類比·構建·素養：初中數學核心概念教學策略與思考

【摘要】概念是數學知識的基礎，是數學推理的主要依據，類比則是數學學習的重要思想方法。通過類比視角進行數學核心概念教學，有助于建立新舊知識之間的聯系，促進知識和方法的遷移，引導學生轉變學習方式，提升學生的核心素養。文章對模型類比、思維類比、結構類比、方法類比等推理的基本操作模式展開論述，旨在進一步提升學生對數學核心概念的理解與應用，幫助學生積累數學活動經驗，促進學生邏輯推理能力的形成。

【關鍵詞】初中數學；核心概念；類比遷移；核心素養

作者簡介：王慧靈（1975—），女，浙江省杭州市臨安區錦城第六初級中學。

數學概念是人腦對客觀對象數量關系和空間形式本質屬性的數學表達，是數學知識的核心。在數學概念教學中，教師需要提煉核心概念，圍繞核心概念提出核心問題，實現知識的系統化教學，促進學生對概念的深層理解［1］。教師可以借助數學知識、數學思維、數學方法以及數學本質等核心概念的相似結構特征，運用類比遷移方法將陌生對象與熟悉對象、未知規律與已知規律相互轉化，讓學生的認知結構得到遷移，進而發展學生的核心素養能力［2］。

一、類比學習視域下，數學核心概念的學習機制

數學上的類比是指依據兩類數學對象的性質相似性、結構關聯性等特征，將核心問題B的結論和方法遷移到核心問題A上的一種合情邏輯推理（如圖1）。常見的類比教學有模型類比、結構類比、思維類比、方法類比等［3］。

類比視角下的核心概念教學需明確概念的外延和內涵，洞悉兩個概念的本質屬性，鏈接核心概念的關鍵要素及學習結構。在初中數學核心概念教學中，教師要準確選擇類比方法，尋找恰當的核心概念B，類比猜想核心概念A，通過核心概念的類比學習提升學生分析問題和解決問題的能力，落實學科綜合素養的提升。

二、類比思想引領下，數學核心概念的教學策略

（一）模型類比—搭建認知結構的概念系統

模型類比是引導學生聯想對比已學相似的模型問題與新知識是否適用，將相似類型的概念鏈接成系統的概念域。新概念的掌握模型類比原概念的學習模型，順應學生認知結構的發展規律，啟發學生將前概念與新概念進行聯動，形成概念域，優化學生的概念系統和數學認知結構，發展學生的模型觀念等核心素養。

比如，初中階段代數的學習路徑是相通的。一元一次方程和一元一次不等式雖然屬于不同的數學模型，但在學法思路上有相同的結構。類比方程的研究思路學習不等式，體現了代數式之間內在的邏輯結構。教師通過梳理知識的縱向結構，建構概念知識體系，讓學生形成一定的學法思路，通過模型類比的運用，對概念的學習進行深化，從而形成方程與不等式的學法路徑。

（二）結構類比—內化建構核心概念知識體系

數學的探究經歷從一般到特殊的學習過程。為此，教師可以對核心概念的結構進行類比，借助應用結構的相似性進行類比探究，引導學生將研究的核心概念問題轉化為與其應用結構相似的問題，運用結構類比加以學習，以便幫助學生理解核心概念的數學本質，自主形成知識網絡體系，從大概念視角整體理解和把握核心概念。

以特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的判定定理為例。教師可以引導學生回顧平行四邊形的判定以及這些判定定理與平行四邊形的性質的關系。通過思考，學生發現平行四邊形的判定由平行四邊形的邊、角、對角線的性質的逆命題得到。而矩形是一種特殊的平行四邊形，類比平行四邊形的判定定理可知，矩形的判定定理除了具有平行四邊形的性質，還具有矩形特有的性質，因此也可以根據矩形的性質探索其判定定理。教師引導學生運用結構類比思想，對矩形性質的逆命題進行思考：對于邊、角、對角線及對稱性滿足什么條件的四邊形是矩形？在整體學習過程中，學生經歷了猜想、驗證、證明、歸納等活動，理解并掌握了矩形的判定定理。通過類比相似的結構特征，學生也能得出菱形、正方形的判定定理。

