巧用構(gòu)造法解答數(shù)學難題

摘? 要：解題教學是初中數(shù)學教學中的重要環(huán)節(jié)，主要檢測學生綜合運用所學知識處理問題的能力.在初中數(shù)學教學中存在一些較難的問題，對學生的解題水平要求較高.從本質(zhì)來看，解題過程即為條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程，只不過面對難度較大的數(shù)學問題時，學生無法輕松找到轉(zhuǎn)化方法.教師可指導學生結(jié)合條件和結(jié)論的特殊性，建構(gòu)已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關系，從而順利解答數(shù)學難題.

關鍵詞：初中數(shù)學；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化；數(shù)學難題

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0065-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：馬沁芳（1979.2-），女，福建省龍巖人，本科，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

構(gòu)造法指的是當采用常規(guī)方法、按照定向思維無法處理某些數(shù)學問題時，可基于已知條件與所求結(jié)論的特殊性，從新角度出發(fā)，運用新觀點去觀察、分析與理解問題，把握已知條件和所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運用問題的數(shù)據(jù)、外形、坐標等特征，構(gòu)造新數(shù)學對象，由此達到解題的目的.在初中數(shù)學解題訓練中，針對一些難題，學生運用常規(guī)方法和定向思維很難解決，教師可指引學生巧用構(gòu)造法，結(jié)合題設條件和結(jié)論構(gòu)造新對象，最終解答數(shù)學難題［1］.

1 巧妙構(gòu)造方程，解答數(shù)學難題

方程是學生從小學時期就開始學習的一類數(shù)學知識，步入初中階段以后，學生需學習更多有關方程的內(nèi)容.除一元一次方程以外，還涉及一元二次方程、方程組、分式方程等知識，屬于初中數(shù)學教學的一項重要內(nèi)容，在解題中有著廣泛應用.在初中數(shù)學解題訓練中，有的題目難度較大，教師可指引學生結(jié)合題干中提供的條件和數(shù)量關系構(gòu)造新方程，獲得全新的解題思路，讓學生結(jié)合方程知識轉(zhuǎn)化問題，難題就迎刃而解［2］.

例1? 已知x，y，z是三個互不相等的實數(shù)，且x＞y＞z，滿足x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，那么x+y的范圍是什么？

分析? 題目中給出的方程關系較為特殊，是三元一次方程與三元二次方程形式，學生采用常規(guī)方法很難進行解題.此時，教師可指導學生運用構(gòu)造方程的方法，將已知條件與所求結(jié)論聯(lián)系到一起，利用方程知識求得結(jié)果.

解? 根據(jù)x+y+z＝1可得x+y＝1-z，兩邊同時平方，得x2+2xy+y2=1-2z+z2.又因為x2+y2+z2＝1，所以xy＝z2-z.由一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以看出，x，y是方程m2+（z-1）m+（z2-z）＝0兩個不相等的實數(shù)根，再結(jié)合Δ＞0可以得到-13＜z＜1，即為-13＜1-（x+y）＜1，則x+y的范圍是43＞x+y＞0.

例2? 已知實數(shù)x，y，z滿足x+y＝3，z2＝xy+y-4，求x+3y+2z的值.

分析? 這是一道比較特殊的代數(shù)式求值類問題.教師可要求學生先對題目中的條件展開變形，

把原式轉(zhuǎn)變成兩個式子的求解問題，再觀察兩個已知式子的形式，通過變形以后構(gòu)造新方程，然后讓學生結(jié)合方程的相關知識求解.

解析? 根據(jù)題意可得（x+1）+y=4，（x+1）y=z2+4，通過觀察易發(fā)現(xiàn)，x+1，y是一元二次方程t2-4t+z2+4＝0的兩個實數(shù)根，然后結(jié)合一元二次方程根的判別式確定方程根的情況即可解決問題，求解過程從略.

