的各部分知識整合起來，形成一個統(tǒng)一的整體，建立知識結(jié)果體系，進(jìn)而形成綜合運(yùn)用知識的能力[2]。基于此，教師可通過展示概念圖，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識，找到梳理知識的線索，認(rèn)識其在考試以及實(shí)際生活中的運(yùn)用，以此提升復(fù)習(xí)的系統(tǒng)性、概括性和綜合性。

以“實(shí)數(shù)”復(fù)習(xí)為例，通過對近年中考真題的分析可知，“實(shí)數(shù)”常以選擇題、計算題的形式出現(xiàn)，考點(diǎn)一般有實(shí)數(shù)的相關(guān)概念，如相反數(shù)、絕對值、數(shù)軸、倒數(shù)等，實(shí)數(shù)運(yùn)算則多與二次根式、三角函數(shù)、負(fù)指數(shù)冪、絕對值等結(jié)合，以解答題形式考查，少數(shù)以填空的形式出題。在復(fù)習(xí)中，學(xué)生需要熟練掌握實(shí)數(shù)相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則等知識點(diǎn)。為達(dá)到這一目的，教師可為學(xué)生設(shè)計并展示概念圖，引導(dǎo)學(xué)生回顧常見考點(diǎn)，并結(jié)合習(xí)題鞏固知識。這樣，借助概念圖，學(xué)生能夠系統(tǒng)梳理“實(shí)數(shù)概念”“實(shí)數(shù)分類”“實(shí)數(shù)大小”“實(shí)數(shù)運(yùn)算”等內(nèi)容，并根據(jù)分支中的概念將知識點(diǎn)細(xì)化，如回顧“數(shù)軸”概念后，在教師的指點(diǎn)下，注意到“數(shù)軸上的右邊表示的數(shù)總比左邊表示的數(shù)大”“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對應(yīng)關(guān)系”；根據(jù)“相反數(shù)”的概念認(rèn)識到a的相反數(shù)為-a，若a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a-b的相反數(shù)為-（a-b）或b-a。

教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，課堂上展示的概念圖可使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識由模糊變?yōu)榍逦呻s亂無章變?yōu)檎R有序，尤其是制作精美的概念圖更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[3]。為此，教師要提升自身的概念圖制作能力，了解最新的繪圖軟件的使用方法，并加以合理運(yùn)用。除能制作精美、科學(xué)、合理的概念圖之外，教師還要在概念圖的展示時機(jī)、展示形式及語言運(yùn)用等方面做好功課，以此充分發(fā)揮概念圖的作用。

歸納總結(jié)是非常關(guān)鍵的學(xué)習(xí)步驟，特別是在中考備戰(zhàn)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生按照一定的主題對分散在不同章節(jié)的知識進(jìn)行歸納總結(jié)，找出其中的聯(lián)系，促使學(xué)生對知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考，全面掌握各個知識點(diǎn)之間的關(guān)系，并從本質(zhì)上認(rèn)識所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)效率的逐步提升[4]。在這一過程中，概念圖的應(yīng)用十分必要，教師可通過示范講解等方式引導(dǎo)學(xué)生自主繪制概念圖，使其對已學(xué)知識進(jìn)行深入的思考，掌握科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法，不斷提高自主學(xué)習(xí)能力。

例如，直角三角形是幾何中的重要內(nèi)容，其性質(zhì)和判定較多且很重要，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，這部分知識的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。但部分學(xué)生缺乏邏輯思維能力，對知識的掌握比較零散，沒有形成體系。對此，教師可設(shè)計“直角三角形”專題復(fù)習(xí)課，并借助概念圖引導(dǎo)學(xué)生自主梳理分散的知識點(diǎn)，積極構(gòu)建知識體系，為下一步的知識運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。在課堂實(shí)踐中，教師可指導(dǎo)學(xué)生回顧“直角三角形”這一核心概念，然后讓學(xué)生從這一核心概念出發(fā)，自主繪圖概念圖，復(fù)習(xí)歸納與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)和判定。這樣，在概念圖中核心概念的引導(dǎo)下，學(xué)生就可明確“性質(zhì)”和“判定”的區(qū)別，并分別進(jìn)行梳理。其中，在“性質(zhì)”這一概念下延伸出如下內(nèi)容：兩銳角互余，即兩銳角和為90°；30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；斜邊上的中線等于斜邊的一半等。在“判定”這一概念下延伸出如下內(nèi)容：有兩個角互余的三角形是直角三角形；有一個角為90°的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。在這個過程中，教師要隨時巡視課堂，對學(xué)生繪制的概念圖進(jìn)行指導(dǎo)，并選擇其中的典型概念圖進(jìn)行展示，向?qū)W生進(jìn)一步說明概念圖繪制中應(yīng)注意的問題，促使學(xué)生共同回顧其中的重難點(diǎn)知識，逐步提高知識掌握效果。