學生由平行四邊形的研究內容，建構了平行四邊形的研究體系，在結構類比思想方法下，把特殊平行四邊形的研究融合為整體，深入理解特殊平行四邊形核心概念的數學本質的一致性，體會圖形變化之間的聯系，提高邏輯推理能力。

（三）思維類比—理解核心概念的數學本質

核心概念的教學強調深層理解概念內涵，通過運用類比的思想，沿著相似的研究方向對同類內容進行整體學習，通過相似學習方法和路徑的思維生長鏈揭示概念的數學本質［4］。學生通過運用類比思想，加強對知識的學習次序、知識內容螺旋上升的梯度進階，從而形成清晰的學習脈絡，不斷完善自身知識體系的建構，掌握數學概念的本質［5］。

以函數的核心概念的教學為例。教師可以引導學生從函數單元整體建構的角度去學習。如在教學一次函數的章節起始課時，教師可以引導學生從現實情景問題中抽象出數學問題，分析情景問題中兩個變量之間的關系，并且用代數式的形式表示兩個變量之間的關系，讓學生感受到函數的本質特征；接著，教師可以引導學生對函數的概念、表達式、圖像及性質進行學習，讓學生對函數學習的整個流程有一個清晰的認識，進而為后續的反比例函數、二次函數的學習做好思維類比學習的準備，最終建構整個函數知識的學習框架［6］。

類似于函數中思維類比的學習方式，從方程到不等式、分數到分式的學習，都可以用思維類比的方式進行學習探究。通過類比，教師能從學生的最近發展區出發，引導學生關注新舊知識之間的思維邏輯關系，促進學生發現新知識的生長點和延伸點，有助于學生把握問題的規律、提高數學思維能力，加深對核心概念的理解，進而不斷建構知識體系，從而實現思維類比方法的整體遷移。

（四）方法類比—提升核心問題解決實踐能力

核心概念的學習離不開運用所學知識進行解題實踐。在課堂教學中，教師可以采用梯度題組、改變題設或提問等變式練習來進一步檢驗學生對所學知識的掌握情況，引導學生運用類比思想方法尋找解題的關鍵點和突破口，促進學生問題解決能力的提升［7］。

例題：如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD。

（1）請找出圖中相等的角和相等的線段；

（2）若把等邊△ABD和等邊△ACE改成以AB、AC為邊分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE（如圖3），猜想BE與CD有什么關系？并說明理由；

（3）如圖4，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經測得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝50米，AC＝AE，求BE的長（結果保留根號）。

第（1）題是一個開放性問題，學生可以直接從已知條件中找出圖中相等的角和線段，也可以從等邊三角形的性質中得出。有了第（1）題解題方法的鋪墊，基礎比較薄弱的學生也能運用方法類比思想找出圖3中相等的角和相等的線段，從而完成第（2）題的說理。在第（3）題中，學生可以類比第（2）題的圖形的結構特征，添加輔助線，用推理論證方法類比得出全等三角形的證明，最后利用全等三角形對應邊相等和勾股定理，解決實際問題。

在課堂教學中，教師通過對某個核心問題進行條件的替換或者對新結論的探究等進行改造、整合，讓學生通過整體知識體系以及解題方法或思想方法的不變性，類比前面的解題方法，找到生活實際情景問題的解題關鍵點。這種類比的思想方法能幫助學生實現對知識、技能和思想方法的融會貫通，從而落實數學核心素養培養。

（五）經驗類比—豐富核心問題解決基本策略

數學中的動態幾何問題，充分體現了數學中變與不變的和諧統一，其特點是因圖形中的某個元素（點、線段、角）和某部分幾個圖形按一定的規律運動變化，而引起其他一些元素的數量、位置關系和圖形形狀等發生變化。這些元素的數量變化關系在運動變化的過程中相互依存，有一定的規律可循。

例題：如圖5，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O。在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB。

（1）求證：PD＝PB；

（2）將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處，當點P在線段AO上的位置發生變化時，∠DPQ的大小是否發生變化？請說明理由；

