適時建模：織密學生數學核心素養“思維網”

王靜 李金梅

摘要：數學建模是數學學科六大核心素養之一，在小學階段應進行模型意識的滲透。針對當前小學數學教學中出現建模意識缺失的問題，教師可通過放慢數學建模過程、適時滲透數學模型、強化數學模型認識等方式，引導學生在探索數學問題的過程中感受數學建模是數學問題解決的重要策略。

關鍵詞：小學數學；數學建模；模型意識；核心素養

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）03-0113-04

在小學數學教材中，數學模型在不同階段均有所體現，特別是在中、高年級階段，利用數學模型分析問題是問題解決的一種重要策略，體現了數學模型架構下的數學思想與方法的運用。數學模型是刻畫數學問題的重要方式，也是一種重要的數學語言的表達方式。數學模型在數學學科中占據重要地位，是學生必備的基本能力，也是培養學生數學思維的重要途徑。因此，在小學數學教學中，教師要有目的地滲透數學模型意識。

一、當前小學數學教學中建模意識缺失的歸因分析

當前，一些教師注重對學生考試技能的訓練，強化學生對各種數學題型的探索。學生在數學課堂中往往處于被動接受的狀態，通過大量機械重復的訓練，他們的應試能力得到提升，而往往忽略了數學建模意識的發展。究其原因，主要存在以下問題。

（一）目標單一，忽略數學模型的價值

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，數學學科從基本的數學概念到復雜的問題應用、幾何圖形的證明，無論“數量關系”還是“空間形式”，都以數學模型為基礎，用不同數學模型直觀呈現問題，并利用這些模型來分析解決問題。無論涉及數學學科中哪個方面的知識，數學模型都是學習與探索的重要工具。數學模型不僅為數學表達和交流提供了有效途徑，也為解決現實問題提供了重要工具，可以幫助學生準確、清晰地認識和理解數學的意義。

然而在現實中，很多教師忽略了數學模型的重要價值，將教學目標定位于數感、符號感、空間觀念等素養的培養，有的小學高年級數學教師甚至僅僅關注教學各種計算公式。如果數學教師長期忽略數學建模的重要價值，只是追求教學技能的提升，那么學生在數學學習過程中就無法形成數學模型意識。在教學中，教師只有突出數學建模在問題解決中的重要價值，才能培養學生從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、解決問題的能力。教師要從更新觀念入手，在教學中通過一些常見的問題滲透數學建模思想，引導學生在思考過程中形成數學模型，突顯數學模型在解決問題中的重要價值，從而為將來的數學學習打好基礎。

（二）眼高手低，忽略模型意識的滲透

小學生的數學能力還處于初級階段，他們對數學知識的認識還不夠清晰，有些教師便錯誤地認為滲透建模意識沒有必要。數學建模是一種相對復雜的數學應用活動，教學周期較長且不易產生立竿見影的效果，而傳統的技能機械訓練是學生易于模仿和掌握的，因此部分教師在課堂上只是將數學知識原原本本地教給學生，而忽略了模型意識的滲透。數學模型是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，表征研究對象的主要特征和數量關系所形成的一種數學結構。小學數學課程中的數概念、關系、運算、圖形、數據等都源于現實生活，是對現實模型數學化的結果，而當這些數學對象被用于解決現實問題時，又需要借助具體的模型表達實際意義。通過建立這種數學與現實世界的雙向聯系，學生可以形成初步的模型意識[1]。由于小學生年齡小，認知能力弱，模型意識的發展以滲透的方式為主，需要教師深入教學研究、精心設計教學過程，讓學生經歷“形成—建立—求解”的數學建模全過程。

（三）顧此失彼，忽略模型內涵的特質

在數學學科中，抽象、推理、建模是數學能力的三大核心，體現學生的數學綜合素養。學生如果具有較強的數學抽象及較高的邏輯推理能力，其建模能力也會自然得到提升。因此，抽象和推理都是為模型的建立服務的，通過三者深度融通，學生的數學學習能力及綜合素養也能夠得到長足的進步。數學課程標準強調模型思想，分不同的階段逐步實施，旨在通過建模幫助學生形成模型意識，學會運用數學模型增強應用能力。但教師在教學實踐中，會跳過數學模型，而重點研究數學知識的應用，忽略模型的內涵，弱化了模型在思考問題中的重要意義。

