應用型本科院校機械類專業“數值計算方法”課程教學問題分析及改革措施

摘?要：應用型本科院校機械類專業注重培養學生分析和解決機械領域中的實際工程問題的能力，在本科階段開設“數值計算方法”這門課程，使學生掌握相關的算法和建模方法，對于培養學生正確高效地使用數學工具解決機械工程的實際問題的能力具有重要意義。本文針對應用型本科院校機械類專業“數值計算方法”課程教學中存在的主要問題進行了深入分析，針對所分析的四個主要問題提出了對應的改革措施。

關鍵詞：數值計算方法；成績分布；主要問題；改革措施

Analysis?of?Teaching?Problems?and?Reform?Measures?for?the?Course

"Numerical?Calculation?Methods"?in?Mechanical?Majors

of?Applied?Undergraduate?Universities

Du?Xiaofei

School?of?Mechanical?Engineering，Nanjing?Institute?of?Technology?JiangsuNanjing?211167

Abstract：The?mechanical?majors?in?applicationoriented?undergraduate?colleges?and?universities?focus?on?cultivating?students'?ability?to?analyze?and?solve?practical?engineering?problems?in?the?field?of?mechanical?engineering.In?the?undergraduate?stage，the?course?"Numerical?Calculation?Methods"?is?offered?to?enable?students?to?master?relevant?algorithms?and?modeling?methods，which?is?of?great?significance?for?cultivating?students'?ability?to?correctly?and?efficiently?use?mathematical?tools?to?solve?practical?problems?in?mechanical?engineering.This?paper?provides?an?indepth?analysis?of?the?main?problems?in?the?teaching?of?"Numerical?Calculation?Methods"?in?the?mechanical?major?of?applied?undergraduate?colleges.Finally，corresponding?reform?measures?are?proposed?for?the?four?main?problems?analysed?in?this?paper.

Keywords：numerical?calculation?methods；score?distribution；main?problems；reform?measures

應用型本科院校機械類專業注重培養學生分析和解決機械領域中的實際工程問題的能力。對于機械領域而言，很多實際的工程問題都需要用數學方法進行建模和求解［1］?，其中很多問題難以通過解析方法得到精確解，或者解析解不存在，數值計算方法通過近似的數值計算來解決這些問題，是實際科學工程計算的基礎［2］?。在本科階段開設“數值計算方法”這門課程，使學生掌握相關的算法和建模方法，對于培養學生正確高效地使用數學工具解決機械工程的實際問題的能力具有重要意義［3］?。然而，由于本科階段學生接觸的實際工程問題較少，對其背后涉及的數學方法缺乏深入的理解［4］?。同時，學生已經學習過高等數學、線性代數等相關課程，在學習數值計算方法中的相關算法時，仍習慣延續高等數學和線性代數中的思維方式和求解方法，導致實際的學習和教學效果不夠理想［5］?。因此，本文針對應用型本科院校機械類專業“數值計算方法”教學過程中的一系列問題進行分析并提出對應的改革措施，以期對該課程教學效果的提升提供有益參考。

一、“數值計算方法”課程教學中的主要問題

筆者曾在同一學期同時從事機械工程專業1～4班的“數值計算方法”教學工作，四個班的期末考試卷面成績分布如圖1—圖4所示。從圖中可以看出，機械工程2～4班這三個班級，卷面成績在70～79分的人數最多，整體成績分布較為接近理想的正態分布規律，而機械工程專業1班的成績分布呈明顯的階梯形狀，即由低分到高分的人數越來越少。同時，四個班級中卷面成績低于60分的學生人數與理想正態分布規律相比均過多，說明有相當一部分同學對“數值計算方法”這門課程的主要知識點學習效果不甚理想，需要詳細分析深層次原因并提出措施加以改進。

學生在學習“數值計算方法”課程時所存在的主要問題如下：

（一）部分學生仍延續人工解算思維

部分學生在進行“數值計算方法”中“線性方程組數值解法”這一章節內容的學習與考試時，仍延續著他們在學習線性代數時所采用的克萊姆法則。而對高斯消去法、列主元高斯消去法、雅可比迭代法以及高斯賽德爾法等“數值計算方法”課程中所涉及的數值解法無法成功運用。在平時作業以及期末考試時，盡管學生通過克萊姆法則也能得到線性方程組的解，計算結果與采用上述數值方法所得到的結果相同。但這僅僅是因為在練習或考試時所給出的線性方程組一般不會超過4個變量，當線性方程組的維數很大時，運用克萊姆法則進行求解的計算量呈幾何級上升，導致陷入“維數災難”。因此，學生在進行這部分內容學習時，應該把重點放到線性方程組的數值解法上來而不是注重計算結果本身，要充分理解學習數值算法的目的是為運用計算機進行大規模線性方程組的求解而服務的，不應只局限于考試或練習中的低維數線性方程組的求解。

