從數學思想引發對物理問題的探討

摘" "要：數學知識是理科學習的基石，結合數學思想探究物理問題，可以拓展學生的發散性思維，加深對知識內容的理解。以一道試題的分析探討數學思想在高中物理習題教學中的應用，以數學思想促進物理的學習，以物理思維擴展數學的認知。

關鍵詞：核心素養；數學思想；習題教學；阿基里斯悖論；級數收斂

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）2-0065-3

1" " 原題呈現

例1 把一籃球從離地面高度為H處由靜止自由釋放，每次與地面碰撞，籃球都會損失碰撞前動能的能量，籃球始終在豎直方向運動，不計空氣阻力。則至籃球停止運動時其運動的總路程為（" " " ）

A.8H B.7H C.4H D.2H

高考評價體系提出“一核四層四翼”的要求，在內容考查層面上，不僅注重對必備知識理解深度的考查，更側重對學生關鍵能力、學科素養以及核心價值的考查，通過創設現實問題情境，引導學生從“解題”向“解決問題”轉變。此題以籃球自由下落為素材創設生產生活問題情境，初看是一道難度適中的動力學綜合分析題，以籃球運動為載體考查受力分析、功能關系、自由落體運動等必備知識，實則還考查了模型建構能力、推理論證能力，以及進行嚴謹推理、嚴密論證的科學思維能力。本題盡管由常規簡單的情境創設問題，但在考法上卻頗具新意，零碎的信息導致求解此題時沒有特別明確的切入點，必須根據題目綜合分析才能得到解題思路，在不失基礎性的同時又極具靈活性。

2" " 試題分析

從能量守恒的角度可知，籃球的下落是重力勢能向動能轉化，則籃球落地瞬間的動能

Ek=mgH（1）

籃球與地面碰撞過程中損失的能量總為碰撞前動能的，即在與地面碰后，動能變為先前的，得碰后動能Ek1=mgH。籃球彈回上升是動能向重力勢能轉化，由Ek1=mgh1可知在第一次與地面碰撞后，籃球的最大上升高度

h1=H（2）

同理可得，籃球第二次與地面碰撞后的最大上升高度

h2=h1=（）2H（3）

進而得到第三次上升的最大高度

h3=（）3H（4）

直至第n次

hn=（）nH（5）

通過數學歸納，由（5）式可知籃球每次與地面碰撞后的最大上升高度為等比數列，由圖1可知至籃球停止其總路程為

s=H+2h1+2h2+2h3+…+2hn（6）

結合（5）式，對等比數列求和

s=H+（2·H）（7）

至籃球停止，n取無窮大，則總路程

s=H+（2·H）=7H（8）

故B選項正確。

3" " 問題再探

依據上述的分析及作答，從能量轉化的角度可得出每一次籃球與地面撞擊后反彈的高度，結合運動情境分析，由（6）式求解總路程，該題至此理應完全解決。然而，學生在對其的理解上似乎還存在一個疑惑：籃球每次與地面撞擊后反彈的高度會是前一次高度的，則該撞擊過程會一直進行下去，那么籃球最終怎么會停下來？且對無窮盡的每段高度怎么能求和？尤其對于數學能力稍弱的學生而言，難以想到等比數列的求和方法，甚至在知曉正確的解題方法后仍困惑于籃球無法停止與無限路程怎么求和的“悖論”中。

教師在物理的習題教學中通常是只專注于解題本身，圍繞物理的基本概念、基本規律、基本公式教授給學生解題的邏輯和技巧。然而，習題教學亦是核心素養落實的重要環節之一，在習題教學過程也應注重學科素養的自然滲透，從而形成邏輯嚴密、結果自洽的完整習題教學，以培養學生理性思考、敢于質疑、不斷創新的科學素養，故針對該習題中的“悖論”有必要進行深入探討。

4" " 阿基里斯悖論

事實上，關于上述疑惑科學界有過一個有趣的悖論，這便是公元前五世紀出生在意大利半島南部埃利亞的古希臘著名數學家、哲學家芝諾發表的著名的“阿基里斯悖論”。該悖論指的是埃利亞學派哲學家芝諾提出的阿基里斯和烏龜賽跑的故事，只要烏龜先跑，阿基里斯無論如何也追不上它。芝諾提出，讓運動更慢的烏龜先走至點B，此時阿基里斯從A點開始運動（圖2），每當阿基里斯追到烏龜先前所在的位置時，烏龜總是又往前爬了一段，這個過程無法窮盡，故阿基里斯永遠不可能追上烏龜。

從常識方面來看，阿基里斯悖論是違背常識和數學邏輯的。從追及相遇的角度來看，設烏龜的速度v=0.1 m/s，阿基里斯的速度v=10 m/s，二者保持勻速且同時開始運動，烏龜起初在阿基里斯前方s0=99 m處。根據位移關系v·t=v·t+s0，可知經過10 s阿基里斯追上烏龜。此外，從相對運動的角度也可知t=，亦能得出經過10 s阿基里斯追上烏龜。

