適時建模：織密學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“思維網(wǎng)”

王靜 李金梅

摘要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，在小學(xué)階段應(yīng)進行模型意識的滲透。針對當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)建模意識缺失的問題，教師可通過放慢數(shù)學(xué)建模過程、適時滲透數(shù)學(xué)模型、強化數(shù)學(xué)模型認識等方式，引導(dǎo)學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問題的過程中感受數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)問題解決的重要策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；模型意識；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）03-0113-04

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)模型在不同階段均有所體現(xiàn)，特別是在中、高年級階段，利用數(shù)學(xué)模型分析問題是問題解決的一種重要策略，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型架構(gòu)下的數(shù)學(xué)思想與方法的運用。數(shù)學(xué)模型是刻畫數(shù)學(xué)問題的重要方式，也是一種重要的數(shù)學(xué)語言的表達方式。數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)學(xué)科中占據(jù)重要地位，是學(xué)生必備的基本能力，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有目的地滲透數(shù)學(xué)模型意識。

一、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模意識缺失的歸因分析

當(dāng)前，一些教師注重對學(xué)生考試技能的訓(xùn)練，強化學(xué)生對各種數(shù)學(xué)題型的探索。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中往往處于被動接受的狀態(tài)，通過大量機械重復(fù)的訓(xùn)練，他們的應(yīng)試能力得到提升，而往往忽略了數(shù)學(xué)建模意識的發(fā)展。究其原因，主要存在以下問題。

（一）目標(biāo)單一，忽略數(shù)學(xué)模型的價值

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科從基本的數(shù)學(xué)概念到復(fù)雜的問題應(yīng)用、幾何圖形的證明，無論“數(shù)量關(guān)系”還是“空間形式”，都以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，用不同數(shù)學(xué)模型直觀呈現(xiàn)問題，并利用這些模型來分析解決問題。無論涉及數(shù)學(xué)學(xué)科中哪個方面的知識，數(shù)學(xué)模型都是學(xué)習(xí)與探索的重要工具。數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達和交流提供了有效途徑，也為解決現(xiàn)實問題提供了重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認識和理解數(shù)學(xué)的意義。

然而在現(xiàn)實中，很多教師忽略了數(shù)學(xué)模型的重要價值，將教學(xué)目標(biāo)定位于數(shù)感、符號感、空間觀念等素養(yǎng)的培養(yǎng)，有的小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教師甚至僅僅關(guān)注教學(xué)各種計算公式。如果數(shù)學(xué)教師長期忽略數(shù)學(xué)建模的重要價值，只是追求教學(xué)技能的提升，那么學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中就無法形成數(shù)學(xué)模型意識。在教學(xué)中，教師只有突出數(shù)學(xué)建模在問題解決中的重要價值，才能培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、解決問題的能力。教師要從更新觀念入手，在教學(xué)中通過一些常見的問題滲透數(shù)學(xué)建模思想，引導(dǎo)學(xué)生在思考過程中形成數(shù)學(xué)模型，突顯數(shù)學(xué)模型在解決問題中的重要價值，從而為將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

（二）眼高手低，忽略模型意識的滲透

小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力還處于初級階段，他們對數(shù)學(xué)知識的認識還不夠清晰，有些教師便錯誤地認為滲透建模意識沒有必要。數(shù)學(xué)建模是一種相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用活動，教學(xué)周期較長且不易產(chǎn)生立竿見影的效果，而傳統(tǒng)的技能機械訓(xùn)練是學(xué)生易于模仿和掌握的，因此部分教師在課堂上只是將數(shù)學(xué)知識原原本本地教給學(xué)生，而忽略了模型意識的滲透。數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，表征研究對象的主要特征和數(shù)量關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)概念、關(guān)系、運算、圖形、數(shù)據(jù)等都源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實模型數(shù)學(xué)化的結(jié)果，而當(dāng)這些數(shù)學(xué)對象被用于解決現(xiàn)實問題時，又需要借助具體的模型表達實際意義。通過建立這種數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的雙向聯(lián)系，學(xué)生可以形成初步的模型意識[1]。由于小學(xué)生年齡小，認知能力弱，模型意識的發(fā)展以滲透的方式為主，需要教師深入教學(xué)研究、精心設(shè)計教學(xué)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“形成—建立—求解”的數(shù)學(xué)建模全過程。

（三）顧此失彼，忽略模型內(nèi)涵的特質(zhì)

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)能力的三大核心，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。學(xué)生如果具有較強的數(shù)學(xué)抽象及較高的邏輯推理能力，其建模能力也會自然得到提升。因此，抽象和推理都是為模型的建立服務(wù)的，通過三者深度融通，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及綜合素養(yǎng)也能夠得到長足的進步。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)模型思想，分不同的階段逐步實施，旨在通過建模幫助學(xué)生形成模型意識，學(xué)會運用數(shù)學(xué)模型增強應(yīng)用能力。但教師在教學(xué)實踐中，會跳過數(shù)學(xué)模型，而重點研究數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，忽略模型的內(nèi)涵，弱化了模型在思考問題中的重要意義。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)模型意識的實踐研究

