漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換相關性在教育教學中的應用

摘 要：漢字是中華民族悠久歷史文化的載體，古壯字是以漢字為基礎發展起來的古代壯族人民的語言文字，它們在字形結構演變過程中展現了中華民族對漢字平衡美、動態美、意蘊美的精神追求。幾何變換既是幾何學的基礎知識，也是一種重要的思想方法，是學生后續學習更復雜的幾何知識和解決實際問題的重要工具。漢字和古壯字的字形結構對稱與幾何變換具有一定的相關性。將漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換的思想方法融入課堂教學，可遵循“回歸—再現—重塑”的教學思路：通過對漢字字形結構的解析，讓教學回歸現實生活情境及數學抽象，再現字形結構對稱與幾何變換的相關性，達到語文課程與數學課程的有機融合，從而有效發展學生的學科核心素養，重塑學生的思想方法，同時促使學生潛移默化地傳承中華優秀傳統文化。

關鍵詞：漢字；古壯字；字形結構對稱；幾何變換；數學抽象；符號化；相關性

中圖分類號：G47 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）34-0077-06

數學課程的“四基”特別強化對學生“基本思想”的培養。在義務教育數學課程中，圖形與幾何領域的課程內容占有較大比重，要求教師們在相關教學中更加關注學生空間觀念和幾何直觀素養的培養［1］?？臻g觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識［2］9；幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識和習慣［2］8。幾何變換既是圖形與幾何領域中重要的學習內容，也是一種重要的思想方法［3］。幾何變換是歐氏幾何的語言和論證工具，它能在不同的幾何論證中挖掘其一致性、規律性，從而使幾何與現代數學的基礎聯系在一起［4］。在初等數學中，幾何圖形的基本變換類型包括對稱、平移和旋轉，也叫合同變換或全等變換［5］；它可以幫助學生更好地理解圖形的性質及運動規律，讓學生更加直觀地感受到圖形動態變化的過程。在教學實踐中，數學教師應著力引導學生靈活運用幾何變換的思想方法解決現實生活中的實際問題，從而培養學生的空間觀念與幾何直觀素養。

研究漢字、古壯字字形結構對稱中蘊含的幾何變換思想，對培養學生幾何直觀、空間觀念素養和邏輯思維能力具有重要的現實意義。截至目前，漢字依然是世界上使用歷史最悠久、使用人數最多的文字之一，漢字的創制和應用不僅推進了中華文明的發展，而且對世界文明的發展產生了深遠的影響。從最初的“結繩記事”“圖畫文字”到如今的現代漢字，漢字的演變經歷了數千年的符號化過程。漢字是中華民族悠久文化的載體，是中華文明的精神標識和文化精髓。壯族是我國人口最多的少數民族，在長期的生產生活中，壯族人民仿效漢字六書的構字方法，借用漢字的偏旁部首，加上壯族的諧音，創造了方塊古壯字，并在其中融入了本民族的文化特色和思維習慣［6］59。漢字的字形結構演變過程與數學課程中的數學抽象過程有異曲同工之妙，都是從不同側面抽取現實事物的本質屬性，對現實事物進行符號化的過程。因此，研究漢字、古壯字在演變過程中其字形結構對稱與幾何變換的相關性，并基于這種相關性將漢字和古壯字的字形結構對稱演變融入教育教學，不僅有利于發展學生的數學抽象能力，而且有利于引導學生不斷浸潤中華優秀傳統文化，賡續中華文脈。習近平總書記在全國宣傳思想文化工作會議上提出了“七個著力”的要求，其中第五個“著力”要求是“著力賡續中華文脈、推動中華優秀傳統文化創新性轉化和創新性發展”。深入挖掘漢字文化的時代價值，推動漢字文化與現代教育教學的有機結合，具有深遠的現實意義。本文通過分析漢字和古壯字的字形結構對稱與幾何變換的相關性，嘗試將其融入現代教育教學，為義務教育學校隱性文化教育和相關學科課堂教學提供新的育人視角和育人情境，進一步發揮優秀傳統文化的育人價值，鑄牢學生的中華民族共同體意識。

