嘗試多種解法 培養創新素養

摘要：培養創新素養是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的任務要求.因此，培養學生的創新精神、創新意識、創新能力是我國教育的需求，將創新素養融入平時的教學是落實要求的有力方式.本文中以一道幾何證明題為例，展開多種方法的分析，發展學生的理性思維，培養學生的創新意識，落實數學核心素養.

關鍵詞：創新意識；中考壓軸；一題多解

1 試題呈現

例" 如圖1，過弦AB的一端點B作一切線BC，過另一端點A作BC的垂線AC與圓O的直徑AD.

求證：∠DAB＝∠BAC.

2 試題特點

這是一道典型的傳統意義上的圓與切線的幾何證明題，圖形簡單，條件明了，富有美感.它以最常見的圓、切線、直徑、垂線等幾何元素組合成幾何圖形，求證角平分線.從不同角度去理解基本圖形，構造輔助線，發現多種解法，可以培養學生的理性思考能力.解答時需運用轉化與化歸、數形結合等數學思想及模型觀念，將基本圖形與幾何性質、定理完美結合.較好地考查學生的幾何直觀、推理能力、模型觀念、應用意識、創新意識等數學核心素養.

3 多向解答

如圖2，連接BD，由AD是直徑，出現90°的圓周角;同時出現弦切角，則∠1＝∠DAB，即“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”.具體證明如下：如圖2，連接BO，并延長BO交⊙O于點F，連接BD，DF.由切線性質，得∠DBF＋∠1＝90°.由BF為直徑，得∠DBF＋∠F＝90°，所以∠1＝∠F.由“同弧所對得圓周角相等”，得∠F＝∠DAB，所以∠1＝∠DAB.同樣弦切角∠2＝∠ADB，后面有的證明需反復用到，行文過程不再重復.

分析一：由直徑得∠1＋∠2＝90°，由弦切角得∠1＝∠DAB，由直角三角形得∠2＋∠BAC＝90°，所以得證.

證法一：連接弦，證同角的余角相等.

如圖2，連接BD.

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD＝90°.

∴∠1＋∠2＝90°.

∵BC切⊙O于點B，

∴∠1＝∠DAB.

∴∠DAB＋∠2＝90°.

∵AC⊥BC，

∴∠BAC＋∠2＝90°.

∴∠DAB＝∠BAC.

點評：證法一主要用到了“直徑所對的圓周角等于90°”，切線的性質，“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”，最后以“同角的余角相等”結束證明.

分析二：連接BD，過點B作BE⊥AD于點E.由直角三角形和直徑得∠3＋∠D＝∠3＋∠2＝90°，則∠D＝∠2.由弦切角得∠1＝∠D，則∠1＝∠2，由等角的余角相等，所以得證.

證法二：作垂線，證等角的余角相等.

如圖3，連接BD，過點B作BE⊥AD于點E，則

∠3＋∠D＝90°.

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠3＋∠2＝90°.

∴∠2=∠D.

∵BC切⊙O于點B，

∴∠1＝∠D.

∴∠1＝∠2.

又∠1＋∠BAC＝90°，

∠2＋∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠BAC.

點評：證法二主要用到了“直徑所對的圓周角等于90°”，直角三角形兩銳角互余，“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”，最后以“等角的余角相等”結束證明.

分析三：如圖4，連接DB并延長，與AC的延長線交于點F，則∠ABF＝∠DBA＝90°，進而證明∠DAB=∠BAC.

證法三：補全圖形，用三角形內角和證明.

如圖4，連接DB并延長，交AC的延長線于點F.

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ABF＝∠DBA＝90°.

∴∠1+∠2=90°.

∴∠BAC+∠F=90°.

∴∠1＝∠F.

∵BC切⊙O于點B，

∴∠1＝∠D.

∴∠D＝∠F.

∴∠DAB＝∠BAC.

點評：證法三主要用到了“補形法”，運用“直徑所對的圓周角等于90°”、弦切角、“直角三角形的銳角互余”實現證題.

分析四：圖形中出現一條切線，過點A作⊙O的切線，運用切線長定理及切線的性質來證明.

證法四：作切線補全圖形.

如圖5，過點A作⊙O的切線，交BC的延長線于點E.

∵EB切⊙O于點B，

∴EA=EB.

∴∠EAB=∠EBA.

∵EA切⊙O于點A，

∴∠EAB＋∠DAB＝90°.

∵AC⊥BC，

∴∠EBA＋∠BAC＝90°.

∴∠DAB＝∠BAC.

點評：證法四主要用到了“切線法”，運用切線長定理、等腰三角形、“直角三角形的銳角互余”來實現證題.

分析五：圖形中出現一條切線，連接切點與圓心，由切線的性質得OB⊥BC，則OB∥AC，再運用平行線與等腰三角形的性質即可證題.

證法五：連接切點與圓心.

如圖6，連接OB.

∵BC切⊙O于點B，

∴OB⊥BC.

又AC⊥BC，

∴OB∥AC，

∴∠BAC＝∠OBA.

又OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA.

∴∠DAB＝∠BAC.

點評：證法五思路簡單，簡潔明快，主要運用切線性質、平行線、等腰三角形來實現證題.連接切點與圓心，是常見的輔助線添加方式.

分析六：圖形中出現直徑，連接BD，出現直角；作弦的弦心距，出現平行線，再運用平行線與弦切角性質可以證題.

證法六略.

4 變式探究

著名數學家希爾伯特說過：“一個問題的解決，意味著一系列新的問題誕生，當我們解題成功時，不要忘記了提出新的問題”.因此，要不斷提出“問題”，“問題”是思維活動進行的原動力和牽引力，通過變式探究，設計有序、逐層遞進的問題，可以把知識內容和內在邏輯銜接起來，豐富數學核心素養.

變式1" 如圖7，在△ABC中，CA＝CB，D為AB的中點，⊙D與AC相切于點E，求證：BC與⊙D相切．

證明：如圖8，連接DE，CD，過點D作DF⊥BC于點F.

∵CA＝CB，DA＝DB，

∴CD平分∠ACB.

∴DE＝DF，且DE為⊙D的半徑.

∴BC與⊙D相切于點F.

注：也通過可證明△DAE≌△DBF得到DE＝DF.

變式2" 如圖9，在△AEC中，以AE為直徑的⊙O交CA于點D，DA＝DC，過點E作⊙O的切線交AC的延長線于點F.求證：∠AEC＝2∠F.

證明：如圖10，連接DE.

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE＝90°.

∵D是AC的中點，

∴EA＝EC.

∴∠AED＝∠CED.

∵∠AEF＝∠ADE＝90°，

∴∠AED＋∠A＝∠F＋∠A＝90°.

∴∠AED＝∠F.

∴∠AEC＝2∠F.

變式3" 如圖11，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為AC的中點，連接DE．求證：DE是⊙O的切線．

證明：如圖12，連接OD，OE．

∵O，E分別為BC，AC的中點，

∴OE為△ABC的中位線.

∴OE∥AB.

∴∠COE＝∠OBD，∠DOE＝∠ODB.

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB.

∴∠COE＝∠DOE.

又OC＝OD，OE＝OE，

∴△COE≌△DOE.

∴∠ODE＝∠OCE＝90°.

∴OD⊥DE.

∴DE是⊙O的切線．

5 結語

創新素養能夠打破常規，突破傳統，具有敏銳的洞察力、直覺力，豐富的想象力，預測力及捕捉機會的能力，等等，使思維具有一種超前性、變通性.從多角度分析、解答同一道數學問題，對促進學生的創新素養起到示范作用.