2 巧構(gòu)造不等式，解答數(shù)學難題

不等式是用“＞，＜，≥，≤，≠”等符號表示大小關系的式子，學生在小學階段也有所接觸.在初中數(shù)學學習中，學生學習的不等式知識難度更大，深度也有所提升，涉及一元一次不等式、一元一次不等式組等內(nèi)容，不少問題中都會用到不等式相關知識.在初中數(shù)學解題教學中，當遇到部分難題時，教師需提示學生注意題目中“最大”“最小”“不低于”“不高于”等關鍵詞，引導其嘗試構(gòu)造不等式模型，然后利用不等式知識解答難題［3］.

例3? 已知某工廠存儲有甲、乙兩種原料，質(zhì)量分別為360 kg和290 kg，現(xiàn)在準備利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種商品共計50件，其中生產(chǎn)一件A商品需要甲、乙兩種原料分別為9 kg、3 kg，利潤是700元，生產(chǎn)一件B商品需要甲、乙兩種原料分別為4 kg、10 kg，利潤是1 200元.

（1）根據(jù)條件和要求生產(chǎn)A、B兩種商品一共有多少種方案？

（2）設生產(chǎn)A、B兩種商品獲得的總利潤是y（元），生產(chǎn)A商品x件，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式，且利用函數(shù)的性質(zhì)說明哪種生產(chǎn)方案能夠獲得最大利潤？最大利潤為多少？

分析? 先把題目中的文字語言轉(zhuǎn)變成規(guī)范的數(shù)學語言，根據(jù)已知條件利用構(gòu)造法建立一個不等式組，再結(jié)合不等式知識處理函數(shù)問題，然后根據(jù)實際生產(chǎn)情況確定方案.

解? （1）設生產(chǎn)A商品x件，則B商品的數(shù)量為（50-x）件，根據(jù)題意可得不等式組9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290.解之得30≤x≤32，由于x的值只能是正數(shù)，故x只能取30，31，32，也就是A商品的件數(shù)，那么根據(jù)（50-x）可以求得B商品的件數(shù)分別是20，19，18，則一共有3種生產(chǎn)方案，即A商品30件，B商品20件；A商品31件，B商品19件；A商品32件，B商品18件.

（2）根據(jù)題意可得y＝700x+1 200（50-x）＝-500x+60 000，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)中y隨x的增大而減小，所以當x＝30時有最大利潤，即生產(chǎn)A商品30件、B商品20件獲得的利潤最大，此時y＝-500×30+60 000＝45 000，最大利潤為45 000元.y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝-500x+60 000，由此可知，（1）中的方案1獲得的利潤最大，最大利潤是45 000元.

3 巧妙構(gòu)造函數(shù)，解答數(shù)學難題

函數(shù)在初高中數(shù)學課程體系中占據(jù)著重要地位，學好函數(shù)知識能夠為數(shù)學學習帶來諸多便利.原因在于不少題目都能夠借助構(gòu)造函數(shù)的方法解決，即使無法直接求解，也能夠打開解題思路［4］.

例4? 如圖1所示，一位籃球員進行投籃練習，籃球沿著拋物線y=-15x2+72運行，然后順利命中籃筐，其中籃筐的高度是

3.05 m.圖1? 籃球的運行路線圖

（1）籃球在空中運行的最大高度是多少？

（2）假如該籃球運動員在跳投時，籃球出手距離地面的高度是2.25 m，那么他距離籃筐中心的水平距離是多少？

分析? 對于問題（1），應該把整個函數(shù)圖象構(gòu)造出來，求出籃球在空中運行過程中距地面的最高點；對于問題（2），要構(gòu)造平面直角坐標系，結(jié)合二次函數(shù)知識與圖象的性質(zhì)等求解問題，從而求出運動員與籃筐中心之間的水平距離.

解? （1）根據(jù)已知條件可知，籃球沿著拋物線y=-15x2+72運行，該拋物線的頂點坐標是（0，3.5），如圖1所示大致畫出籃球的運行路線，即為該拋物線的一部分，驗證后可知最高點在函數(shù)的定義域內(nèi)，由此可知籃球運行的最大高度是3.5 m.