一、漢字、古壯字字形結構演變及其與幾何變換的相關性

漢字是世界上最獨特的文字之一，漢字的創制和演變蘊含了我國古人的智慧和豐富的美學價值。古壯字是在漢字基礎上發展演變而來的。漢字、古壯字的字形結構對稱與幾何變換具有明顯的相關性，展現了漢字字形結構演變過程中對漢字平衡美、動態美、意蘊美的精神追求。

（一）漢字、古壯字字形結構的演變過程

前賢對漢字結構及構形進行了大量研究，除了傳統“六書”理論及其基礎上的“三書”“新六書”等漢字結構理論外，還有一些針對漢字結構歷時演變規律特點的研究成果。張素鳳的《漢字結構演變史》打破了前賢對漢字結構研究多數集中于共時研究的傳統，嘗試將研究視角轉移到漢字結構的歷時變化當中，將商周最早字形、秦篆和現代楷書作為研究漢字結構歷時變化的考察對象，從漢字構件不同和構形模式差異視角研究漢字結構變化的規律，她發現，從殷商文字到西周金文再到秦篆，含象形、標志構件字呈下降趨勢，含示音構件字、含表義構件字、含記號構件字呈上升趨勢，概括起來就是古文字階段字形結構模式的變化呈義化、音化、記號化方向發展［7］。

漢字的演變大致經歷了甲骨文—金文—大篆—小篆—隸書—楷書等字形結構變化的過程。甲骨文出現在商朝晚期，是一種刻（或寫）在甲骨上用于占卜記事的文字［8］，已具備漢字構形的各種類型，兼備傳統“六書”之“四體”，即象形、指事、會意、形聲，是一種結構成熟、功能完備的文字符號體系［9］。金文也叫鐘鼎文，是鑄造在青銅器上的銘文，其書體一般稱為大篆或?書，上承甲骨文，下啟秦代小篆。從大篆到小篆，字形更加線條化、規范化，筆畫均已簡省，而字數日增。隸書一反篆書縱向取勢的常態，字形扁方、左右分展：構形化圓為方、線條化弧為直成是篆書向隸書演化的兩條基本路子。隸書的起源是為了方便大量文字的書寫和管理，線條追求直角，橫平豎直，給人莊嚴穩重的感覺，同時展現出較強的幾何構造美，使得漢字的字形結構更加具備軸對稱、平移、旋轉等幾何變換的特質?？瑫步姓龝?、正楷，其字形結構更顯方正，強調筆畫和偏旁部首均衡分布、重心平穩、比例適當、字形端正、合乎規范，字與字排列在一起要大小勻稱、行款整齊，也更便于人們探究這種字體結構中的數學元素。在楷書盛行的唐朝，壯族人民以漢字為基礎，利用“借”“仿”“創”的構造原理創造了古壯字，用來表達情感、記錄大大小小的生活事件以及壯族民間的神話傳說、故事歌謠、寓言諺語等［6］59，從而為后人研究壯族的歷史和社會變遷提供了文字依據。古壯字中的借源文字占比達90%以上，在字形、字音和平面結構等方面都與漢字有著密不可分的聯系［10］。

（二）漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換的相關性

忽略字形的形狀、大小以及筆畫中的細節差異，許多漢字的字形結構具有以下特征：具有明顯的軸對稱性質，如“甲”“山”等漢字；具有中心對稱性質，如“串”“田”“噩”等漢字；具有平移性質，如“朋”“炎”等漢字。幾何變換使得漢字在視覺上更具動態平衡的美感。漢字結構對稱與幾何變化的相關性不僅體現在漢字本身的視覺美感上，也體現在漢字的設計與創作中，如魯迅先生設計的由“北”和“大”兩個篆字上下排列構成的北大?；請D案（如圖1）也是一個軸對稱圖形。沿襲了漢字構字方式的古壯字，比如“雷”字，表音是“naz”，表意是“田”，該古壯字既借用了漢字的形體，也借鑒了漢字的造字方法，其字形結構對稱與幾何變換同樣具備相關性。