實(shí)踐表明，無論是教師引導(dǎo)下的概念圖制作，還是學(xué)生自主完成的概念圖，都是進(jìn)行頭腦風(fēng)暴的過程，有利于學(xué)生精準(zhǔn)找到各知識點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知能力的發(fā)展。在具體教學(xué)中，教師要告訴學(xué)生不能操之過急，秉持循序漸進(jìn)的原則，科學(xué)運(yùn)用各種類型的概念圖（如魚刺圖、輻射圖、直線圖、流程圖等）建立知識間的聯(lián)系。通過一段時間的操作，學(xué)生就能逐漸掌握繪制概念圖的技巧、要求和重點(diǎn)，并形成具有個性化的、符合自身學(xué)習(xí)需求的概念圖。

基本概念、性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，解題思路與方法，是初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重中之重。在復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，教師可以利用概念圖幫助學(xué)生梳理歸納知識。但復(fù)習(xí)是一個動態(tài)發(fā)展的過程，在不同階段的復(fù)習(xí)中，學(xué)生對知識的整理及理解都不同，為此，教師可通過不斷優(yōu)化概念圖的方式引導(dǎo)學(xué)生梳理、豐富知識內(nèi)容，循序漸進(jìn)地構(gòu)建完整的知識體系。

例如，初中階段的概率與統(tǒng)計包括“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“隨機(jī)事件的概率”兩大主題，在第一階段的復(fù)習(xí)中，教師可根據(jù)“統(tǒng)計”“概率”這兩個核心概念，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建概念圖，幫助他們更好地理解這部分內(nèi)容。概率、統(tǒng)計中的一些概念與定義具有一定的抽象性，需要學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上完成解題過程。例如，“概率”中常被混淆的概念是“頻率”與“概率”，它們之間有區(qū)別也有聯(lián)系，兩者都是計算某一事件發(fā)生的可能性大小，但概率體現(xiàn)的是實(shí)驗(yàn)次數(shù)累積到一定數(shù)量后出現(xiàn)的穩(wěn)定性。教師可利用概念圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)別，并通過進(jìn)一步優(yōu)化概念圖內(nèi)容，使學(xué)生透徹理解概念，并能在做題中準(zhǔn)確運(yùn)用。再如，在“統(tǒng)計”中，教師可引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注統(tǒng)計量的計算，并通過“集中程度”和“離散程度”兩個分支，充分理解三數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）、三差（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的計算方法及其意義，進(jìn)而按照一定的邏輯來完善概念圖，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

概念圖繪制完成后，不能放置一邊，要進(jìn)一步優(yōu)化，以便觀看、復(fù)習(xí)。同時，教師要讓學(xué)生知曉概念圖是鞏固、吸收知識的重要載體，而不斷優(yōu)化概念圖可使自己的知識體系更加完善。在具體踐行中，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容先給出幾個主題詞，讓學(xué)生利用這些主題詞自主完成基礎(chǔ)性的概念圖，之后進(jìn)行展示，師生共同找出其中存在的問題，再加以完善與優(yōu)化，最終形成合乎邏輯的概念圖[5]。

在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，由于知識重構(gòu)，學(xué)生面對題目時思考的范圍要更寬、更廣，平時基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生很容易在這個階段出現(xiàn)問題。而有的學(xué)生為鞏固知識常常進(jìn)行大量的機(jī)械練習(xí)，并希望通過解題內(nèi)化概念。其實(shí)，這樣的機(jī)械訓(xùn)練會限制學(xué)生的思維向高階發(fā)展。對此，教師可以利用概念圖引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行知識梳理，再根據(jù)圖中呈現(xiàn)的關(guān)鍵信息開展針對性練習(xí)，讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，并感知、理解不同概念之間的關(guān)系，逐步提高習(xí)題訓(xùn)練效果[6]。