（2）建立如圖1所示的平面直角坐標系，審題后可以發(fā)現(xiàn)求出該運動員位置的橫坐標就是問題的答案，籃筐處的高度是y＝3.05 m，由此可知x＝1.5 m；再根據(jù)該籃球運動員的出手高度y＝2.25 m，此時x＝-2.5（x≤0），則運動員距籃筐中心的水平距離是4 m.

例5? 已知分式x-3x2-6x+m，無論x取何值，該分式都有意義，那么m的取值范圍是什么？

分析? 因為本題中的分式恒有意義，這說明分母x2-6x+m的值永遠不會是0.可據(jù)此構(gòu)建一個二次函數(shù)y＝x2-6x+m，把分式問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€二次函數(shù)取值問題進行研究，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解題，找出y≠0的情況，以此確定m的取值范圍.

解? 令y＝x2-6x+m，根據(jù)題意可知，y的值永遠都不等于0，由于該拋物線的開口方向是向上的，所以該二次函數(shù)的圖像不會與x軸相交，則Δ＝36-4m＜0，解之得m＜9，即為m的取值范圍是m＜9.

4 巧妙構(gòu)造圖形，解答數(shù)學難題

初中數(shù)學課程主要分為代數(shù)與幾何兩大方面的內(nèi)容.用構(gòu)造法解答數(shù)學難題時，不僅可以根據(jù)題意構(gòu)造代數(shù)方面的式子，還能夠構(gòu)造出相應的幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.在初中解題教學中，將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，不少難題就易于解答.

例6? 如圖2所示，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，而且AC與BD的長度相等，點E，F(xiàn)分別為對角線AB與CD的中點，EF分別同BD，AC相交于點G，H.求證：OG＝OH.

圖2? 例6題圖

分析? 在幾何圖形中出現(xiàn)多個中點，大多數(shù)情況下都要利用中位線的性質(zhì)進行解題，所以本題可以先取BC的中點M，連接ME，MF，因為E，F(xiàn)，M分別是AB，CD，BC的中點，由此可構(gòu)造中位線EM，MF，然后結(jié)合三角形中位線定理解題.先證明△EMF是等腰三角形，根據(jù)“等邊對等角”，即可證明∠MEF＝∠MFE，利用平行線的性質(zhì)證明∠OGH＝∠OHG，最后根據(jù)“等角對等邊”即可解決問題.

解? 如圖2所示，取BC的中點M，連接ME，MF.因為M，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則MF∥BD，MF＝BD.同理可得ME∥AC，ME＝AC.因為AC＝BD，所以ME＝MF，∠MEF＝∠MFE.又因為MF∥BD，所以∠MFE＝∠OGH.同理可得∠MEF＝∠OHG，所以∠OGH＝∠OHG，所以OG＝OH.

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學解題教學中，有的題目難度比較大，采用常規(guī)方法和思路很難解答.面對這些難題，教師可引導學生巧妙運用構(gòu)造法，重新處理題目中給出的條件和結(jié)論.

把問題與熟悉的理論知識聯(lián)系起來，通過構(gòu)造方程、不等式、函數(shù)、幾何圖形等數(shù)學模型把問題實質(zhì)清楚地反映出來，架構(gòu)起結(jié)論和條件之間的橋梁，讓學生從中尋求解題問題的切入點，確定合適的解題方案，繼而準確解答數(shù)學難題.

參考文獻：［1］

連繼瑩.例說初中數(shù)學的解題方法：以“構(gòu)造法”為例［J］.中學課程輔導（教師教育），2021（9）：114.

［2］ 吳月紅.巧用構(gòu)造法解初中數(shù)學題［J］.語數(shù)外學習（初中版），2020（8）：28-29.

［3］ 張梅.構(gòu)造法在初中數(shù)學解題中的有效運用［J］.數(shù)學大世界（中旬），2020（4）：80-81.

［4］ 張文賀.初中數(shù)學解題技巧的有效運用［J］.數(shù)學大世界（下旬），2020（1）：77.

［責任編輯：李? 璟］