立足“整體結(jié)構(gòu)”，優(yōu)化“數(shù)學(xué)建模”

【摘" 要】數(shù)學(xué)中的許多概念、原理在生活中都有原型，教師要幫助學(xué)生從原型出發(fā)，去除其物理屬性，從數(shù)量關(guān)系和空間形式的維度把握其內(nèi)涵，進(jìn)而構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，數(shù)學(xué)模型之間又具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性。所以，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的應(yīng)有之義。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒎椒Ｐ秃退枷肽Ｐ停茏寣W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度、走向深刻。基于“整體結(jié)構(gòu)”視域下的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)，不僅注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)，更注重模型的遷移和應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)模型不僅是一種數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，還是一種數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；整體結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)學(xué)科是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象、提煉和概括。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征客觀現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的一種范式。生活原型是數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，從某種意義上說(shuō)就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)就是一個(gè)“微型數(shù)學(xué)模型”，而具有統(tǒng)攝性、關(guān)聯(lián)性、遷移性的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法從本質(zhì)上說(shuō)，也是一種數(shù)學(xué)模型。基于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的“整體結(jié)構(gòu)”來(lái)建模，能讓數(shù)學(xué)模型更具有典型性、包攝性、遷移性、應(yīng)用性等。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師充分挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模思想，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷“喚醒整體經(jīng)驗(yàn)—立足整體方法—著眼整體思想”的過(guò)程。

一、喚醒“整體經(jīng)驗(yàn)”，催生學(xué)生經(jīng)驗(yàn)建模

引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，教師要引導(dǎo)學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)模型背后的生活原型。教師要深入喚醒、發(fā)掘、弘揚(yáng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)（包括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等），讓學(xué)生基于自我的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)展開(kāi)數(shù)學(xué)建模。經(jīng)驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模積極性。一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)是相對(duì)穩(wěn)定的，但也處于動(dòng)態(tài)的完善過(guò)程之中。喚醒學(xué)生的整體性經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，有助于教師催生學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。有時(shí)候，數(shù)學(xué)建模能將學(xué)生零散的、碎片化的整體經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)整起來(lái)。從這個(gè)意義上說(shuō)，不僅經(jīng)驗(yàn)有助于數(shù)學(xué)建模，同樣，數(shù)學(xué)建模也能豐富、完善和優(yōu)化學(xué)生的整體經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”等相關(guān)內(nèi)容，因而也積累了“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知往往是膚淺的，諸如“數(shù)位對(duì)齊”“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”等。碎片化的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)往往會(huì)使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力較大、負(fù)擔(dān)較重。如何有效“減負(fù)”？減負(fù)不是對(duì)學(xué)生降低學(xué)習(xí)要求，更不是將應(yīng)該教學(xué)的內(nèi)容擱置，而是要求教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生完善自我的經(jīng)驗(yàn)，讓自我的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化。例如，在教授《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生比較“整數(shù)加減法”的計(jì)算法則、“小數(shù)加減法”的計(jì)算法則及“異分母分?jǐn)?shù)相加減”的計(jì)算法則等。只有通過(guò)比較，學(xué)生才能對(duì)自我的已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行審視、反思、批判。例如，有的學(xué)生在比較后認(rèn)為，整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的法則其實(shí)都是要求“數(shù)位對(duì)齊”。但分?jǐn)?shù)加減法沒(méi)有數(shù)位對(duì)齊，而是要求通分，也就是將不同分母的分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母的分?jǐn)?shù)。那么，“異分母分?jǐn)?shù)加減法”與“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”法則之間是否有相同點(diǎn)呢？通過(guò)反思、批判、比較、追問(wèn)，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，無(wú)論是“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”，還是“分?jǐn)?shù)加減法”，都要求“計(jì)數(shù)單位相同”。因?yàn)椋爸挥杏?jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。在這里，“計(jì)數(shù)單位”就成為“數(shù)的加減法”的上位概念。“計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”就成為“數(shù)的加減法”的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化模型。