二、小學數學教學中培養模型意識的實踐研究

模型意識既是一種數學問題解決的重要策略，也是數學思維表達的一種形式。數學學科中無論何種數學模型，都需要以數學教學活動為基礎，在問題分析研究中抽象為數學模型，并反過來作用于問題，形成系統性認識。在教學中滲透模型意識，學生才能逐步形成建模觀念，最后形成數學建模能力。

（一）“慢”體驗、“深”感悟——放慢數學建模過程，讓思維走向嚴謹與深刻

數學建模是數學應用的基本方式，模型思想是數學的一種基本思想[2]。對學生進行數學建模能力的滲透與培養，能夠促進學生“四能”的發展，從而達到數學學科教育的目標。在數學教學中，應夯實學生的認知基礎，使其具備初步的抽象和推理能力，推動數學模型能力的形成。求解模型的過程有時比較漫長，在建模的過程中，既要讓學生體會數學知識本身，也要讓學生在探究數學知識過程中體會模型的重要內涵。

例如，在蘇教版數學教材四年級下冊“加法交換律”的教學中，關于數學模型的滲透分以下幾個步驟：第一步，通過學生自己舉例運算發現規律，同桌之間討論并舉例，通過例舉整數、分數、小數等不同類別數的運算事實，發現其結論的正確性；接著將之抽象為加法交換律的模型，然后驗證模型的正確性。第二步，問題引領，教師提問：“你想用什么方法驗證加法交換律是正確的？再寫幾例驗證，你能用自己的語言表達發現的規律嗎？”以上活動都為進一步驗證定律的正確性打好基礎。驗證的過程分兩個層次：第一，學生通過畫線段圖進行驗證，畫出線段的起點與終點，并在圖中標出相應的數值；第二，在線段圖上標上相應的字母（字母表示數值）。以上驗證活動運用了線段圖驗證的方法，教師適時追問，讓學生說出自己的想法，并對驗證方法進行質疑：“有沒有遇到反例，或者出現不相等的例子？”最后，教師再加以總結歸納。在這個案例中，學生通過“發現—驗證—質疑—歸納”的過程，形成對加法交換律模型的認識，這個過程非常慢，通過一兩個例子不能加以肯定，只有通過大量不同的例子才能初步感受其正確性；接著在驗證環節，學生通過兩個層次的遞進認識過程才能加以肯定。筆者利用了圖形表征的方法，從合情推理到演繹推理的過程是數學模型的核心所在；從構建證明方法到圖形如何證明，這既需要一定的數學模型意識，也要具備較強的數學推理能力；從各種不同數值的驗證到抽象字母的模型，學生的思維活動也從數字直觀上升為數學抽象，體現了思維更加嚴謹與深刻。最后的數學質疑是建構數學模型的重要環節，也是讓數學模型得以完備的重要基礎。建模是培養綜合能力的催化劑和腳手架，需要通過“慢”體驗、“深”感悟的過程逐步發展形成。

（二）“抓”節點、“找”共性——適時滲透數學模型，讓思維走向延展與變化

建構數學模型必須具備一定的數學思維能力，不僅體現在學生對數學知識的理解能力，問題的分析與解決能力，還包括數學語言的表達能力、數學邏輯推理能力以及對數學思想與方法的思考能力等。突出數學思維能力的發展，必須抓住學生對數學知識的探索過程，從多角度設計豐富的數學探索活動，并抓住契機進行總結歸納，使學生形成對數學模型的認識，從而滲透必要的數學模型，增強模型意識。在滲透模型意識時，教師要緊密聯系學生的思維活動過程，抓住關鍵的思維節點，從數學基礎模型入手到延展變化模型，在思維逐步深入的同時，使學生感受模型之間的內在聯系，找到模型的共性，并為其發展夯實根基。

