從數到式，從式到方程

朱麟

【摘??要】??學生數學模型觀念的形成不能僅僅依靠一道例題或者一節數學課，而是需要長期潛移默化的教學滲透.本文嘗試和探索包含數學模型觀念的單元教學設計.通過對初中數學“整式”一章節的部分內容進行單元教學設計，嘗試將數學模型觀念系統滲透到日常數學課程中，從而讓學生增強學習數學的興趣和應用意識.

【關鍵詞】 ?初中數學；建模思想；課堂教學

數學模型是數學抽象的結果，是對現實原型的概括反映或模擬，是一種符號模型.數學模型觀念方法就是指通過數學模型來解決問題的一種思想方法.教師對于數學模型觀念方法的理解應是廣義的，它包括數學概念、原理，以及從實際問題中抽象出來的各種數學關系結構等.只有教師更深刻地理解和把握數學模型觀念方法，才能更好地開展教學，提升學生的數學核心素養.在初中數學教學中，教師對模型觀念的重視程度較低，認為模型觀念方法對學生能力要求較高，大部分學生對模型觀念掌握有困難，在教學過程中缺乏對模型觀念的研究與應用.

隨著《義務教育數學課程標準》（2022）明確將模型觀念列為初中階段學生發展的九大數學學科核心素養表現之一，越來越多教師意識到注重學生模型觀念發展的重要性.怎樣將模型觀念融入初中教學，成為很多教師首先思考的問題.目前研究較多主題的有：平面直角坐標系中幾何模型的應用，二次函數的性質與應用，列方程解應用題等.筆者認為學生數學模型觀念的形成不能僅僅依靠一道例題或者一節數學課，而是需要長期潛移默化的教學滲透.這就需要一線教師在平時的教學中，嘗試和探索包含數學模型觀念的單元教學設計.本文通過對初中數學整式一章節的部分內容進行單元教學設計，嘗試將數學模型觀念系統滲透到日常數學課程中，從而讓學生增強學習數學的興趣和應用意識.

1 ?從數到式、從式到方程單元教學設計整體規劃

數學是由數產生的，但實際生活中，僅靠數字解決問題是遠遠不夠的，人們發現用字母表示數應用更為廣泛.用字母表示數是將數字抽象成字母，繼而可以用字母來表示數字之間的數量關系，這一偉大跨越本身就滲透著數學模型觀念.然而在初中學生剛開始系統學習代數式的概念時，很少有教師能夠意識到其中的模型觀念的滲透，大部分時間用于計算和運算法則的教授.當學生掌握了式的運算，就可以通過立方程來解決現實世界的很多問題，方程模型也是初中數學中應用最為廣泛的數學模型.

例如 ?滬教版六年級下就已經安排了一元一次方程、二元一次方程（組）的解法及應用的教學.于教師角度而言，部分教師在方程教學過程中對模型觀念重視程度較低.于學生角度而言，部分學生對大段文字描述的實際問題一籌莫展，找不到突破口，從而對用方程模型解決問題缺乏興趣，轉而尋求小學中使用更多的算術方法.再加上學生在六年級時沒有系統學習用字母表示數和代數式的概念及其運算，對方程的理解也僅限于設元求解，即將未知數用表示列等式求解，所以學生對方程的模型觀念了解和掌握程度相對較低.將方程建模活動補充進整式章節的教學，對這部分內容進行單元教學設計，尤為必要.單元教學設計的規劃分為兩種類型，第一類為基于內容主題的單元，這一類的單元教學體現為若干緊密相關的知識點組成有主題的內容體系.第二類為基于學習專題的單元，體現為某個學習或者探究的專題.本單元教學設計屬于后者，學習路徑如圖1所示.滬教版整式一章節安排了19節內容，對該章節合理進行單元教學設計，有助于學生初步形成模型觀念，增強數學學習的興趣和應用意識.

2 ?從數到式、從式到方程單元教學設計

2.1 ?教學目標

2.1.1 ?知識與技能目標

理解字母表示數的意義，理解代數式的含義，能根據語言描述正確列出相應的代數式.會依據所給條件求代數式的值.理解整式相關概念，同類項相關概念，會合并同類項，掌握整式的加減運算.能熟練運用合適的示意圖分析各類問題中的等量關系，列出合理簡潔的方程（組）模型解決問題.

2.1.2 ?過程與方法目標

經歷探索用字母表示數的過程以及列代數式的過程感受數學抽象模型觀念.通過實際問題感受同一個代數式可以表示不同的實際意義.在求代數式的值的過程中，感受數量的變化及其聯系.經歷“問題情境——建立方程模型——解釋、應用”的過程，感受數學模型觀念的應用價值，初步形成用模型的思想思考、解決問題的能力.

2.1.3 ?情感態度與價值觀目標

通過對式的運算規律的總結和應用，初步體會由具體的數到抽象的式所蘊含的數學思維方式的跨越.體驗實際問題中用式表示數的簡便性和普適性，積累用式解決問題的經驗，提高模型觀念的認知度，拓展數學思維品質，提升數學核心素養.在自主探究和合作交流中積極發展數學建模能力，從中獲得成功的體驗.

2.2 ?教學重難點

2.2.1 ?教學重點

對代數式的理解，整式的運算，以及實際問題中如何找尋數量關系.

2.2.2 ?教學難點

能用字母和代數式表示規律.解釋代數式的實際背景或幾何意義.理解代數式中的值可以取不同的值，代數式的值隨著它的字母取值的變化而變化.整式運算中整體代入的思想運用.會合理選用表格示意圖或圖形示意圖簡潔表示出實際問題中的數量關系，巧妙設元，列出方程（組）解決問題.

