談初中數(shù)學(xué)探究規(guī)律型問(wèn)題及解題策略

摘 要：探究規(guī)律型問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)題型.這類數(shù)學(xué)問(wèn)題是根據(jù)已有的特例或條件，探尋相關(guān)問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律性和不變性，體現(xiàn)了“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法.此類問(wèn)題通常呈現(xiàn)出的已知條件是變化的一串?dāng)?shù)字、一組式子或圖形等，需要學(xué)生經(jīng)過(guò)閱讀、觀察、操作、分析、比較、猜想、推理等方法探尋規(guī)律.在這個(gè)過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生敏銳的觀察力、嚴(yán)密的邏輯推理能力和一定的計(jì)算能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；探究規(guī)律；解題策略

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）05-0038-03

探究規(guī)律型問(wèn)題是歷年中考必考知識(shí)點(diǎn)，這類問(wèn)題通常也被稱為歸納猜想型問(wèn)題.或是給出一組圖形操作變化過(guò)程，或是給出某一類問(wèn)題情境，或是給出一組有著某種特定關(guān)系的數(shù)，要求學(xué)生觀察、分析、推理，找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上猜想、歸納出一般性結(jié)論，這類問(wèn)題對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)有積極影響.筆者以歷年中考試題為例，簡(jiǎn)要闡述初中數(shù)學(xué)探究規(guī)律型問(wèn)題及解題策略.

1 探究規(guī)律型問(wèn)題的分類

1.1 根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征分類

1.1.1 循環(huán)型問(wèn)題

這類問(wèn)題中各項(xiàng)在排列上有一定的規(guī)律性，呈現(xiàn)周期性循環(huán).

1.1.2 非循環(huán)型問(wèn)題

這類問(wèn)題中的已知各項(xiàng)不會(huì)呈現(xiàn)周期性循環(huán)，但它們有共同特征，遵循同一個(gè)表達(dá)式所反映的基本規(guī)律.

例2 數(shù)列2，4，8，16，…則第90項(xiàng)是.

1.2 根據(jù)問(wèn)題的表現(xiàn)形式分類

1.2.1 數(shù)列、代數(shù)式型問(wèn)題

這類問(wèn)題具體可分為數(shù)列型問(wèn)題和代數(shù)式型問(wèn)題.數(shù)列型問(wèn)題中的已知條件是一串?dāng)?shù)字，例1和例2就是此類型問(wèn)題；代數(shù)式型問(wèn)題中的已知條件是一組代數(shù)式、等式或者不等式.

1.2.2 純圖形型問(wèn)題

此類問(wèn)題通常是把一系列圖形按一定方法編排，要求通過(guò)觀察、比較、分析、思考，探究它們?cè)谛螤罨蛭恢蒙系呐帕许樞蚝妥兓?guī)律.

例4 一串圖案按如圖所示規(guī)律排列，第2 013個(gè)圖案是.

1.2.3 數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型問(wèn)題

此類問(wèn)題也以圖形形式出現(xiàn)，但不止要求探究圖形形狀或位置上的變化規(guī)律，更要求探究數(shù)量上的變化規(guī)律.圖形中蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系，圖形只是外在的載體，實(shí)質(zhì)與核心是數(shù)與式，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，也是近年來(lái)熱點(diǎn)題型之一[1].

1.2.4 動(dòng)手操作型問(wèn)題

這類問(wèn)題中詳細(xì)描述了操作過(guò)程或操作方法，用以指導(dǎo)操作或空間想象，探究每一步呈現(xiàn)的規(guī)律.

例6 將相對(duì)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1與6、2與5、3與4正方體骰子，按圖①放置于水平桌面上，再將骰子按圖②先向右翻滾（如圖2所示），然后按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，視為一次變換.連續(xù)進(jìn)行20次變換之后，則朝上一面的點(diǎn)數(shù)是.

2 探究規(guī)律型問(wèn)題的解題策略

解答這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)依據(jù)問(wèn)題給出的特殊例子或條件，通過(guò)觀察、操作、類比、歸納等方法，探尋相關(guān)問(wèn)題的規(guī)律與特征.