有了這種經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化模型，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)其他相關(guān)知識(shí)時(shí)，如“整式加減法”“分式加減法”等，都能注意到“單位”“同類(lèi)項(xiàng)”等，在學(xué)習(xí)“量與計(jì)量”等的計(jì)算時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生“單位相同”的計(jì)算意識(shí)，進(jìn)而能積極主動(dòng)地改寫(xiě)單位進(jìn)行計(jì)算。相較于知識(shí)結(jié)構(gòu)化，經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化模型能讓學(xué)生形成一種思維方式、認(rèn)知方式和行為方式。

二、立足“整體方法”，引導(dǎo)學(xué)生方法建模

引導(dǎo)學(xué)生基于“整體結(jié)構(gòu)”的思想建模，不僅要從知識(shí)上、經(jīng)驗(yàn)上，更要從數(shù)學(xué)學(xué)科的方法上展開(kāi)。法國(guó)著名思想家、解析幾何奠基人笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“一切知識(shí)都是關(guān)于方法的知識(shí)。”一般來(lái)說(shuō)，方法具有較強(qiáng)的遷移性。同一種方法模型不僅適用于“此一”知識(shí)的應(yīng)用，也適用于“彼一”知識(shí)的應(yīng)用。同一數(shù)學(xué)知識(shí)也可以蘊(yùn)含著不同的數(shù)學(xué)方法。正如日本教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在離開(kāi)學(xué)校一兩年后就會(huì)忘記，但唯有數(shù)學(xué)方法，卻深深地發(fā)揮著重要作用。”課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化，經(jīng)歷方法的建構(gòu)、感悟和應(yīng)用過(guò)程。

立足于整體性的方法，不僅是指教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)一個(gè)個(gè)具體的方法模型，也指導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)方法整合起來(lái)，從而讓學(xué)生形成一個(gè)方法鏈、方法群，最終讓學(xué)生形成整體性的方法視界。以“面積單位的進(jìn)率”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)）的相關(guān)知識(shí)教學(xué)為例，“面積單位的進(jìn)率”的教學(xué)一方面要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造“面積單位的進(jìn)率”，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生理解“面積單位的進(jìn)率”的本質(zhì)。部分教師在教學(xué)中往往注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造，如讓學(xué)生用1平方厘米的小正方形紙片在1平方分米的正方形紙片上擺，讓學(xué)生用1平方分米的小正方形紙片在1平方米的正方形紙片上擺，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造出“1平方米等于100平方分米”“1平方分米等于100平方厘米”的數(shù)學(xué)知識(shí)模型。這些模型對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)往往是一個(gè)個(gè)的“孤島”，沒(méi)有形成整體性理解。為了讓學(xué)生理解“面積單位之間的進(jìn)率是對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率的平方”這一方法模型，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生比較“相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率”和“相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率”，引導(dǎo)學(xué)生比較“不相鄰的兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率”和“相對(duì)應(yīng)的不相鄰的兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率”，從而引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出“方法模型”，即“面積單位之間的進(jìn)率是對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率的平方”。有了這樣的方法模型，學(xué)生在學(xué)習(xí)《公頃和平方千米》時(shí)，就能自主建構(gòu)它們之間的進(jìn)率。不僅如此，學(xué)生還能對(duì)教材中缺失的相關(guān)的面積單位進(jìn)行積極主動(dòng)的猜想。如“公頃作為百米的平方，和平方米之間不是相鄰的面積單位，其中還應(yīng)該有一個(gè)平方十米（公畝）的單位”。這也是學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種表達(dá)。

基于整體性方法，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法建模，學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)就不再是碎片化、單獨(dú)化的樣態(tài)，而是成為一種結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的有機(jī)整體。相較于經(jīng)驗(yàn)性建構(gòu)，方法性建模更具有啟迪性、遷移性。例如，學(xué)生在認(rèn)識(shí)了“體積單位”之后，就會(huì)猜想方法性模型，即“體積單位之間的進(jìn)率是對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率的立方”等。如此，不僅長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位本身，而且連同它們之間的關(guān)系都集結(jié)為一個(gè)整體。顯然，方法性建模不僅能統(tǒng)整相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造知識(shí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向未知領(lǐng)域延伸、拓展。