模型意識既是一種數(shù)學(xué)問題解決的重要策略，也是數(shù)學(xué)思維表達的一種形式。數(shù)學(xué)學(xué)科中無論何種數(shù)學(xué)模型，都需要以數(shù)學(xué)教學(xué)活動為基礎(chǔ)，在問題分析研究中抽象為數(shù)學(xué)模型，并反過來作用于問題，形成系統(tǒng)性認識。在教學(xué)中滲透模型意識，學(xué)生才能逐步形成建模觀念，最后形成數(shù)學(xué)建模能力。

（一）“慢”體驗、“深”感悟——放慢數(shù)學(xué)建模過程，讓思維走向嚴(yán)謹與深刻

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的一種基本思想[2]。對學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模能力的滲透與培養(yǎng)，能夠促進學(xué)生“四能”的發(fā)展，從而達到數(shù)學(xué)學(xué)科教育的目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)夯實學(xué)生的認知基礎(chǔ)，使其具備初步的抽象和推理能力，推動數(shù)學(xué)模型能力的形成。求解模型的過程有時比較漫長，在建模的過程中，既要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識本身，也要讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)知識過程中體會模型的重要內(nèi)涵。

例如，在蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“加法交換律”的教學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)模型的滲透分以下幾個步驟：第一步，通過學(xué)生自己舉例運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，同桌之間討論并舉例，通過例舉整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等不同類別數(shù)的運算事實，發(fā)現(xiàn)其結(jié)論的正確性；接著將之抽象為加法交換律的模型，然后驗證模型的正確性。第二步，問題引領(lǐng)，教師提問：“你想用什么方法驗證加法交換律是正確的？再寫幾例驗證，你能用自己的語言表達發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”以上活動都為進一步驗證定律的正確性打好基礎(chǔ)。驗證的過程分兩個層次：第一，學(xué)生通過畫線段圖進行驗證，畫出線段的起點與終點，并在圖中標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)值；第二，在線段圖上標(biāo)上相應(yīng)的字母（字母表示數(shù)值）。以上驗證活動運用了線段圖驗證的方法，教師適時追問，讓學(xué)生說出自己的想法，并對驗證方法進行質(zhì)疑：“有沒有遇到反例，或者出現(xiàn)不相等的例子？”最后，教師再加以總結(jié)歸納。在這個案例中，學(xué)生通過“發(fā)現(xiàn)—驗證—質(zhì)疑—歸納”的過程，形成對加法交換律模型的認識，這個過程非常慢，通過一兩個例子不能加以肯定，只有通過大量不同的例子才能初步感受其正確性；接著在驗證環(huán)節(jié)，學(xué)生通過兩個層次的遞進認識過程才能加以肯定。筆者利用了圖形表征的方法，從合情推理到演繹推理的過程是數(shù)學(xué)模型的核心所在；從構(gòu)建證明方法到圖形如何證明，這既需要一定的數(shù)學(xué)模型意識，也要具備較強的數(shù)學(xué)推理能力；從各種不同數(shù)值的驗證到抽象字母的模型，學(xué)生的思維活動也從數(shù)字直觀上升為數(shù)學(xué)抽象，體現(xiàn)了思維更加嚴(yán)謹與深刻。最后的數(shù)學(xué)質(zhì)疑是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的重要環(huán)節(jié)，也是讓數(shù)學(xué)模型得以完備的重要基礎(chǔ)。建模是培養(yǎng)綜合能力的催化劑和腳手架，需要通過“慢”體驗、“深”感悟的過程逐步發(fā)展形成。

（二）“抓”節(jié)點、“找”共性——適時滲透數(shù)學(xué)模型，讓思維走向延展與變化

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型必須具備一定的數(shù)學(xué)思維能力，不僅體現(xiàn)在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解能力，問題的分析與解決能力，還包括數(shù)學(xué)語言的表達能力、數(shù)學(xué)邏輯推理能力以及對數(shù)學(xué)思想與方法的思考能力等。突出數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，必須抓住學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探索過程，從多角度設(shè)計豐富的數(shù)學(xué)探索活動，并抓住契機進行總結(jié)歸納，使學(xué)生形成對數(shù)學(xué)模型的認識，從而滲透必要的數(shù)學(xué)模型，增強模型意識。在滲透模型意識時，教師要緊密聯(lián)系學(xué)生的思維活動過程，抓住關(guān)鍵的思維節(jié)點，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模型入手到延展變化模型，在思維逐步深入的同時，使學(xué)生感受模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到模型的共性，并為其發(fā)展夯實根基。

例如：在蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“乘法分配律”的教學(xué)時，教師可以先組織學(xué)生計算教材中的兩道計算題：（36+24）×15、36×15+24×15 ，再讓學(xué)生交流：“根據(jù)計算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然計算順序不同，但結(jié)果相同。緊接著讓學(xué)生自主列舉出類似的例子，在學(xué)生充分列舉的基礎(chǔ)上，出示圖1。