例如，在“平行四邊形”的復(fù)習(xí)中，教師可先利用問題進(jìn)行教學(xué)導(dǎo)入：回顧所學(xué)，我們接觸過哪些特殊的四邊形？是按照什么順序?qū)W習(xí)這些四邊形的？你能利用概念圖表示一下這些四邊形之間的關(guān)系嗎？學(xué)生通過課堂回答，回顧了平行四邊形、矩形、菱形和正方形等四邊形，并利用概念圖明確了各圖形之間的關(guān)系。教師追問：你能說一下平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定嗎？請根據(jù)所表達(dá)的內(nèi)容整理出概念圖。基于以上問題，學(xué)生要用幾何語言表述平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定，并整理成概念圖，讓知識系統(tǒng)化、條理化呈現(xiàn)，這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，還能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，從而體現(xiàn)復(fù)習(xí)課的真正價值。在此基礎(chǔ)上，教師可采用以練習(xí)帶概念的方法，圍繞概念圖中的關(guān)鍵信息選擇有代表性的課堂練習(xí)，使學(xué)生在回顧舊知中結(jié)合概念圖更具體、直觀地感受所學(xué)的抽象概念，并從習(xí)題中提煉出基礎(chǔ)知識，再應(yīng)用到解決具體問題中，避免死記理論、理論與實(shí)際脫節(jié)等情況發(fā)生。同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，讓學(xué)生將學(xué)過的零散知識通過梳理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化，并認(rèn)識到復(fù)習(xí)課不是對舊知識的簡單重復(fù)，而是對知識的再認(rèn)識、深化。例如，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，且AB//CD，添加下列哪個條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形：（）A.AD=BC、B.AD//BC、C.OA=OC、D.AB=CD。教師也可對重點(diǎn)例題進(jìn)行大膽開發(fā)、變化。如四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BP// AC，過點(diǎn)A作AP//BD，BP與AP相交于點(diǎn)P，試判斷四邊形APBO的形狀，并說明理由。在此基礎(chǔ)上可進(jìn)行如下變式：（1）若連接OP得到四邊形ADOP，四邊形ADOP是什么四邊形？（2）若將平行四邊形ABCD改為矩形ABCD，其余條件不變，得到的四邊形APBO是什么四邊形？這樣，通過變式習(xí)題復(fù)習(xí)不同四邊形的相關(guān)概念，既可調(diào)動學(xué)生的思維，打通知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生跳出“題海”，真正達(dá)到“知一題、懂一類、通一片”的效果，還可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對性的探討，圍繞概念圖中不同四邊形的關(guān)系與教師、同學(xué)進(jìn)行雙向交流，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識。

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對知識的整理，依據(jù)知識間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系，讓分散的知識結(jié)構(gòu)化[7]。教師作為教學(xué)主導(dǎo)者，一方面要引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)知識結(jié)構(gòu)與解題方法，然后針對學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，緊扣知識的混淆點(diǎn)和易錯點(diǎn)來層層剖析，讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)，另一方面還要適當(dāng)拓展延伸，拓寬學(xué)生思路，讓學(xué)生真正內(nèi)化吸收概念圖中的信息，進(jìn)一步提高復(fù)習(xí)效果[8]。

例如，在“二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，教師可利用多媒體課件呈現(xiàn)學(xué)生所接觸的二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）、y=ax2+ k、y=ax2、y=a（x原h(huán)）2+k、y=a（x原h(huán)）2，要求學(xué)生說出自己最喜歡的二次函數(shù)，然后利用幾何畫板呈現(xiàn)“上下平移”“左右平移”“乘法運(yùn)算”“配方”等連接詞，讓學(xué)生建立幾個二次函數(shù)之間的關(guān)系，形成完整的概念圖。在這一環(huán)節(jié)，教師可根據(jù)學(xué)生的回答呈現(xiàn)函數(shù)類型，讓學(xué)生按照從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的順序，結(jié)合幾何畫板展示的圖像討論二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，以此發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。接下來，為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師可設(shè)計題目：若你是出題人，會根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2x-3提出哪些問題？獨(dú)立思考后，先把你能提出的問題寫在草稿紙上，然后組內(nèi)討論，互相補(bǔ)充，把問題歸類，并派代表匯報。這一開放性問題能夠充分調(diào)動不同層次學(xué)生的主觀能動性，使學(xué)生根據(jù)自己的知識掌握程度，從出題人角度提出不同深度的問題，而學(xué)生進(jìn)行組內(nèi)討論，以出題的方式進(jìn)一步梳理二次函數(shù)的性質(zhì)，可對之前的概念圖進(jìn)行深化。為拓展學(xué)生思路，教師可以聯(lián)系實(shí)際設(shè)計習(xí)題，如將一座拱高和底寬都為192米的拱門看作一條拋物線，你能通過建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出與該拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式嗎？在問題引導(dǎo)下，學(xué)生查找資料、解答問題，將概念圖中的抽象信息與現(xiàn)實(shí)生活建立聯(lián)系，不僅能深化對知識的理解和運(yùn)用，提高復(fù)習(xí)效果，還能基于概念圖拓展認(rèn)知，完成知識的有效遷移。