二、漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換相關性在教育教學中的應用樣態

漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換相關性在教育教學中的應用樣態可體現在顯性教育和隱性教育兩個方面。

（一）在顯性教育中的應用

顯性教育指的是教育者根據義務教育各學科課程教學的需要，有目的、有計劃地對受教育者施以的教育教學行為，多指向日常課堂教學。

例如，在數學課堂上，學生通過參與寫、剪、轉、拼等數學活動，觀察“司”字經過翻轉成為“后”字，感悟幾何變換的奇妙；或者將具有相同部分的圖片（字或者偏旁）進行平移變換，探索和發現雙木“林”，三木“森”等有趣現象。利用漢字字形結構對稱加深學生對幾何變換的理解，挖掘漢字文化在數學教育領域的應用，不僅有利于培養學生的數學素養，而且有利于促進學生對漢字文化的認識與理解，增強學生的民族自豪感和民族文化自信。

又如，在語文課堂的識字教學中，教師摒棄機械練習的識字教學，引導學生去體會漢字的字形結構及其與數學幾何變換的相關性，讓學生從中感受漢字結構之美及筆畫之中所體現的幾何變換之美，不僅有利于提高學生的學習熱情，而且有利于發展學生的思維能力，促進學科教學融合。以“火”字教學為例，教師先向學生展示該字從甲骨文到楷書的字形演變過程（如圖2），引導學生觀察甲骨文的“火”字象形字，其形狀猶如熊熊燃燒的火焰；金文“火”字演變為用船錨的形狀表現火苗的象形，又進一步演變為火苗的象形加兩點，兩點表示火苗中有東西向旁邊迸發出來，用來描繪火向四周發光發熱的象形；小篆演變為“人+兩點”；隸書延續小篆的造型，字形略橫；楷書延續隸書的寫法，字形更加筆畫化，規整統一為抽象的點與線。將“火”字的演變過程呈現給學生，讓學生體會漢字演化過程中漢字結構對稱與幾何變換的相關性，更加有利于學生認識、理解和記憶“火”字，明白“火”字的基本寓意。

（二）在隱性教育中的應用

隱性教育指的是通過非正式的教育途徑對受教育者進行潛移默化的影響的教育方式，包括學校環境和學校文化建設、班級環境和班級文化建設等。仍以魯迅先生設計的北京大學的?；諡槔?，作為軸對稱圖形，該校徽上部的篆體“北”字猶如兩個背對背站立的人像，下部的篆體“大”字則如一個站得堅如磐石的人像，“北”和“大”二字結合，表現了漢字字形結構對稱與幾何變換的軸對稱，有一種莊嚴、穩定的美感，不僅展現了“三人成眾”“師生關系”的鮮明意象，而且蘊含了北京大學挺起脊梁、為祖國培養人才的深層意蘊。生活中常見的用漢字字形結構對稱進行幾何變換的例子還有很多，比如我國非物質文化遺產中的剪紙文化，其中就有各種各樣對稱、美麗的字形圖案，如常見的“囍”字。

三、將漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換思想融入課堂教學的基本思路

教學思路是教師為了達成教學目標所采取的一系列教學步驟和策略，可以在一定程度上體現教師的思維走向。明確、連貫、科學、合理的教學思路可以有效激發學生的學習興趣和創新活力，提升學生的學習效果，從而提高教學質量。將漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換相關性融入課堂教學，可以遵循“回歸—再現—重塑”的教學思路（如圖3）。

（一）回歸

“回歸”即回到原點、回到起點、回到某個原初的地方或狀態，也可寓意某種循環，或是精神上的尋根。漢字是中華優秀傳統文化的瑰寶，經歷了漫長的演變過程。漢字的創制與演變中蘊含著典型的數學抽象思維，且與幾何變換密切相關，許多漢字的字形可以通過軸對稱、平移、旋轉或者是縮放進行調整，從而達到平衡美或動態美的視覺效果。在數學教學中，將數學概念中的漢字“回歸”漢字字形結構對稱與相關的幾何變換的原初狀態，可以營造出一種極有意境的教學情境，幫助學生更深層次地理解和把握數學概念的本質。如“中點”這一數學概念，其中的“中”字是一條豎線把字形分割成左右兩部分的對稱結構，體現了漢字字形結構的軸對稱特點，這與“中點”概念中說到的“分為兩個相等的部分”互為表里，可以使學生對“中點”的概念理解得更為透徹、深刻。