教師提問：“這是我們曾經(jīng)研究過的14×12的點子圖，你能看懂這點子圖嗎？”學(xué)生結(jié)合圖形很快給出結(jié)論：上面部分是10行，下面2行，即把12分成10和2，算式表示為14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。緊接著教師追問：“這個點子圖與你發(fā)現(xiàn)的等式有怎樣的規(guī)律呢？”學(xué)生通過討論得出：計算一個數(shù)加上另一個數(shù)的和，再乘一個數(shù)，就等于一個數(shù)乘這個數(shù)，加上另一個數(shù)也乘這個數(shù)。在此基礎(chǔ)上教師提問：“你還能再舉出生活中一些類似于列出這樣式子的實例嗎？”學(xué)生舉例后，教師再次拋出一個問題以引導(dǎo)學(xué)生的思維走向縱深：“你能選擇一種表達方式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”

上述教學(xué)案例由表及里，從運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律到總結(jié)形成數(shù)學(xué)語言的表達，注重學(xué)生的思維發(fā)展過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程。教學(xué)活動設(shè)計首先從數(shù)學(xué)運算中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，舉出類似的等式驗證其正確性，運用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)等式可以利用圖形來解釋，嘗試用數(shù)學(xué)語言表達乘法分配律，以生活中的實例為基礎(chǔ)說明乘法分配律的重要價值，最后抽象字母表示乘法分配律模型，每一個活動環(huán)節(jié)都為模型生成奠定了基礎(chǔ)。在教學(xué)活動中，多角度突出數(shù)學(xué)思維活動過程，并利用圖形表征、語言表征、符號表征等形式形成對乘法分配律模型的從直觀到抽象的認識，能逐漸加深學(xué)生對乘法分配律的認同感，使學(xué)生在自我否定和不斷補充完善中抽象出數(shù)學(xué)模型，體會到模型的重要價值，并親身經(jīng)歷建構(gòu)模型的整個過程，感受更加深刻[3]。

（三）“強”認知、“多”應(yīng)用——強化數(shù)學(xué)模型認識，讓思維走向形象與自覺

數(shù)學(xué)建模的建構(gòu)過程一般是以數(shù)學(xué)問題探索為起點，嘗試在問題解決中發(fā)現(xiàn)模型，開展模型求證，最后運用模型分析解決問題。在教學(xué)過程中，教師在滲透模型意識時，應(yīng)從問題入手，在分析解決問題中，模型漸漸顯露出來，學(xué)生們自然對數(shù)學(xué)模型有清楚的認識，強化了對數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)認知，體會到模型是解決問題的重要媒介。引導(dǎo)中高年級學(xué)生嘗試運用最基本的簡單模型分析問題，這是課堂教學(xué)的一個新嘗試，也能夠增強學(xué)生對基本數(shù)學(xué)模型的理解與辨析能力。在數(shù)學(xué)模型辨析環(huán)節(jié)，教師可以通過問題對比，明晰模型的不同特征與結(jié)構(gòu)。例如，在辨析長方形的周長模型與面積計算模型時，可以先從周長與面積的概念入手，使學(xué)生感受到兩個概念的不同；再從公式的推導(dǎo)來辨析公式的區(qū)別；最后設(shè)計題目訓(xùn)練，讓學(xué)生對兩個概念的認識更加明確[4]。當(dāng)學(xué)生對基本數(shù)學(xué)模型有了清晰的認識時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上嘗試運用。例如，一年級學(xué)生在解決問題“媽媽有8個橘子，比小明多3個橘子，小明有幾個橘子？”時，會發(fā)現(xiàn)這就是對“求比一個數(shù)多或者少幾”的模型。學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤是“5+3=8”，這是因為學(xué)生未真正理解多和少的本質(zhì)。只有當(dāng)學(xué)生在正確理解把握的基礎(chǔ)上，才能開展類似問題的探索，并開展問題對比的教學(xué)活動。

當(dāng)然，對于小學(xué)生來說，滲透數(shù)學(xué)模型意識需要有漫長、漸進的過程，也需要教師不斷地開展教學(xué)實踐與探索。教師要從教學(xué)理念更新入手，認識到數(shù)學(xué)模型在學(xué)科教學(xué)中的重要作用，并開展相關(guān)課題的思考與實踐，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與應(yīng)用過程，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

[1]孫保華.抓住關(guān)鍵點滲透模型意識[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計， 2023（32）：4.

[2]史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：66.

[3]張玉琴.挖掘數(shù)學(xué)模型 經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想[J].小學(xué)教學(xué)參考， 2021（29）：2.

[4]葉婉貞.情境串練習(xí)：“思”“趣”結(jié)合，“比”“變”提升——以人教版三下“面積”練習(xí)十五為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師， 2021（4）：3.

責(zé)任編輯：趙赟