善于觀察探思路——以中考平面幾何題為例

摘 要：數(shù)學(xué)觀察能力是問題解決過程中極為重要的一種思維能力.文章以兩道中考平面幾何題為例，提出在進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察時(shí)，既要觀察整體，又要觀察部分，觀察已知量和未知量，更重要的是要注意觀察已知量與未知量的聯(lián)系，找出問題的隱含信息，同時(shí)注重聯(lián)想，大膽試錯(cuò).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；觀察能力；問題解決；平面幾何

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）05-0032-03

波利亞在《怎樣解題》中將解題步驟分解為“理解題目——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧”.然而，這并不能使每個(gè)解題者都能按部就班地解題，有些學(xué)生在解題時(shí)如無頭蒼蠅在迷宮中亂撞，浪費(fèi)了大量時(shí)間在試錯(cuò)上卻不能將問題解決.從心理學(xué)視角來看，問題解決過程中，與新手相比，專家們會(huì)將更多時(shí)間放在表征問題上，能很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，并根據(jù)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)表征問題.

1 概念界定

觀察是一種人類對(duì)周圍出現(xiàn)的事物或現(xiàn)象進(jìn)行有目的的考察所表現(xiàn)出來的心理現(xiàn)象，先進(jìn)行全面而深入的察看，并根據(jù)該事物或現(xiàn)象的真實(shí)面貌來探究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系[1].而在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的觀察，則是指觀察由符號(hào)、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、問題及圖表、圖象、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

2 善于觀察探思路

鄭步春認(rèn)為觀察能力的特點(diǎn)為目的性、有序性、取舍性、敏銳性、全面性[2].雖然夏宛央在其學(xué)位論文中批判了對(duì)觀察能力特點(diǎn)的分類，指出這些分類不為“觀察能力”所特有，因此也就不能表明“觀察能力”的質(zhì)[3].其目的性在于它是指向問題解決的，目的是為了探求解題思路；其有序性在于觀察需遵循整體到局部再到整體的順序；其取舍性在于需對(duì)觀察到的信息進(jìn)行取舍，直指問題的本質(zhì)特征；其敏銳性在于需要注意到易于忽略的信息；其全面性在于需通過觀察關(guān)注到問題的顯性信息和隱形信息.從這些特性也就能得出在數(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)如何觀察探思路，即帶著目的，從問題整體出發(fā)，留意問題的已知數(shù)據(jù)、條件和未知量，找出問題的顯性信息和隱形信息，再對(duì)局部仔細(xì)琢磨推敲，觀察不同部分，從不同角度思考同一部分，最終探明從已知數(shù)據(jù)到未知量的路徑，得到解題思路.

3 案例分析

筆者以兩道中考題為例，說明如何通過觀察題干、已知量與未知量的聯(lián)系得出問題的求解方法.

例1 （2021年重慶市中考數(shù)學(xué)B卷第26題）在等邊△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF.將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長；

（2）如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：BE+BH=3BF.

針對(duì)問題（1），觀察題干：

已知量：△ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=6，三內(nèi)角均為60°；由BD⊥AC，垂足為D，易得∠ABD=∠CBD=30°，AD=CD=3；由EF=EG，∠GEF=60°，得△EFG為等邊三角形，∠CBG=90°.

未知量：DG的長，易發(fā)現(xiàn)DG在△DFG、△CDG、△DEG中，連接AG，則DG還在△ADG中.

觀察已知量與未知量的聯(lián)系：

思路1：△CDG中已知CD，要求DG，需先求出CG長與∠ACG，由隱含信息可求得，繼而求DG長.

思路2：△ADG中已知AD，要求DG，需先求出AG長與∠DAG，由隱含信息可求得，繼而求DG長.

解法1 因?yàn)镋F=EG，∠FEG=60°，所以△EFG為等邊三角形.又由△ABC為等邊三角形，BD⊥AC可得∠CBD=30°，所以∠CGE=60°，CG=CE/sin∠CGE=6/sin60°=43，∠DCG=30°，從而由余弦定理可得DG=21.

解法2 連接AG.因?yàn)镋F=EG，∠FEG=60°，所以△EFG為等邊三角形.又由△ABC為等邊三角形，BD⊥AC，可得∠CBD=30°，所以∠CGE=60°，∠ACG=∠ECG=30°.又因?yàn)镋C=AC，CG=CG，所以△ECG≌△ACG，AG=EG=BC·tan∠ECG=6×3/3=23，∠CAG=∠CEG=90°，所以DG=AG2+AD2=（23）2+32=21.

針對(duì)問題（2），觀察結(jié)論：BE+BH=3BF，但從題設(shè)看來，BE、BH、BF在不同的三角形中，很難直觀地找出三者的聯(lián)系，因此，在解題過程中可嘗試將三條邊放在同一三角形中.