（二）再現

“再現”即再次顯現，既可以指視覺、姿態、聲音等外觀的再次顯現，也可以指內部規律的再次顯現。例如，在語文課程中教學“雨”字的演變過程（如圖4），讓“雨”這種自然現象再次顯現，可以很好地培養學生對漢字的認識與理解，從而幫助學生識記漢字，培養學生對語言文字的敏感性；雖然該字在各個時期的字形結構略有不同，但是它們都有相同的結構特征——水滴都排布在“云層”的字形之下且呈左右對稱分布，給人一種平衡的美感，同時給人造成一種直觀的視覺沖擊，仿佛下雨的場景就在眼前。教師引導學生觀察漢字的對稱性，并嘗試通過幾何變換的方法（如翻折和旋轉）來驗證其對稱性，在發展學生對漢字文化感知能力的基礎上，可以有效發展學生的空間想象力，將語文課程與數學課程巧妙地融合起來。

（三）重塑

“重塑”即重新塑造，指的是以原本的存在為基礎重新打造。在教學實踐中，公理化思想的獲得過程便是一種思想方法的重塑過程。而所謂公理化思想，指的是任何真正的科學都始于原理，以它們為基礎，并由之導出相關的結果。將漢字字形結構對稱與幾何變換相關性融入教學，教師從漢字字形結構對稱回歸數學文化、數學情境以及數學抽象，再現字形結構對稱與幾何變換的相關性，最終可達到形成數學抽象的公理化思想。數學是一門抽象的學科，而公理化思想是數學學習中的重要內容和核心概念，它可以幫助學生在閱讀漢字時將其字形結構對稱與數學中的幾何變換聯系起來，讓學生學會辨識漢字中隱含著哪種幾何變換，學會發散思維尋找蘊含同樣幾何變換的其他字形，甚至遷移知識尋找其他的幾何變換在漢字字形結構中的應用。這樣的教學重塑過程，可以使有關幾何變換的教學不再局限于單純的數學課堂，而與語文課程中的漢字學習，或者語文課程與其他課程的概念學習有機地融為一體，一方面可以拓展學生的學科思維，讓學生習得公理化的思想方法，另一方面可以有效提高學生的邏輯思維能力和自主學習能力。

四、基于漢字、古壯字字形結構對稱的初中數學幾何變換教學

漢字字形結構對稱往往能夠勾起人們對許多美好事物的想象。而幾何變換作為一種強大的數學學習工具，不僅能夠創造出豐富的視覺效果，而且能夠利用其結構特點解決復雜的幾何問題，具有簡約美、和諧美和應用美［11］。

（一）關于軸對稱的教學實踐

軸對稱是一種基本的幾何性質，描述的是圖形的鏡像，給人一種對稱、平衡、和諧的感覺。在數學解題中，利用軸對稱的性質可以簡化拋物線、正弦函數、余弦函數的相關問題。除此之外，軸對稱現象在自然界中廣泛存在，在實際生活中有著廣泛的應用。因此，軸對稱的學習具有重要的現實意義。新課程改革鼓勵教師脫離傳統教學理念的束縛，對知識、學習、教學的本質有新的理解和認識，從而更好地重塑教學［12］。在軸對稱的日常教學中，教師們普遍選擇具有軸對稱性質的平面圖形和生活物品進行導入，鮮少以漢字為例進行教學。而漢字、古壯字作為中華優秀傳統文化的載體，在學習的過程中應當被重視和利用起來。以下是以古壯字“彐”作為“軸對稱”教學的課堂片段。

