巧妙借助類比法提高初中生數學解題能力

向定云

【摘 要】 數學作為一門有著極強實用性且比較抽象的特殊科目，對學生的邏輯思維能力有著較高要求，在初中數學解題訓練中，大部分學生都沒有完善的思維體系，解題時思路容易變得混亂，以至于錯誤頻出，究其原因在于數學解題能力有待提高.初中數學教師可教授給學生類比法的使用技巧，提高他們的數學解題能力.本文據此展開深入分析與研究，并羅列出部分解題實例.

【關鍵詞】 類比法;初中數學;解題教學

類比法作為依據兩類對象具有的某些類似特征同其中一類對象的已知特征，推導出另外一類對象同樣具有此類特征的一種方法.在初中數學解題訓練中，一些學生往往會經歷推測和聯想，這便是對類比思想的應用，從特殊到一般的體現，當遇到部分難度較大的題目時，教師可指導他們采用類比法，結合兩個對象間的相似屬性推測出存在的聯系，使其通過類比解決數學試題，在這種新途徑、新方法支持下提高學生的解題能力，增強他們的自信心.

1 巧妙借助結構化類比，探究數學解題本質

在之前的初中數學解題教學中，不少教師都比較喜歡著重講解理論知識的方式，多次強調數學試題中涉及的公式、定理等，知識點之間的內部關聯性通常遭到忽視，沒有帶領學生通過類比的方式展開訓練，影響他們解題能力的提高.要想解決這一不利問題，教師可巧妙借助結構化類比的教學方式，引領學生結合數學題目的結構特征，將原題引申、轉化成比較熟悉的題目，展開比較，幫助他們掌握題型結構，探究數學解題本質^[1].

例1 如圖1所示，已知AB=3，BC=7，AC=5，那么A的度數是多大？

解題思路 當題干中直接給出一個三角形的三邊具體長度時，能夠基于正弦、余弦定理視角進行解決，但是初中學生剛剛學習過勾股定理相關知識，這一方法難度稍大，不少學生都不知所措.這時教師可提示學生巧妙借助結構化類比方法，使其結合有關直角三角形的知識把NA和直角相聯系，他們將會對BA進行延長，再過點C作延長線的垂線段，把垂足設為點D，AD=z，如圖2所示.接著，學生結合已學知識和輔助線得到CD= 25-z²，根據勾股定理能夠得到（3+z）2 + （ 25-z²）²=49，求得z= 55，然后根據直角三角形的性質及AD=：AC，能夠求出NBAC=120°之后，教師要求學生在三角形內部構造出一個新的直角三角形，讓他們分析、對比這兩種解題方法的相同點與不同點，提高數學解題能力.

設計說明 在這一試題中，學生因為沒有正式學習過正弦、余弦定理知識，教師指導他們靈活使用結構化類比的方法，把求解難度較大的常規三角形類比特殊的直角三角形，讓他們利用直角三角形相關知識解答試題.

2 巧妙借助模式化類比，確定數學解題途徑

針對初中數學解題教學來說，相對于結構化類比而言，模式化類比即為根據試題展現出的表象特征，找到可以展開類比且性質相同的試題，關聯表現主要體現在解題方法與策略方面，有著一定的類似性，這是進行類比切入的關鍵之處.具體來說，教師在平常的解題訓練中，應當引導學生在解題過程中自主歸納與積極概括，探尋最佳解題途徑，巧妙借助模式化類別感知到數學知識內部之間的關聯性，從而有效提高他們的數學解題能力^[2].

例2 已知存在實數a "，c滿足aWbWc，且ab +bc + ca = 0，abc =1 ，使得不等式 |a+b| ）k|c|恒成立的最大實數k是什么？

解題思路 通過對題目內容的閱讀發現有兩個方程和三個變量，學生進行解題時極易受到這些已知信息的干擾，教師應引領他們基于固有信息切入，獲得一個與之等價的條件，由于a6c =1，則實數a，b，c均不為0，這三個實數不存在負數，或者存在2個負數，又結合abc=1可以得到ab= 1 >0，將其

c

代入ab +bc +ca=0就能夠得到a +b = - ＼ < 0 ，c²

所以有a &b < 0，接下來，教師應指導學生根據基本不等式的性質巧妙借助類比法，根據“一元二次方程根和系數之間的關系”構造出以ab兩個實數為根的一元二次方程，建立出相應的不等式，類比推理后發現a，b兩個實數為一元二次方程z² + ＼x+ 1

_c2 _c

=0的兩個根，所以1 a + b |= 12 24c = 4 | c 1 ，此c²

時不等式滿足題設條件，求得最大實數k為4.

設計說明 本道試題難度相對較大，學生需結合問題表象找到能夠進行類比且性質相同的問題，即為不等式的關系，同一元二次方程展開類別建立不等關系，有助于他們快速求出本題結果，使其找到最佳解題路徑.

3 巧妙借助特殊化類比，找到數學解題靈感

特殊化類比即為把原命題中比較復雜的元素作精簡化處理，采用多維化的訴求方式把復雜問題類比成簡單問題，這是一種化繁為簡、由難到易的解題方法，能夠省掉一些計算步驟，減少學生出現錯誤的概率，鍛煉與提高他們的解題能力.對此，在初中數學解題教學中，當遇到一些比較復雜的試題時，教師可以指引學生巧妙借助特殊化類比法，由此將復雜化的問題內容進行簡單化處理，使其從中快速找到解題的靈感，幫助他們形成簡潔的解題思路^[3].

例3 在直角三角形ABC中，已知ZACB=90°，AC=8，BC=4，現在分別以AC與BC為直徑畫兩個半圓，如圖3所示，求陰影部分面積的大小.

解題思路 面對此類圖形比較復雜的題目，學生很難快速找到解題的切入點，從而陷入到思維障礙之中，這時教師可引領他們深層次梳理解題思路，巧妙借助特殊化類比的方法對圖中的陰影之處進行觀察，且把它們類比成兩個半圓的面積，把圖中各個部分的面積分別設為S「S2，S3，S4，S5，如圖4所示，這樣能夠得到兩個半圓的面積之和是Si+S：， +S4 +S2+S3 +S4，直角三角形ABC的面積是S3 +S4 +S$，陰影部分的面積是S1 +S2 +S4，則圖中陰影部分的面積是兩個半圓的面積減去三角形的面積，將相關數據代入到相應的公式之中，最終經過計算得出圖中陰影部分的面積是1（反一16.

設計說明 這類試題不僅可以助推學生更好地鞏固計算扇形面積的方法，還能夠讓他們回顧有關三角形面積的知識，教師指導學生巧妙借助特殊化類比的方法，將原題中復雜的內容變得簡單化，借此改善他們的思維品質，使其通過不間斷的解題訓練逐漸養成善于思考的優良習慣.

4 結語

總而言之，在初中數學解題訓練活動中巧妙借助類比法，能夠驅使學生積極展開類比推理，激起知識遷移意識，這對增進他們知識理解程度、提升數學綜合運用能力意義重大，教師需明確類比法在解題中的優勢，引領學生通過專項解題訓練慢慢形成類比習慣，使其善于尋求知識點之間的內在聯系，全力提高他們的數學解題能力.

參考文獻：

[1]楊梅.類比法在初中數學解題教學中的應用技巧[J].數學學習與研究，2023（07）：143-145.

[2]高鈺良.淺談初中數學教學中類比法對解題思維的促進作用 [J].讀寫算，2021 （03）：57 - 58.

[3]陳兆緒.類比中獲新知 應用中顯能力———從初中數學類比法解題談起[J].數學教學通訊，2020（08）：68 - 70.