例如：在蘇教版數學教材四年級下冊“乘法分配律”的教學時，教師可以先組織學生計算教材中的兩道計算題：（36+24）×15、36×15+24×15 ，再讓學生交流：“根據計算的結果，你有什么發現？”學生發現雖然計算順序不同，但結果相同。緊接著讓學生自主列舉出類似的例子，在學生充分列舉的基礎上，出示圖1。

教師提問：“這是我們曾經研究過的14×12的點子圖，你能看懂這點子圖嗎？”學生結合圖形很快給出結論：上面部分是10行，下面2行，即把12分成10和2，算式表示為14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。緊接著教師追問：“這個點子圖與你發現的等式有怎樣的規律呢？”學生通過討論得出：計算一個數加上另一個數的和，再乘一個數，就等于一個數乘這個數，加上另一個數也乘這個數。在此基礎上教師提問：“你還能再舉出生活中一些類似于列出這樣式子的實例嗎？”學生舉例后，教師再次拋出一個問題以引導學生的思維走向縱深：“你能選擇一種表達方式表示你發現的規律嗎？”

上述教學案例由表及里，從運算發現規律到總結形成數學語言的表達，注重學生的思維發展過程，體現數學知識的形成過程。教學活動設計首先從數學運算中發現結論，舉出類似的等式驗證其正確性，運用數形結合的思想發現等式可以利用圖形來解釋，嘗試用數學語言表達乘法分配律，以生活中的實例為基礎說明乘法分配律的重要價值，最后抽象字母表示乘法分配律模型，每一個活動環節都為模型生成奠定了基礎。在教學活動中，多角度突出數學思維活動過程，并利用圖形表征、語言表征、符號表征等形式形成對乘法分配律模型的從直觀到抽象的認識，能逐漸加深學生對乘法分配律的認同感，使學生在自我否定和不斷補充完善中抽象出數學模型，體會到模型的重要價值，并親身經歷建構模型的整個過程，感受更加深刻[3]。

（三）“強”認知、“多”應用——強化數學模型認識，讓思維走向形象與自覺

數學建模的建構過程一般是以數學問題探索為起點，嘗試在問題解決中發現模型，開展模型求證，最后運用模型分析解決問題。在教學過程中，教師在滲透模型意識時，應從問題入手，在分析解決問題中，模型漸漸顯露出來，學生們自然對數學模型有清楚的認識，強化了對數學模型的本質認知，體會到模型是解決問題的重要媒介。引導中高年級學生嘗試運用最基本的簡單模型分析問題，這是課堂教學的一個新嘗試，也能夠增強學生對基本數學模型的理解與辨析能力。在數學模型辨析環節，教師可以通過問題對比，明晰模型的不同特征與結構。例如，在辨析長方形的周長模型與面積計算模型時，可以先從周長與面積的概念入手，使學生感受到兩個概念的不同；再從公式的推導來辨析公式的區別；最后設計題目訓練，讓學生對兩個概念的認識更加明確[4]。當學生對基本數學模型有了清晰的認識時，教師可以引導學生在理解的基礎上嘗試運用。例如，一年級學生在解決問題“媽媽有8個橘子，比小明多3個橘子，小明有幾個橘子？”時，會發現這就是對“求比一個數多或者少幾”的模型。學生經常出現的錯誤是“5+3=8”，這是因為學生未真正理解多和少的本質。只有當學生在正確理解把握的基礎上，才能開展類似問題的探索，并開展問題對比的教學活動。

當然，對于小學生來說，滲透數學模型意識需要有漫長、漸進的過程，也需要教師不斷地開展教學實踐與探索。教師要從教學理念更新入手，認識到數學模型在學科教學中的重要作用，并開展相關課題的思考與實踐，親身經歷數學模型的建構與應用過程，從而促進學生數學核心素養的發展。

參考文獻：

[1]孫保華.抓住關鍵點滲透模型意識[J].小學教學設計， 2023（32）：4.

[2]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022：66.

[3]張玉琴.挖掘數學模型 經歷建模過程 感悟模型思想[J].小學教學參考， 2021（29）：2.

[4]葉婉貞.情境串練習：“思”“趣”結合，“比”“變”提升——以人教版三下“面積”練習十五為例[J].小學數學教師， 2021（4）：3.

責任編輯：趙赟