師：請同學們看黑板，這是什么字？

生1：我認為是一個往左倒下的“山”字。

生2：我感覺這是視力表上的一個圖案。

師：同學們的想象力可真豐富！其實它有兩個讀音，jì和xuě，是一個古壯字。相信聰明的同學們已經發現，第二個xuě的讀音和我們所熟悉的哪個漢字的發音一樣？

生：下雪的雪。

師：對！古壯字“彐”采取了“借”的構字方法，是借用了“雪”字的部首構造而來的［7］。這種構字方式在漢字的長久演變里同樣廣泛存在，如“山”和“巴”組成的“岜”字依舊念“巴”的音。感興趣的同學課后可以繼續搜索學習。

師：我們知道了“彐”字的讀音和來源，那么它在結構上又有怎樣的特點呢，這是今天這節課我們要一起探究的內容。誰愿意說說自己看到這個字的感受？

生1：“彐”字橫平、豎直，雖然筆畫簡單，但是給人一種方正、穩定的感覺。

師：請同學們利用桌面上的學習材料，將“彐”字沿著中間這根橫線進行折疊，將會發生什么？（課件展示折疊的要求和圖示）

生：上下兩部分能夠完全重合。

師：如果一個平面圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫作軸對稱圖形；如果某個字是關于左右、上下或者某一方向翻折能夠完全重合的字，我們就說該字形具有軸對稱的性質?！板妗弊譂M足這樣的條件，那么它是一個軸對稱圖形，我們可以說“彐”字具有軸對稱的性質。

師：請同學們繼續思考。沿著中間這根橫線對折，為什么上下兩部分能夠完全重合呢？說明有什么是相同的？（教師演示翻折的過程）

生1：上下兩邊對應的橫線一樣長，短豎線也一樣長，且對應的角一樣大。（上講臺演示，邊指邊說）

師：總結得很好！即對應邊相同，對應角相等。其他同學還有其他發現嗎？

生2：我發現對應點到對稱軸的距離相等。（上講臺演示，邊指邊說）

師：你觀察得真仔細！除此之外，對應點的連線又有什么位置特點呢？

生：與對稱軸互相垂直。

師：沒錯，這些連線與對稱軸所形成的角都是90°。你還能舉出具有軸對稱性質的漢字并說說它的對稱軸在哪里嗎？

……

軸對稱變換作為幾何變換中的一種特殊形式，在數學學習中占有重要地位。選擇“彐”字作為軸對稱教學的切入點，一方面這個字的筆畫比較簡單，有利于降低學生的學習難度，使學生迅速理解軸對稱的基本概念以及對應點和對應邊的相關關系，激發學生學習的積極性；另一方面，古壯字“彐”和漢字“雪”發音一樣，可以讓學生感受漢字與古壯字的聯系，體驗不一樣的數學課堂，從而有效發散學生的思維，培養學生的創新意識和創新能力。

（二）關于中心對稱的教學實踐

中心對稱是旋轉的特殊情況，是一種特殊的幾何變換，也被稱為點對稱。有許多漢字能夠滿足繞平面內某一點旋轉180度后仍與自身重合的特點。中心對稱的有關知識是中學數學的重要內容。從漢字的字形結構視角探索中心對稱圖形的性質，可以為數學課堂教學提供一種新思路，促進學生賡續中華文脈。

我國學生的學習往往是從識字開始的，以“互”字的字形結構對稱作為中心對稱課堂教學的切入點，既能自然銜接學生既有認知結構，又能精準導向數學課堂教學的重點?！盎ァ弊值目瑫煮w在視覺上是一個典型的中心對稱的獨體字結構，沒有復雜的偏旁和部首?！盎ァ弊值脑馐且环N絞繩工具，而后多以“交錯、彼此”定義，其“交錯、彼此”之意與該字可旋轉180度仍能與自身重合的結構特征相呼應。由此可見，“互”字字形結構對稱及其概念內涵中都蘊含著豐富的數學元素，體現了漢字字形結構對稱的動態美。將該字作為中心對稱的教學載體，可以化抽象為直觀，幫助學生更好地理解中心對稱圖形的有關知識，同時再現數學幾何變換與漢字字形結構對稱的緊密關聯。幾何變換的學習是從簡單圖形到復雜圖形的認識、辨別以及繪畫的過程，其思想方法的獲得與數學抽象思維發展的過程互為表里。在幾何變換教學中，如果教師能夠結合漢字字形結構對稱的特點，讓學生認識到，其實在很早之前幾何變換就已經悄悄地走進了我們的生活，比如“互”的字形結構早已深深刻進我們的腦海，現在的學習只是在原有認知經驗基礎之上對已知漢字中所蘊含的數學元素作進一步的挖掘，旨在讓學生進一步關注中華優秀傳統文化，學會探索漢字字形結構中的數學奧秘，通過漢字字形結構對稱獲得相關的幾何變換知識。以下是以“互”字作為中心對稱教學的課堂導入片段。