觀察題設(shè)：先找出隱含信息，△EFG為等邊三角形，得出∠EFH=120°，又∠ABC=60°，易發(fā)現(xiàn)∠BEF=∠CHF，BE與BF同在△BEF中，HC與BH共線，且∠BEF=∠CHF，不妨作直線FP=FB且與BH所在直線相交，容易得到兩三角形全等，BE=HP，達(dá)到使與BE、BH長度相等的線段共線目的，這時(shí)就可順理成章地獲得.

因?yàn)椤鱁GF為等邊三角形，所以∠EFH=120°.又因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠BEF+∠BHF=180°，∠BEF=∠CHF.又∠EBF=∠FBC=∠HPF=30°，所以△BEF≌△PHF，BE=HP，所以BE+BH=BP.因?yàn)镕B=FP，∠BFP=120°，所以BH+BE=BP=3BF，故得證.

例2 （2020年重慶市中考數(shù)學(xué)B卷第26題）△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE=23.以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn).

（1）如圖4，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長；

（2）如圖5，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN.當(dāng)30°<α<120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論.

對(duì)于問題（2），觀察整體：題干中提到許多中點(diǎn)，如D、M、N分別為BC、EF、EC中點(diǎn).題中要求猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明結(jié)論，觀察題目可知為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°.

觀察局部：已知量為點(diǎn)D、M、N分別為BC、EF、EC中點(diǎn)，在圖中更直觀地可以看到DN、MN，從而聯(lián)想到三角形的中位線定理，不妨連接BE、CF，再有△ABC、△AEF都為等邊三角形，不難發(fā)現(xiàn)∠BAE=∠CAF，從而得出△ABE≌△ACF.未知量為∠DNM，若想得出∠DNM大小，不妨嘗試延長FE與DN相交，但顯然此路不通，只能從其他方面入手.

觀察已知量與未知量的聯(lián)系：∠DNM為定值，已知量中為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，試圖將∠DNM與這些角聯(lián)系在一起，∠DNM不可直接求得，可將其轉(zhuǎn)化成求其他角的大小.

4 觀察方法總結(jié)

4.1 注意觀察整體

觀察整體的目的是對(duì)問題有一個(gè)整體的印象，抓住問題的主要特征.如例2（2），通過觀察整體，發(fā)現(xiàn)題中有多個(gè)角均為定值，要想求得未知量，就要將其與其他定值角聯(lián)系在一起.若未先觀察整體，而先從部分入手，很可能只能獲得一些無效信息，解題解到中途發(fā)現(xiàn)前面都是在做無用功.

4.2 觀察已知量（題設(shè)）與未知量（結(jié)論）的聯(lián)系

不論是求解題還是證明題，問題解決的途徑就是探明已知量到未知量、題設(shè)到結(jié)論的路徑，因此觀察已知量（題設(shè)）和未知量（結(jié)論）之間的聯(lián)系顯得尤為重要，一種方法是從已知量順推至未知量.

4.3 觀察得到問題中的隱含信息

問題解決過程中往往很難一眼就看出從已知量到未知量的路徑，經(jīng)常需要找到題中的隱含信息，并借助其作為臺(tái)階一步一步從已知量走向未知量.當(dāng)然，并不是盲目地探尋隱含信息，而是要帶著問題解決的目的去尋找，還要注意甄別隱含信息中哪些信息是有效信息，哪些信息是無效信息，為問題解決創(chuàng)造條件.

4.4 觀察過程中注重聯(lián)想，大膽試錯(cuò)

聯(lián)想能力和觀察能力一樣，都是問題解決過程中不可或缺的思維能力.此外，通過觀察、聯(lián)想，還要大膽試錯(cuò)，因?yàn)橛袝r(shí)解題思路并不明了，找到一個(gè)突破口之后，便要勇于嘗試，看能否向下一步推進(jìn).這是問題解決過程中解題者需要調(diào)動(dòng)的非認(rèn)知能力，有的解題者不敢輕易試錯(cuò)，生怕踏錯(cuò)一步，于是便只能躊躇不前.

5 結(jié)束語

通過觀察、解讀題目，找出已知數(shù)據(jù)和未知量的聯(lián)系，探求解題路徑，在腦海中構(gòu)思解題思路，是解題過程極重要的環(huán)節(jié)，而解題困難者則缺失了這一環(huán).在這重要一環(huán)中，觀察便是解題者需要調(diào)動(dòng)的一種重要的思維能力，因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 朱從樸.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生觀察力的培養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（24）：4.

［2］ 鄭步春.數(shù)學(xué)觀察能力的意義、特點(diǎn)及培養(yǎng)路徑［J］.江蘇教育研究，2015（18）：25-28.

［3］ 夏宛央.初中學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力培養(yǎng)研究［D］.武漢：華中師范大學(xué)，2020.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡介：夏佳（1998.3-），女，湖南省武岡人，碩士研究生，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目階段性研究成果（2021.01-2023.12，項(xiàng)目編號(hào)：11971418）