（3）探究AQ與OP的數量關系，并說明理由。

（4）遷移探究：如圖6，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變。試探究AQ與CP的數量關系，并說明理由。

本題以“問題探究—遷移探究”為研究主線，借助問題串引導學生親身經歷發現、探究、解決數學問題的完整學習過程，呈現從問題發現到問題解決，再到拓展應用的思維全過程，有效地考查了數學抽象、幾何直觀、邏輯推理等核心素養，同時，助力學生進一步積累數學活動經驗，促進“做中學”“用中學”的落實。

三、類比方法導向下，數學核心概念的教學啟示

數學課堂應注重知識體系的建構和思維能力的培養。教師要靈活處理課堂上生成的問題，及時組織學生討論、探究；要注重知識的形成過程，遵循學生的思維發展的規律，從學生的生活經驗和已有知識背景出發，創設合理的教學情境，激發學生的探究欲望，使學生從單純地接受知識轉變為學習的主人。

（一）尋找經驗與數學概念的關聯

數學的高度抽象使得一些基本概念和基礎知識似乎與現實生活沒有多少聯系，但學生如果搞清楚了基本概念和知識產生、發展、形成、變化的規律，就能找到這些內容與現實生活的關聯。因此，教師需要引導學生了解概念和知識產生、發展、形成、變化的規律，讓學生預測概念和知識的未來發展趨勢，這不僅有利于激發學生學習興趣，也有利于培養學生的學習主動性。

（二）構建新舊知識內在邏輯結構

通過類比方法的應用，學生能夠找到新知問題與舊知之間的關聯點，利用已學知識和經驗解決新的問題，構建新舊知識的內在聯系，形成對數學知識的整體認識。在類比教學中，教師引導學生明晰學習方法，將新知同化于原有的知識結構中，進一步感受知識的相互聯系，有助于學生將所學知識遷移和綜合運用。

（三）遵循學習規律，提高思維能力

數學學科具有較強的結構性，教師引導學生以類比學習的方式建立相似概念的知識體系，能夠幫助學生構建完整的知識結構。類比方法是數學學習的邏輯思維發展點和有效途徑。教師通過類比的方法，將數學的核心概念逐步推廣，引導學生探索新概念的學習方式和路徑，深化對新知識的理解，促使學主提高解決問題的能力。

（四）從知識到能力，落實核心素養培養

在基于類比思想的核心概念學習中，教師能充分了解學生的學習能力、學習習慣與方式等，精心選擇不同的類比學習方式，從而激發學生的學習興趣，發展學生的數學思維。通過類比學習，學生能夠建立新舊知識之間的聯系，實現數學知識的遷移和深化，完善前建構與后建構的整體性，進一步發展分析、歸納問題的能力，培養探究精神和創新意識。

結語

在初中數學教學過程中，有許多數學知識、數學思想、數學方法之間都存在內在聯系和相似之處。在核心概念的教學過程中，教師要厘清教材結構和知識間的內在聯系，有步驟、有計劃地將類比思維的培養滲透到初中數學教學中，引導學生根據核心概念的特點感悟數學思想、類比研究內容、明確學習路徑、積累研究方法，發展學生的核心素養。

【參考文獻】

［1］馬云鵬.聚焦核心概念落實核心素養：《義務教育數學課程標準（2022年版）》內容結構化分析［J］. 課程.教材.教法. 2022，42（6）：35-44.

［2］史寧中. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》的修訂與核心素養［J］. 教師教育學報， 2022， 9（3）：92-96.

［3］任玲.基于類比思想的教學策略與實踐［J］.數學學習與研究，2020（10）：30-31.

［4］徐登峰.指向關鍵能力發展的數學單元整體教學策略［J］.中國數學教育，2021（7/8）：37-40，44.

［5］朱國防.類比思想在高中數學課堂教學中的應用研究［J］.數學學習與研究，2022（21）：14-16.

［6］江山.初中數學核心概念教學設計研究［J］.中學數學，2022（18）：76-77.

［7］孫永毅.類比思想在高中數學教學中的應用研究［J］.中學數學，2021（5）：91-92.