（二）部分學生對數值算法內在邏輯的理解和掌握明顯不足

“數值計算方法”中涉及的大部分算法均有其嚴謹的內在邏輯和計算步驟，而部分學生對算法的學習僅僅停留在死記硬背的層面，對算法本身的邏輯缺乏深入的理解。這就導致學生在進行練習或考試時，一切均以應試解題為目的，即使成功寫出了求解的所有步驟，其仍未真正掌握該算法。例如，運用列主元高斯消去法進行線性方程組求解時，在第k步消元之前都要進行判斷，找出第k列中位于對角線及其以下元素絕對值中的最大者，然后進行必要的行互換，再運用普通高斯消去法進行消去，完成消去后即代表結束了第k步的消元；然后再依靠相同規律和判斷方法進行第k+1步的消元。由此可見，列主元高斯消去法其本身具有嚴謹的內在邏輯和計算步驟，學生要帶著理解在腦海中反復體會列主元高斯消去法進行列主元判斷的原因以及判斷完成后的步驟，深刻領會進行列主元判斷的優點及作用，然后按照算法的計算步驟進行迭代計算，避免靠死記硬背進行學習。

（三）部分學生對數值算法實際應用的理解有待提高

本門課程所選用的教材為東南大學出版社出版的由東南大學數學學院孫志忠教授主編的《計算方法與實習》（第5版），由于本書主編均為數學學科的教授，因此本書的內容在理論的推導及介紹方面非常詳盡、豐富，但與機械工程領域中的實際工程問題仍然缺乏貫通連接的橋梁。此外，學生對數值計算方法的理解可以通過解決實際問題進行深化，但是無論是考試還是課后練習均缺乏相關的實際問題，學生可能難以將所學知識運用到實際情境中，從而降低他們對數值方法實際應用的理解。相當一部分學生仍把“數值計算方法”這門課程當成一門純粹的數學課進行學習，盡管他們對各種數值算法的理解和掌握也較為熟練，但當被問及學習完這門課程后能夠解決機械工程領域中哪些實際問題時，他們往往無法回答。因此，要讓學生多了解機械工程領域中哪些實際的工程問題能夠運用所學的數值計算方法進行解決，拓展學生的視野，培養他們運用數值計算方法解決機械工程領域實際工程問題的能力。

（四）部分學生的手動計算能力有所欠缺

“數值計算方法”的課后習題及考試題目中均涉及較多的手動計算，比如：矩陣行列式、連乘、消元等。部分學生對各種數值算法的理解和掌握較為熟練，也能夠寫出各種數值算法正確的通用公式。但是當其將數字代入通用公式中進行計算時，由于計算過程中的低級錯誤導致無法得到正確的結果。由于每種數值算法內在的每一步驟是前后關聯的，上一步的計算結果正確與否直接決定下一步的結果是否正確。因此，部分同學在進行考試或習題練習時很容易出現“一步錯、步步錯”的現象。究其原因，首先是學生的數學基礎不夠扎實，學生長期過度依賴計算器進行計算求解，導致手動計算準確度下降；其次是個人習慣的原因，部分同學自初中、高中時期就表現出了計算準確度過低的現象，此類同學往往具有較為明顯的粗心大意的特點且計算完成后缺乏及時檢查驗算的習慣。學生應不斷夯實自身的數學基礎，同時克服掉粗心大意的習慣，在大量的練習和訓練中不斷提升自身的計算能力。

二、“數值計算方法”課程教學改革措施

針對上述四個主要問題，授課教師要主動求變，有針對性地采取必要的措施，豐富工程案例，加強對學生的訓練引導，力爭取得更好的教學效果。具體改革措施如下：

（1）針對部分學生仍延續人工解算思維的問題，授課教師要在各種數值算法的講授過程中不斷貫穿運用計算機進行求解的思想。“數值計算方法”中所涉及的各種數值算法，均是為了充分發揮計算機能夠高速進行重復計算和迭代的特點所設計的計算方法。相比之下，計算機擅長按照特定規律進行多次迭代而人類更擅長邏輯推理，因此學生在進行相關算法的學習時，要假設自己是計算機從而不斷體會數值算法的合理性，克服以往的人工解算思維，并通過適當的上機編程訓練使學生更加深刻理解運用計算機和相關數值算法進行高效快速求解的意義和作用。

