數形結合思想在初中數學解題中的應用

摘? 要：數形結合思想在初中數學解題中具有重要的作用，它是將數學問題與幾何圖形或函數圖象相融合，通過圖形化的方式理解和解決數學問題.“二次函數與幾何圖形”問題往往要求將數學建模、函數圖象分析及幾何圖形等多個方面的知識進行綜合運用，因而利用數形結合思想能夠較好地解決這類問題.文章以“二次函數與幾何”問題為例，旨在探討數形結合思想在解決這類問題中的應用，幫助學生掌握這類問題的求解方法，提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：初中數學；數形結合思想；二次函數與幾何圖形；解題策略

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0038-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：王麗（1981.9-），女，江蘇省南通人，本科，中小學一級教師，從事初中數學教學研究.

數形結合思想是一種綜合性的思維方式，是解決數學問題的重要思想方法.數形結合思想能夠使數學問題形象化、直觀化，借助幾何圖形或函數圖象理解和解決數學問題［1］.研究數形結合思想在初中數學解題中的應用，并為教師提供有價值的教學策略和方法，從而促進學生的數學思維能力和解決問題能力的提升，這對于初中數學教學具有重要的現實意義［2-3］.因此，本文以“二次函數與幾何圖形”問題為例，通過實例分析，驗證了數形結合思想在解決這類問題上的有效性和實用性，對提高學生的解題能力和思維能力具有重要意義.

1 數形結合思想在解題中的體現及運用

數形結合思想將數學問題與幾何圖形或函數圖象相結合，運用數學概念和方法分析解決與幾何有關的問題.它強調數學與幾何之間的相互關系，通過數學的抽象和邏輯推理方法理解和解釋幾何現象［4］.數形結合思想的體現和運用主要表現在下面幾個方面.

1.1 幾何對象的數學表示

數形結合思想可以將幾何對象抽象為數學上的符號和表達式，通過數學語言來描述和分析幾何性質.例如，將平面上的點用坐標表示，將直線用方程表示，將平面圖形用數學公式和方程式表示.

1.2 利用數學方法解決幾何問題

數形結合思想可通過運用數學方法和工具解決幾何問題.例如，通過代數方法和方程的求解求取幾何圖形的參數，通過向量和矩陣的運算來研究幾何變換和平面曲線，等等.

1.3 幾何問題的數學證明

數形結合思想可將幾何問題轉化為數學問題，并通過數學的邏輯推理和證明方法解決幾何問題.例如，通過利用數學定理和推理方法證明幾何性質，如平行線的性質、三角形的相似性質等.

1.4 幾何模型的數學建模

數形結合思想可以將實際問題抽象為幾何模型，并通過數學建模和計算方法分析解決實際問題.例如，在工程和科學領域中，可以利用數形結合思想將物體的形狀和結構抽象為幾何模型，通過數學建模和模擬計算研究其性質和行為.

2 “二次函數與幾何圖形”問題的求解策略

“二次函數與幾何圖形”問題在試題中有多種形式，包括求頂點、方程求解、圖像分析等.本文將詳細介紹該類題型的解題思路和方法，討論如何運用數形結合思想解決二次函數與幾何圖形問題，具體求解策略如圖1所示.

2.1 理清問題信息和給定條件

在解決“二次函數與幾何圖形”綜合題之前，首先需要仔細閱讀題目并理清其中的關鍵信息.例如，了解已知條件、待求量以及所給圖形的特點等.通過整理和歸納這些信息，可以為后續的解題過程提供指導，提高解題效率.

2.2 繪制幾何圖形

根據題目中給出的信息，繪制相應的幾何圖形是解決問題的重要一步.幾何圖形可以直觀地展示問題的情境和關系，幫助學生更好地理解問題.在繪制幾何圖形時，可以借助數學工具或手繪，確保圖形的準確性，為問題解決創造條件.

2.3 建立二次函數模型

在解決“二次函數與幾何圖形”綜合題時，往往需要建立一個適當的二次函數模型來描述問題.根據已知條件和問題的要求，可以利用二次函數的性質建立相應的函數模型.這個函數模型將數學概念與幾何圖形聯系起來，為解題提供了一個框架.

2.4 分析函數圖象與幾何圖形的關系

通過分析函數圖象與幾何圖形的關系，可以揭示二者之間的數學規律和聯系.觀察函數圖象的形狀、開口方向、定點位置等特點，并將其與幾何圖形進行對比和推理.這樣的分析有助于理解問題背后的數學原理，并為問題的解答提供線索.

2.5 運用數形結合解決問題

在掌握了函數圖象與幾何圖形的關系后，可以運用數形結合的方法來解決問題.通過將函數模型中的變量與幾何圖形相對應，可以建立數學方程或等式，進而求解待求量.同時，結合幾何圖形的性質和特點，可以得出問題的解答.

2.6 檢查與解釋結果

在完成解題過程后，應當對結果進行檢查，確保解答符合問題的要求.同時，還可以對解答結果進行解釋和分析，說明解題的思路和方法，并給出可能存在的其他解決方案.