三、著眼“整體思想”，助推學(xué)生思想建模

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科課程的內(nèi)核。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模活動(dòng)中，教師要著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科的“整體性思想”，引導(dǎo)學(xué)生立足于數(shù)學(xué)思想建模，這樣不僅能完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移。在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地深度發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的思想，并努力引導(dǎo)學(xué)生借助知識(shí)教學(xué)來(lái)建立數(shù)學(xué)思想模型。數(shù)學(xué)思想模型不僅能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體貫通，而且能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法貫通。

例如，教授蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)《多邊形的面積》這一部分時(shí)，盡管學(xué)生學(xué)習(xí)的對(duì)象不斷發(fā)生變化，如“三角形的面積”“平行四邊形的面積”“梯形的面積”，學(xué)生推導(dǎo)多邊形面積的方法也是不同的、多元的、有差異性的，如“剪拼法”“倍拼法”“分割法”等，但其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是相同的、是一以貫之的。課堂教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)相關(guān)知識(shí)時(shí)，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感悟、感受和體驗(yàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。不僅要讓學(xué)生明晰轉(zhuǎn)化的方向，更要讓學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的策略，即“轉(zhuǎn)化成什么？”“怎樣轉(zhuǎn)化？”“為什么這樣轉(zhuǎn)化？”在課堂教學(xué)中，教師要凸顯轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)驅(qū)力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，即“將未知轉(zhuǎn)化成已知”“將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單”等。數(shù)學(xué)思想模型是一種思維模型、認(rèn)知模型，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種意識(shí)模型、行動(dòng)模型，它能推動(dòng)、引導(dǎo)學(xué)生的自主性、自能性學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)思想模型要融入學(xué)生的內(nèi)在心理，成為學(xué)生的一種理性自覺(jué)、行動(dòng)自覺(jué)，成為學(xué)生的一種素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。例如，當(dāng)學(xué)生形成了“轉(zhuǎn)化思想模型”之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中就會(huì)積極主動(dòng)地聯(lián)想（如近似性聯(lián)想、相對(duì)性聯(lián)想、相近性聯(lián)想等）。當(dāng)學(xué)生建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)思想模型之后，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅能進(jìn)行“近距離的模仿”，而且能進(jìn)行“遠(yuǎn)距離的遷移”。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，就會(huì)積極主動(dòng)地猜想：圓是否能轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的多邊形的面積呢？當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱的體積時(shí)，就會(huì)猜想“圓柱能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方體的體積？”當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐的體積時(shí)，就會(huì)猜想“圓柱能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的等底等高的圓柱的體積？”當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)會(huì)主動(dòng)地猜想“能否轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法”等。數(shù)學(xué)思想模型是一種具有普適性特質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生持續(xù)的、深遠(yuǎn)的影響。

數(shù)學(xué)思想建模是一種高階建模，數(shù)學(xué)思想模型能促進(jìn)學(xué)生的遷移性思維、探究，能催生學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)新。數(shù)學(xué)思想建模能規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的思維樣態(tài)。在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，去感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立、建構(gòu)數(shù)學(xué)思想模型，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

四、結(jié)束語(yǔ)

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)就是在不斷的抽象、概括、模型化、模式化中發(fā)展、豐富起來(lái)的。基于“整體結(jié)構(gòu)”視域下的數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)，不僅注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)，更注重模型的遷移、模型的應(yīng)用。通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)、遷移和應(yīng)用，拓展、延伸數(shù)學(xué)學(xué)科的育人路徑，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)模型不僅是一種數(shù)學(xué)知識(shí)，更是一種模型化地處理、分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力、方法和思想。

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