（2）針對部分學生對數值算法內在邏輯的理解和掌握明顯不足的問題，授課教師要在各種數值算法的講授過程中闡明該算法的內在邏輯并督促學生進行深化理解。“數值計算方法”中所涉及的各種數值算法普遍具有邏輯嚴謹、上下承接、環環相扣的特點，使學生帶著理解去記憶和掌握，其教學效果遠好于學生進行死記硬背。因此，授課教師要在算法講解過程中，用較為通俗易懂的語言向學生闡述為什么進行這步計算和計算完這一步下一步要做什么，讓學生深刻領會算法的由來和優點，做到真正掌握其內在邏輯和計算步驟。同時，在課堂提問中，可以請學生口述某種數值算法的邏輯和計算步驟，讓學生用自己的語言把算法描述出來，能夠準確描述的同學可以適當給其增加平時成績，以此鼓勵督促學生加強對數值算法內在邏輯的理解和掌握。

（3）針對部分學生對數值算法實際應用的理解有待提高的問題，授課教師要結合自身的研究方向豐富完善相關的案例庫，使學生充分了解數值計算方法對于解決機械工程領域中實際工程問題的巨大作用。機械工程領域中的機械系統振動問題、計算流體力學問題以及結構優化問題等很多方向均涉及運用數值計算方法進行方程的求解。盡管這些問題的求解過程往往較為復雜，對于本科階段的學生來說有一定的難度，但是授課教師可以用上述方向中最簡單、最基礎的問題進行講解演示。例如，對于機械系統振動問題，授課教師可以用梁的振動方程的求解過程為例進行講解，使學生了解數值計算方法的具體作用，在講授過程中不斷豐富機械工程領域的案例，最終形成一個適用于機械類專業本科生學習的運用數值計算方法求解實際機械工程問題的案例庫。

（4）針對部分學生的手動計算能力有所欠缺的問題，授課教師要在課堂上加強各種算法計算時的演示，同時加強學生的練習，努力提升學生的手動計算能力。“數值計算方法”這門課程由于涉及的公式較多，計算步驟和計算過程較為復雜，如果授課教師只是單純地對照PPT進行講解，學生很難理解算法的邏輯和步驟，更何談手動計算能力的訓練。因此，授課教師要充分運用板書，將各種數值算法的計算過程一步一步地在黑板上邊講解邊展示，在展示完成后同時要求學生自己在作業本上進行當堂練習，加強對手動計算能力的訓練。在布置課后練習時，注重選一些能夠較多考驗學生基礎計算能力的習題，同時叮囑學生要認真仔細，努力克服自身粗心大意的解題習慣，最終實現自身手動計算能力的顯著提升。

結語

本文針對應用型本科院校機械類專業“數值計算方法”課程教學中存在的主要問題進行了深入分析，并提出了對應的改革措施，以上措施已在最新一學期的“數值計算方法”的教學中得以應用并取得較為明顯的成效，期望本文能夠為應用型本科院校機械類專業從事“數值計算方法”教學的教師提供一定的參考。

參考文獻：

［1］李東野.以工程應用為導向的數值計算方法教學改革探討［J］.科技視界，2020（35）：2122.

［2］張雅晶，董文彬，鮑官培，等.工程教育專業認證背景下《數值計算方法》課程的教學改革［J］.黑河學院學報，2022，13（6）：9193.

［3］林志立，林志陽，張奚寧，等.“新工科”背景下電磁場數值計算方法課程教學探索與實踐［J］.高教學刊，2020（26）：6164.

［4］李秀英，耿發展.數值計算方法教學方法研究［J］.教育教學論壇，2018（11）：188189.

［5］張少波，馬艷玲，楊顯玉.線上線下混合式一流課程的探索與實踐——以數值計算方法課程為例［J］.創新創業理論研究與實踐，2023，6（11）：4346.

項目來源：南京工程學院高層次引進人才科研啟動基金項目（YKJ202102）

作者簡介：杜曉飛（1991—?），男，漢族，山東德州人，博士，講師，研究方向：振動噪聲理論、分析與控制。