3 “二次函數與幾何圖形”問題的案例分析

例題? 如圖2，在平面直角坐標系中，拋物線開口向下，且與x軸交于點A（5，0）和點B（-1，0），與y軸的正半軸交于點C（0，2.5）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一個點P，使得能夠與點A和點C為頂點構成一個直角三角形，且點A為直角頂點；

（3）若在拋物線上有一個動點G，作GE⊥y軸，與直線AC相交于點D，作DF⊥x軸，連接EF，當線段EF最短時，求點G的坐標.

3.1 求解二次函數解析式

熟練掌握二次函數解析式是解決問題的關鍵.其解析式有一般式、頂點式、交點式三種基本形式，特殊情況下還有對稱點式.求取二次函數解析式一般采用待定系數法，依據題目中給出的已知條件的特征和二次函數三種基本形式，設出恰當的解析式可以提高解題效率.根據已知條件可知，拋物線與x軸相交于A，B兩點，可以判斷交點式是求取該拋物線解析式的首選方法.

根據“待定系數法”的解題步驟，設二次函數的解析式為y=a（x-xA）（x-xB），將A（5，0）和點B（-1，0）兩點坐標代入二次函數的解析式，可得y=a（x-5）（x+1）.又因為拋物線與y軸的正半軸交于點C（0，2.5），所以a（0-5）（0+1）=2.5，解之得a=-12.從而可得拋物線的解析式為y=-12（x-5）（x+1），即y=-12x2+2x+52.

3.2 存在性問題

在初中數學中，存在性問題是指對于某個條件或要求，判斷是否存在滿足條件的對象或解.這類問題常常出現在各個數學分支中，如代數、幾何、邏輯等領域.一般可通過推理證明或構造法判斷是否存在滿足要求的圖形或幾何關系，存在性問題對于學生深入理解數學概念和發展數學思維能力非常重要.

以上述“拋物線上是否存在一個點P，使其能夠與點A和點C為頂點構成一個直角三角形，且點A為直角頂點”為例，說明解決這類問題的基本策略.一般情況下，解決這類存在性問題時，先假設存在點P，使得其能夠與點A和點C為頂點構成一個直角三角形，且點A為直角頂點，然后利用直角三角形的基本性質進行推理求解.

如圖2所示，假設P點存在，通過證明△OAC∽△OHA，然后利用相似三角形的基本性質即可得到OA2=OC·OH，從而可得到線段OH=10，即可得到點H的坐標為（0，－10），然后利用“待定系數法”即可得到直線AP的解析式為y=2x－10，將其與拋物線的解析式聯立方程組，得y=-12x2+2x+52，y=2x-10.解之得x1=5，y1=0;x1=-5，y1=-20.從而可知點P的坐標為（-5，-20）.

3.3 動點問題

在中考試題中，二次函數與幾何動點問題涉及確定動點的坐標，通常被認為是較難的部分.在解決“二次函數與幾何圖形”有關的動點問題時，常常需要結合幾何法和代數法，并根據具體情況選擇最合適的方法求解動點的坐標.這要求學生既要熟練掌握二次函數的性質和幾何圖形的特點，又要具備使用代數方法進行方程求解的能力.

3.3.1 代數論證法

根據已知條件求得直線AC的解析式，設出D，E，F三點的坐標，然后運用直角三角形中的勾股定理即可求得線段EF長度，經配方計算即可得到線段EF的最小值及D，E，F三點坐標，從而得到動點G的縱坐標，此后代入拋物線的解析式即可得到G點坐標為（2+5，2）或（2-5，2）.

3.3.2 幾何論證方法

根據已知條件和幾何圖形的基本性質，證明四邊形OFDE為矩形，然后利用相似三角形的性質得到OD2=OE·OC，從而得出點G的縱坐標為2，并將其代入拋物線的解析式中，即可得出點G坐標為（2+5，2）或（2-5，2）.

4 結束語

運用數形結合的解題策略可以幫助學生更好地解決中考“二次函數與幾何圖形”問題的綜合題.通過幾何圖形的觀察和分析，結合數學知識的應用及結果的驗證與解釋，學生能夠全面理解問題并找到解決方案.這種解題策略不僅提升了學生的數學能力，也培養了學生的幾何思維和數學模型應用能力.

參考文獻：［1］ 吳敏燕.以形助數 以數輔形：數形結合在初中數學教學中的應用［J］.理科愛好者，2023（02）：94-96.

［2］ 黃漢財.妙用數形結合 讓初中生數學解題思路更清晰［J］.數理化解題研究，2023（2）：8-10.

［3］ 趙俊飛.初中數學教學中數形結合思想的應用［J］.數理天地（初中版），2022（21）：80-82.

［4］ 趙小娟.數形結合在蘇教版小學數學教材中的體現及運用研究：以中高年級為例［J］.數學學習與研究，2023（09）：119-121.

［責任編輯：李? 璟］