完善數學知識體系 培養數學核心素養

摘? 要：2021年廣東省中考數學第25題是一道壓軸題，筆者認真研讀此題，發現此題起點高、綜合性強，對學生而言具有極大的挑戰性．文章通過分析此題，幫助學生尋找解題思路，梳理二次函數的知識，建構函數與方程、不等式的知識體系，提升學生的思維能力．

關鍵詞：數學知識體系；數學核心素養；函數綜合題；教學啟示

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0050-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：武也文（1985.5-），男，江蘇省南京人，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

二次函數是初中數學的重要內容，是歷年中考熱點問題，承載著一定的選拔性功能，

對學生而言具有一定的難度.在2023年中考第一輪復習時，筆者借助2021年廣東省中考數學第25題，幫助學生梳理二次函數的知識，建構完備的知識體系，提升學生的數學核心素養．

1 試題呈現

已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象過點（-1，0），且對任意實數x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若（1）中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C.點M是（1）中二次函數圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

本題主要考查一次函數、二次函數的圖象與性質、函數與方程、不等式之間的聯系等數學核心知識及函數思想、方程思想、轉化思想、數形結合思想、分類思想等重要的數學思想方法，需要學生具有完備的數學知識體系，對學生的數學核心素養要求較高．

2 試題的思路突破及難點分析

2.1 思路突破

問題（1）：先將代數式4x-12設為函數y1=4x-12，另一個代數式2x2-8x+6設為函數y2=2x2-8x+6，聯立這兩個函數解析式得到y=4x-12，y=2x2-8x+6.從而可得4x－12=2x2-8x+6，即2x2-12x+18=0，解得x=3，所以y1=4x-12與y2=2x2-8x+6只有一個交點，且交點的坐標為（3，0），所以二次函數y3=ax2+bx+c的圖象經過點（3，0）.又因為二次函數y3=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，0），所以得a-b+c=0，9a+3b+c=0.解得b=-2a，c=-3a.從而得到y3=ax2-2ax-3a.再列出方程ax2-2ax-3a=4x-12，整理得ax2-（2a+4）x-3a+12=0.因為函數y1、 y3的圖象只有一個交點，所以根的判別式△=b2-4ac=0，從而得到［-（2a+4）］2-4a（-3a+12）=0，化簡得（a-1）2=0，解得a=1．把a=1代入y3=ax2-2ax-3a中，得到二次函數的解析式為y3=x2-2x-3．

問題（2）：因為二次函數y3=x2-2x-3圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C，所以解得點A和點C的坐標分別為（3，0），（0，-3）；又因為點M是二次函數y3=x2-2x-3圖象上的動點，點N在x軸上，所以設點M的坐標為（m，m2-2m-3），點N的坐標為（n，0）. 根據點A、C、M、N的位置情況討論，構造如圖2～5，進一步分析，得出點N的坐標為（1，0），（5，0），（7-2，0），（-7-2，0）.

2.2 難點分析

本題是一道壓軸題，主要考查學生對初中代數核心知識的綜合運用能力．雖然本題的題干簡潔，學生讀起來一目了然，但是題型新穎且起點較高，學生不知如何解決問題．以下從該題的主要難點給出幾點反思．

難點之一：一般來說，壓軸題中的問題是按照從易到難的過程來設置的，但本題的問題（1）既是本題的亮點，也是本題的難點.許多學生做不出這道題，就是沒有弄清楚題目中的條件應該如何使用，如何轉換成有效信息．問題（1）求該二次函數的解析式，學生最常用的方法是待定系數法，但函數y=ax2+bx+c有三個系數未知，題目中的條件只給了一個已知點（-1，0），直接用待定系數法不能解決這個問題，怎么辦？