阿基里斯悖論實則是無限分割的問題，其誤區在于將一個無窮級數的項數無窮與結果無窮混為一談了。如將一根1 m長的木棍無數次分割，項數（分割次數）是無限的，但對所有項的求和不會因項數的無限而無限，結果一定是1 m，是有限的，這與阿基里斯追及烏龜的問題相通。阿基里斯追烏龜的距離可劃分為無限多段，時間亦可進行無限分割，當對時間以及空間都進行無限分割，阿基里斯要到達分割出的無限多個點（或點與點間的無限多段長度）需要的有限的時間，也是從原有用時中所分割出的無限多個時間點（或點與點間的無限多段時間）來完成的。誠然，在討論“無限”概念時，無限的分割次數不等于無限的長度，也不等于無限的時間，從數學級數理論及極限思想來看：若級數收斂，對其無限項求和則是有極限的。因阿基里斯追烏龜的路程有限（即級數收斂于最初間隔距離），則運動時間必有限，終將追上。與收斂相對的概念就是發散，芝諾的阿基里斯悖論反映了離散和連續系統的關系問題，這為數學家們提供了關于“有限”和“無限”的思考契機，對后來數學微積分的出現產生了積極的影響。

依據阿基里斯悖論再來看我們的籃球落地問題，存在的易混淆點實則一致。從數列角度出發，由（7）式可知該等比數列收斂（限于篇幅，這里不作證明），則必有極限，因此籃球運動路程有限，終將停下來。極限運算作為一種高級運算，是有限和無限之間的橋梁，由（8）式討論n→∞即可得出結果。由此可看出數學思想在物理問題當中的運用，聯系數列進而求解的物理問題會具有過程多、重復性強的特點，但并非完全重復前一個過程，而是伴隨著某種變化的過程重復［1］。隨著物理過程的重復，相應的物理量也將逐漸產生具有前后聯系的變化（數值的銜接關系），對于這樣的物理問題，數列法在對其理解和破題上都具有關鍵作用。

5" " 等效模型建構

依據對本題過程的分析，亦可用等效法解題。由題意，籃球初能量為重力勢能Ep=mgH，每次與地面碰撞過程損失的能量為碰撞前動能的，且不計空氣阻力。如此可知，籃球與地面第1次碰撞損失能量ΔE1=mgH；籃球與地面第1次碰撞反彈高度h1，與地面第2次碰撞損失能量ΔE2=mgh1；籃球與地面第2次碰撞反彈高度h2，與地面第3次碰撞損失能量ΔE3=mgh2。通過歸納總結可以發現，對于籃球的下落過程，若下落高度為h，則損失能量ΔE=mgh，ΔE 是與h有關的函數，且h前系數mg為定值。故可以構建這樣的等效模型：籃球在下落過程受到一恒定阻力作用（特別注意：籃球反彈上升過程不受該等效阻力作用），且F=mg，直至籃球初重力勢能在該等效阻力做功下完全轉化為內能，即停止（圖3）。解答步驟如下：

設籃球下落過程的路程為s，對籃球全過程由能量守恒列式

mgH=mg·s（9）

考慮到籃球的反彈上升過程，結合（6）式，有

s=2（s-H）+H（10）

得s=7H，答案為B選項。

上述等效模型（籃球彈跳模型轉化為單向下落模型）是依據該題目信息由數學思想而創設的情境，符合題目給出的數值銜接變化。在高中階段學習數學和物理原本便是相輔相成、相互促進的，將運用數學知識提升到運用數學思想與數學方法的高度，從數學思想出發思考物理問題，可以得到另一番解題思路。

6" " 結" 語

數學思想在物理教學中的滲透，對于物理教學的發展有著重要的推動作用［2］。在中學數學中，數學思想有集合思想、化歸思想、極限思想和對應思想等，數學方法有數學模型法、數形結合法、變換法、函數法和類分法等，數學思想和數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略和手段。物理學作為一門高度數學化的定量科學，用數學思想探討物理問題則會嚴謹自洽且邏輯性強。物理教學過程中，恰當地融入數學思想以構建教學，能夠產生高效課堂，自然滲透核心素養以培養學生的理解能力、模型建構能力、推理論證能力、創新性思維能力等關鍵能力，促進學生綜合能力的提升。

隨著素質教育理念在全社會的持續深入，高中物理教學亟待落實素質化的改革與發展。作為教師，要從教學實際出發，把握物理學科的特點，促進實際教學觀念與教法的更新，把教學目標、學習路徑、教學策略和課堂環境有意識地結合起來，落實學生在物理學習中的深度思考，讓物理課堂成為思維碰撞、才思涌現的佳地，如此方能促進學生思維和素養的高質量發展，最終促進學生的綜合性發展。

參考文獻：

［1］陳燕.遞推法在解決高中物理問題中的應用［J］.物理教師，2015，36（8）：74-77.

［2］楊志堅.數學思想在物理教學中的滲透［J］.中學物理教學參考，2019，48（6）：10-11.

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-09-20

作者簡介：劉洋（1995-），男，中學一級教師，主要從事高中物理教學工作。