2.1 循環(huán)型和非循環(huán)型問(wèn)題的解題策略

2.1.1 循環(huán)型問(wèn)題的解題策略

解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的已知條件分析圖形或數(shù)據(jù)的循環(huán)周期，再確定所求的項(xiàng)與循環(huán)周期中第幾個(gè)一致.

如解答例1時(shí)，通過(guò)觀察分析31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，可得出個(gè)位數(shù)字3，9，7，1，并依次循環(huán).再求2011÷4的余數(shù)為3，得出32011的個(gè)位數(shù)字與33的個(gè)位數(shù)字相同，都是7.

2.1.2 非循環(huán)型問(wèn)題的解題策略

這類問(wèn)題中的已知項(xiàng)遵循共同的表達(dá)式.解題時(shí)應(yīng)側(cè)重對(duì)已知項(xiàng)進(jìn)行比較分析，尋找共同的規(guī)律，再列出表達(dá)式.

2.2 數(shù)列、代數(shù)式型，純圖形型，數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型和動(dòng)手操作型問(wèn)題的解題策略

2.2.1 數(shù)列、代數(shù)式型問(wèn)題的解題策略

解決這類問(wèn)題時(shí)，先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu)，再通過(guò)比較各數(shù)或式中相同部分和不同部分，找出各部分特征.若是循環(huán)型問(wèn)題，就按循環(huán)型解題策略進(jìn)行解答；若是非循環(huán)型問(wèn)題，首先要觀察題中已知項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，若能把它們都直接與序號(hào)建立聯(lián)系，就可以直接寫出表達(dá)式.如解答例2時(shí)，通過(guò)觀察2，4，8，16，直接得到第n項(xiàng)的表達(dá)式2n，則第90項(xiàng)是290.又如解答例3時(shí)，可以看出每個(gè)式子所表示的意義是：一個(gè)數(shù)與比它大2的數(shù)相乘的積減去它們平均數(shù)的平方，所得的差都等于-1.把它與序號(hào)對(duì)應(yīng)起來(lái)，第n個(gè)式子為n（n+2）-（n+1）2=-1.

若已知項(xiàng)比較復(fù)雜，無(wú)法直接得到表達(dá)式.解題時(shí)首先要對(duì)已知項(xiàng)進(jìn)行不斷的改寫，一直到分離出各項(xiàng)都含有不變的部分和變化的部分，且變化的部分與序號(hào)有直接聯(lián)系.即把復(fù)雜的項(xiàng)，通過(guò)改寫進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變?yōu)楹?jiǎn)單的容易解答的幾個(gè)小部分.

例7 觀察數(shù)列5，11，19，29，…則第n項(xiàng)可以表示為.

數(shù)列各項(xiàng)之間既不是等比關(guān)系，也不是等差關(guān)系.由觀察直接得到表達(dá)式有困難，需要對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行拆分.由分析可知，改寫時(shí)可考慮從各項(xiàng)中分離出一個(gè)等差或等比數(shù)列.由于初中探究規(guī)律型問(wèn)題的表達(dá)式多為一次函數(shù)和二次函數(shù)，從而可考慮從各項(xiàng)中分離平方項(xiàng)，即1，4，9，16.把原題改寫為1+4，4+7，9+10，16+13，再分析4，7，10，13，將二者組合起來(lái)，就得第n項(xiàng)的表達(dá)式n2+3n+1.

為了便于學(xué)生對(duì)題目中已知項(xiàng)進(jìn)行整體觀察比較和分析，可以要求學(xué)生記住一些常見(jiàn)的表達(dá)式.例如，第n個(gè)偶數(shù)2n；第n個(gè)奇數(shù)2n-1；前n個(gè)正整數(shù)之和1+2+3+…+n=n（n+1）/2；等差數(shù)列3，6，9，12，…的第n個(gè)數(shù)為3n；等差數(shù)列4，7，10，13，…的第n個(gè)數(shù)為3n+1；等比數(shù)列6，12，24，…的第n個(gè)數(shù)為3×2n；數(shù)列5，11，23，…的第n個(gè)數(shù)為3×2n-1；平方項(xiàng)數(shù)列1，4，9，16，…的第n個(gè)數(shù)為n2；數(shù)列0，3，8，15，…的第n個(gè)數(shù)為n2-1.