2.3 ?單元學習內容設計

專題1 ?從數到式的相關概念

本專題教學流程設計如圖2所示，設計說明：舉例1和舉例2通過列舉常見的運算定律和學生所熟悉的圖形的面積公式，引入用字母表示數的概念，具有承前啟后的作用.例題1可以選擇學生生活中常見的經濟類問題，比如滬教版教材中的小明買橘子問題.這類問題涉及的數量關系為總價數量單價，這也是本單元建立方程模型的知識儲備.通過例題的真實問題的解決，學生積累代數式書寫經驗。通過解決讀圖識規律類的題型，學生體驗了從具體圖形到抽象的數字變化規律的思維過程，能夠鍛煉學生的抽象思維品質.經典例題有火柴拼圖形、堆積木、圖形的分割等.實際問題能夠讓學生感受到數學與生活是緊密聯系的，提高數學學習興趣.這里有大量例題可供選擇，比如：月歷問題，鋪設草坪問題，用電問題，打折問題，利息問題等.

專題2 ?合理建立方程模型解決問題

史寧中教授曾指出：“在進行方程的課程設計和教學實施時，可先讓學生用自然語言來闡述所述事情，然后抽象為數學表達，最后再用數學符號建立方程，解決問題，這就是數學建模的過程.”本主題教學采用探究活動課形式，方程建模問題探究活動教學嘗試突破傳統教學模式，把通過方程模型解決問題作為活動課程，改變學生聽教師分析題目，獨立完成題目的學習方式.在本活動課中，教師要有意識地引導學生用自然語言闡述問題，培養學生的問題意識，幫助學生將問題抽象為數學表達，再通過小組活動建立合理的方程，最后解決問題.學生通過小組合作進行數學建模活動學習，不僅能夠鍛煉思辨能力，而且有助于深化方程模型觀念.

案例1 ?經濟問題

小芳的媽媽生日到了，小芳打算買一束玫瑰花送給母親，這束花由粉色玫瑰花和紫色玫瑰花組成.

問題1 ?小芳買了粉色玫瑰花和紫色玫瑰花共18支，紫色玫瑰花有10支，若設粉色玫瑰花有支，那么粉色玫瑰花有多少支？（用方程表示）

問題2 ?小芳買了粉色玫瑰花和紫色玫瑰花共18支，紫色玫瑰花有支，若設粉色玫瑰花有支.

設問1 ?你能確定紅色玫瑰花到底有多少支嗎？為什么？

設問2 ?你能給出條件確定紅色玫瑰花有多少支嗎？

設計說明 ?由于初中階段學生的生活經驗所限，遇到的經濟問題主要有購買、折扣、利率、盈虧等問題.本節課為活動課的第一堂課，選題為學生十分熟悉的社會活動，讓學生能夠充分發揮想象，在能力范圍內提出問題解決問題.問題1的設計是讓學生理解方程是含有未知數的等式這一概念，求未知數的過程就是解方程的過程.問題2的設計是鍛煉學生發現問題，解決問題的能力.設問1設計目的為，讓學生體會數學模型的實際意義，由于玫瑰花的支數是整數支，所以玫瑰花的支數有多種情況.緊接著，設問2，啟發學生思考，能夠限制每種玫瑰花到底買了幾支的條件可以有哪些，可以啟發學生從經濟約束的角度，個人偏好的角度，數字特征的角度，花朵特征的角度，偶然事件的角度給條件，鍛煉學生從具體事件到數學問題的表述能力.

案例2 ?幾何模型的應用

小明、小杰分別站在邊長為12米的正方形道路相鄰的兩個頂點處，他們開始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時針方向勻速行走.

問題1??經過多少時間，小明、小杰第一次（初始位置除外）都在道路的頂點處？有什么規律？

問題2 ?經過多少時間，小明、小杰第一次都在道路的同一頂點處？有什么規律？

問題3 ?小明和小杰能同時出現在小明的初始頂點處嗎？為什么？可能出現小明、小杰同時出現在道路相對頂點的情況嗎？

設計說明 ?本道題改編自滬教版六年級教材第六章，探究活動.本道題沒有展示正方形道路的數學模型，需要學生自己將正方形道路的示意圖表示出來，并標明確定的字母.從實際問題到數學幾何圖形的表示，是思維方式的一大飛躍，教師在應用題的教學中要有意識的對這類模型觀念進行滲透.

2.4 ?單元教學設計反思

數學模型觀念的滲透是應該是在日常教學的點滴中，而不是孤立的一個課時或者一次活動.本單元的設計充分體現了這一點，在概念教學時通過真實情境的例題講解，讓學生感受實際問題的抽象化，在概念應用部分對這一思想進行強化.最后通過探究活動，學生就能夠運用這一思想解決實際問題.初中生的模型觀念應該是在認識范圍內緊密聯系實際的，這樣就可以通過建立能力范圍內的方程模型解決問題，經歷完整的模型構建過程，體會到數學的實用性和嚴謹性.

3 ?結語

單元教學目標有側重點，但不能為了構建模型而降低其他內容的學習要求.課程標準中明確提出初中數學核心素養表現應該圍繞九大類，本單元設計以模型觀念的滲透為重點，并不代表忽視其他數學學科核心素養，比如運算能力、抽象能力等都可以在本單元的課時教學中得到體現.只有將豐富的數學思想和數學思維貫穿于平時教學之中，才能讓學生真正能夠學會運用數學思維面對世界.

參考文獻：

[1]顧泠沅，邵光華．作為教育任務的數學思想與方法[M]．上海：上海教育出版社，2009.

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