師：請同學們觀察黑板上的“互”字，大家可以暢所欲言，看看你們能發現這個字具有哪些特點。

學生經過片刻思考后展開小組討論，之后教師組織學生進行課堂交流。

生1：這個字沒有偏旁和部首。

生2：“互”字表示“互相，交錯”的意思。

生3：把這個字倒過來看仍然一樣。

師：以上三個同學說得都沒錯。在這個字中，蘊含著我們數學里常常提到的旋轉元素。有同學能準確說一下“互”這個字需要旋轉多少度才能和原來一樣嗎？

生：180°。

師：是的，所謂的“倒過來”，用數學的語言來表述，就是旋轉180°。那么一個圖形滿足繞著某一點旋轉180°，能夠與原圖形完全重合的，我們把它叫作中心對稱圖形。這就是我們今天要學習的幾何變換中的另一種基本變換——中心對稱變換。

……

在中心對稱教學中，以漢字為例，通過引導學生解析漢字字形結構對稱“回歸”數學抽象，可以在一定程度上消解幾何變換的抽象性，從而幫助學生克服理解幾何變換抽象概念的困難，讓學生感受到數學知識在漢字字形結構對稱中的具體體現。中心對稱變換是基于簡單的點或者線段繞著某個點進行180°旋轉，最終形成復雜圖形的幾何變換，而漢字本身就是由近似點或者線段的筆畫構成，這個特點為幾何變換的教學提供了一個全新而大膽的思路。關于中心對稱的課堂教學，可以先引導學生發現生活中常見的具有中心對稱性質的漢字，在漢字字形結構中尋找共鳴，回歸數學抽象的內在機理，再進行深入挖掘，再現漢字本身的情境，找到其對稱點，最終獲得從漢字字形結構中探索幾何變換相關性質的方法，達到構建學習思路和框架的目的，形成將幾何變換的數學抽象進行公理化的思想，進而幫助學生實現知識的重塑。從漢字字形結構對稱導入幾何變換的學習，這樣做既符合課程標準的要求，也有利于發展學生的邏輯思維，使學生感悟到中華優秀傳統文化的博大精深，從而提高學生的文化修養。

綜上所述，漢字、古壯字字形結構對稱與幾何變換存在密切的相關性，從二者的相關性出發，教師可將漢字文化、古壯字文化有機地融入學校文化建設、班級文化建設和課堂教學實施的過程當中，同時滲透對學生幾何變換思想方法的培養，促進學生扎實掌握分析字形變換的方法技巧，有效拓寬學生的學習視野、提升學生的抽象思維水平，從而全面提升學生的學科素養和人文素養，鑄牢學生的中華民族共同體意識。

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2023年度科學教育專項重點課題“數學抽象素養為導向的中學數學概念學與教的理論與實踐——中華優秀傳統文化的視角”（2023ZJY748）的階段研究成果。

（責編 白聰敏）

作者簡介：韋宏，1968年生，廣西上林人，碩士研究生，副教授，主要研究方向為數學學科教學；朱麗麗，1998年生，廣西陽朔人，碩士研究生在讀，主要研究方向為數學學科教學；胡慧娟，1998年生，廣西貴港人，碩士研究生在讀，主要研究方向為數學學科教學。