由于此類問(wèn)題的表達(dá)式在初中以一次函數(shù)和二次函數(shù)居多.若不能對(duì)題中已知項(xiàng)進(jìn)行順利改寫，可以對(duì)它們進(jìn)行整體觀察.當(dāng)認(rèn)為是一次函數(shù)關(guān)系時(shí)，先依據(jù)其中兩項(xiàng)的值，用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再把所有剩余項(xiàng)的值分別代入表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，看是否都適合于所求表達(dá)式.若有一項(xiàng)不適合，則說(shuō)明判斷錯(cuò)誤.再求其二次函數(shù)表達(dá)式，若都不適合，只能回歸到改寫的方法上[2].

2.2.2 純圖形型問(wèn)題的解題策略

此類問(wèn)題能提高學(xué)生讀圖能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形細(xì)節(jié)變化的觀察分析能力.解答時(shí)，應(yīng)注重分析相鄰圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，結(jié)合整體，找出內(nèi)在變化或排列規(guī)律.此類問(wèn)題多為循環(huán)型.

2.2.3 數(shù)列、代數(shù)式與圖形結(jié)合型問(wèn)題的解題策略

解決這類問(wèn)題時(shí)，可以先求出每一個(gè)圖形所對(duì)應(yīng)的值，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列型問(wèn)題，然后再按數(shù)列型問(wèn)題進(jìn)行探究.當(dāng)求得的數(shù)列比較簡(jiǎn)單時(shí)，這種方法很有效.當(dāng)數(shù)列比較復(fù)雜時(shí)，以上方法就不一定有效.此時(shí)，需要對(duì)圖形進(jìn)行觀察、分析、思考，把圖形拆分成幾個(gè)小部分，再對(duì)每個(gè)小部分的變化規(guī)律進(jìn)行探究.最后把各小部分的規(guī)律組合，形成整體的規(guī)律.

例8 如圖3所示，把大小相等的小方塊按下圖所示方法堆放，第n個(gè)圖形有塊小方塊.

2.2.4 動(dòng)手操作型問(wèn)題的解題策略

解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要認(rèn)真閱讀理解題中對(duì)操作要求的描述，切不可在一知半解的狀態(tài)下就開始操作、想象，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤的操作，得出錯(cuò)誤結(jié)果，白費(fèi)力氣.其次，操作過(guò)程一定要認(rèn)真，不可麻痹大意，避免出現(xiàn)操作失誤.在操作正確的情況下，要記錄好每一步結(jié)果，以便對(duì)整體規(guī)律的探究.

例如，解答例6時(shí)，在讀題、讀圖時(shí)要弄清骰子相對(duì)面上點(diǎn)數(shù)分別是1點(diǎn)與6點(diǎn)，2點(diǎn)與5點(diǎn)，3點(diǎn)與4點(diǎn).圖①是初始狀態(tài).每一次變換如圖②所示，分為兩個(gè)步驟：第一步，向右翻滾90° ；第二步，在桌面上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°.對(duì)于無(wú)法進(jìn)行實(shí)物操作且憑空想象能力較弱的學(xué)生，可建議他們?cè)诓莞寮埳袭嫵鲞B續(xù)的若干次變換，如圖2所示.從第一次開始，記錄下后續(xù)幾次變換后朝上的點(diǎn)數(shù)依次是：5，6，3，5，6，….可得這是按5，6，3為一周期的循環(huán)型問(wèn)題，則第20次變換后朝上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn).

3 結(jié)束語(yǔ)

探究規(guī)律型問(wèn)題的取材十分廣泛，形式也靈活多樣.近年中考中還出現(xiàn)了與定義新運(yùn)算、閱讀理解等問(wèn)題相結(jié)合的探究規(guī)律型問(wèn)題.這類問(wèn)題有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.解決這類問(wèn)題時(shí)，要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多角度探究問(wèn)題的求解方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 范小震.規(guī)律探索題的解答策略：從特殊出發(fā)[J].初中生世界，2018（Z6）：100-102.

[2] 余亞瓊，沈艷芳.注重學(xué)習(xí)策略 發(fā)展學(xué)生思維：“找規(guī)律”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].云南教育（小學(xué)教師），2021（Z2）：44-45.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-15

作者簡(jiǎn)介：謝紹煥（1971.1-），男，福建省寧德市人，本科，一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.