反思總結(jié)是概念圖運(yùn)用中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這可讓學(xué)生充分認(rèn)識到概念圖在提高復(fù)習(xí)效果中的作用，并由淺入深地用概念圖自主展開訓(xùn)練，從而直擊數(shù)學(xué)的核心概念，提高解題訓(xùn)練效果和復(fù)習(xí)水平[9]。在具體運(yùn)用中，教師要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的知識掌握程度，組織學(xué)生展示、評價概念圖，進(jìn)行總結(jié)反思，查缺補(bǔ)漏，促使學(xué)生掌握更科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)一步完善知識體系，提升思維品質(zhì)，同時及時總結(jié)、反思自身在教學(xué)中存在的問題，以提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課效果。

例如，在“方程與方程組”的復(fù)習(xí)中，教師可利用概念圖引導(dǎo)學(xué)生梳理“方程與方程組”的有關(guān)概念，使其對“方程的解”“解方程”“方程的增根”進(jìn)行深入理解。之后，師生一同進(jìn)行反思，從總體上把握本節(jié)課的主要內(nèi)容，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)對方程和方程組核心概念的回顧整理、查缺補(bǔ)漏，并在不同難易程度的習(xí)題中應(yīng)用知識進(jìn)行訓(xùn)練。在根據(jù)實(shí)際問題列分式方程的過程中，有的學(xué)生經(jīng)常找不到等量關(guān)系，或?qū)Ψ质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根的原因不理解。對此，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧概念圖，通過其中的關(guān)鍵詞重新理解知識，并結(jié)合教材知識進(jìn)行補(bǔ)充完善，真正做到查缺補(bǔ)漏，或以習(xí)題練習(xí)的方式，輔助學(xué)生鞏固重點(diǎn)知識，切實(shí)完成復(fù)習(xí)目標(biāo)。可以說，加大反思總結(jié)環(huán)節(jié)的重視程度不僅可提高概念圖的運(yùn)用效率，還有利于學(xué)生對知識的深度理解與掌握。

綜上所述，數(shù)學(xué)課改的目的是促使學(xué)生更科學(xué)、更高效地學(xué)習(xí)知識。概念圖具有高度的概括性，其依靠節(jié)點(diǎn)表示概念，依靠連線表示概念之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)整體表述的條理性與清晰性，有助于學(xué)生高效掌握數(shù)學(xué)概念及知識之間的聯(lián)系。其應(yīng)用于初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，可有效引導(dǎo)學(xué)生剖析知識的內(nèi)涵，層層深入思考知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并進(jìn)行概括總結(jié)，從而使學(xué)生的思維一直處于螺旋上升狀態(tài)，最終建立條理清晰、有思想并成體系的知識框架，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)效果的逐步提高。隨著新課改的進(jìn)一步推進(jìn)、落實(shí)，教育工作者應(yīng)加強(qiáng)對概念圖應(yīng)用方法和策略的深層次研究，積極改進(jìn)初三數(shù)學(xué)課的復(fù)習(xí)方式，提升初三數(shù)學(xué)課的復(fù)習(xí)效率，打造精品復(fù)習(xí)課堂，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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Exploration of the Application of "Concept Map" in the Teaching of Mathematics Review Course in Junior Middle School

Chen Yinjuan

（Yuqian No.1 Junior Middle School， Lin’an District， Hangzhou City， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： Based on the teaching practice of the third year mathematics review class， teachers can present the mathematical knowledge context clearly in front of students through concept maps， inspire students to think， strengthen their understanding of abstract mathematical concepts， grasp the connections between knowledge， and form personalized mathematical knowledge frameworks， thereby improving the quality and efficiency of review. In specific practice， teachers can display and guide students to review knowledge through concept maps， guide students to sort out key knowledge through concept map drawing， optimize and guide students to improve their knowledge system through concept map optimization， strengthen students’ mathematical training through concept map application， promote students’ knowledge transfer through concept map expansion， and strengthen teachers’ and students’ reflection and summary through concept map regression.

Key words： junior middleschoolmathematics； conceptmap； review teaching；knowledgesystem；training；transfer