難點之二：考查一次函數、二次函數、不等式和方程等數學知識之間的內在聯系，并借助函數圖象分析、解決問題的能力．問題（1）對于學生而言從“4x－12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個連續不等式，或許不難想到三個函數：y1=4x-12，y2=2x2-8x+6，y3=ax2+bx+c．但條件中的兩個“≤”有什么作用，怎么使用呢？這就要求學生必須借助函數的圖象來分析問題，通過畫示意圖發現函數y1=4x-12，y2=2x2-8x+6的圖象只有一個交點（3，0），如圖1所示；根據 “4x-12≤ax2+bx＋c≤2x2-8x+6”這個條件，y2=2x2-8x+6的圖象在y1=4x-12的圖象的上方且這兩個圖象有交點，并且y3=ax2+bx+c的圖象在y2=2x2-8x+6的圖象的下方且這兩個圖象也有交點，不難畫出三個函數圖象有且只有一個交點（3，0）．做到這一步，得到了y3=ax2+bx+c圖象上的第二個點的坐標．由點（-1，0），（3，0）在函數y3=ax2+bx+c的圖象上，只能得到系數b、c與a之間的數量關系，即b=-2a，c=-3a，從而把函數y3=ax2+bx+c寫成y3=ax2-2ax-3a，問題仍沒有解決．

難點之三：考查學生對于函數交點個數與方程根的個數之間的關系的理解，以及運用一元二次方程根的判別式判別方程實數根的情況．由函數y1=4x-12，y2=2x2-8x+6的圖象只有一個交點（3，0），得到方程ax2-2ax-3a=4x-12，且這個方程只有一個解．再逆運用一元二次方程根的判別式b2-4ac=0，解得a＝1，得出函數的解析式為y3=ax2+bx+c，問題才得以解決．

難點之四：問題（2）是一個常見的幾何分類問題，難點在于如何合理制定分類的標準．理解平行四邊形的判定方法，制定合理的分類標準，使問題解決不重不漏．

3 教學啟示

3.1 完善數學知識體系，提升解題能力

在中考復習的課堂教學中，教師不僅要引導學生復習鞏固函數基礎知識、基本方法，更要喚起學生學習函數知識的經歷，知道函數知識點在初中代數知識體系中所處的地位、作用以及與方程（組）、不等式等“點狀”知識點之間的聯系和區別，幫助他們構建初中代數知識體系．在教學中，教師為了讓學生構建初中代數知識體系，可以借助知識框圖、思維導圖等可視化的思維方式引導學生，把所學知識點在知識體系中的位置清晰地呈現出來，使學生形成穩固的認知結構，力爭讓學生的初中代數知識、解題的思想方法融會貫通，進而培養學生解決綜合問題的能力．

3.2 培養核心素養，理解核心知識

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養［1］.數學課程要培養的學生核心素養主要包括以下三個方面：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現，小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解.初中階段，核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、應用意識、創新意識．

本題考查的初中數學核心知識有：一次函數、二次函數的圖象與性質，函數與方程、不等式之間的聯系，平行四邊形的判定．

問題（1）通過“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個連續不等式，聯想到這是三個函數之間的數量關系，進而從抽象的數量關系，轉化為直觀的函數圖象，研究三個函數的圖象不難發現它都相交于同一個點（3，0），體現了對數學抽象、直觀想象的考查．最后運用函數與方程的內在聯系，根的判別式值為0的數學核心知識，需要學生解含有字母a的一元二次方程，體現了邏輯推理、數學運算的考查［2］．

問題（2）是近幾年來數學中考命題的一個熱點——動態幾何題．點M是二次函數圖象上的動點，導致以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的形狀、位置不能確定，這時就要分類討論．本題分類的依據是平行四邊形的判定定理．學生在解題時能否想到分類討論，取決于學生對相關概念、定義、定理的理解是否透徹，在日常的學習過程中，要經歷分類討論的過程，從而積累解決分類討論問題的經驗．因此教師要努力地使學生掌握分類思想方法，要求教師認真鉆研教材，研究中考試題，有意識地為學生感悟分類思想創設問題情境、組織學習活動［3］．

4 結束語

完善數學知識體系和培養數學核心素養是相輔相成的．只有掌握了扎實的數學知識，才能更好地運用數學思維解決實際問題；只有具備了較高的數學核心素養，才能更好地理解和掌握數學知識．因此，教師在教學過程中應注重數學知識與核心素養的融合，為學生的發展打下堅實的基礎．

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 陳坤明.結合中考命題，談初中數學函數教學［J］.中學數學研究（初中版），2019（10）：8-10.

［3］ 石樹偉.動態幾何壓軸題的分析及教學啟示［J］.中學數學教育（初中版），2013（9）：43-45.

［責任編輯：李? 璟］