泡沫鋁有限元仿真模型研究現狀

曹夢真，邱田偉，安鈺坤，2

(1. 山東理工大學機械工程學院，山東 淄博 255000)

(2. 山東鴻宇風機有限公司，山東 淄博 255300)

1 前 言

泡沫鋁是一種由鋁合金基體和孔泡復合而成的新材料[1，2]，既具有金屬材料的結構特性，又有多孔材料的功能特性。輕質、高比強度、阻尼減震以及電磁屏蔽等特性使泡沫鋁材料在建筑、汽車、航天航空等領域擁有廣闊的應用前景[3，4]。然而，在泡沫鋁的發泡制備中，發泡劑是否均勻分散、孔泡是否穩定，均會顯著影響發泡效果進而影響材料性能。為準確模擬實際泡沫鋁的性能，構建一個多孔泡沫鋁模型是仿真模擬的基礎。

有限元法(finite element method，FEM)又稱有限元分析(finite element analysis)，由Clough[5]在20世紀70年代首次提出，它作為一種可以用來解決力學問題的數值近似方法，隨著計算機的發展不斷崛起，被逐步引入多孔金屬材料的模擬研究中[6，7]。在建模過程中只需改變相應參數，即可得到不同孔隙分布的模型，縮短試驗周期，節約成本提高效率，同時解決泡沫鋁樣品在實驗中不可重復的問題，具有一定的前瞻性。同時，仿真模擬也可作為理論分析和實驗測試強有力的工具，預測多孔材料宏觀尺度的力學性能和破壞損傷機制，有效解決實際生產中的諸多問題。

目前，有許多微尺度模型可以體現出泡沫鋁的結構特性，本文將多孔泡沫鋁的仿真模型分為3類：簡單晶胞模型、隨機模型和三維CT重構模型。本文針對不同類別具有代表性的模型進行詳細闡述，并歸納模型的構建方法與研究結果，分析模擬結果與實驗結果的差異，對各模型的優勢與不足進行深入探究。

2 簡單晶胞模型

早期學者對泡沫鋁的結構不甚了解，僅用簡單實體結構模擬泡沫鋁的孔隙，即代表體積單元(representative volume element，RVE)[8，9]，又稱為鑲嵌法[10]。該三維模型是將一個獨立基本單元不斷復制與堆砌形成的，多采用簡單立方或近球體模擬孔泡形態。RVE法可通過增加晶胞點數或面數提高復雜性，但模型構造方法保持不變。

2.1 立方胞體模型

受金屬晶體晶格結構[11]的啟發，研究人員通過不斷堆砌實體單元構建出多孔材料結構。立方胞體作為最簡單的晶格結構，分為簡單立方、面心立方和體心立方3類，且此構造方式可以形成具有良好對稱性和周期性的高孔隙率幾何模型。圖1為Libonati等[12]建立的3類立方胞體單胞模型(其參數特性如表1所示)，該模型可在一定程度上模擬泡沫鋁的孔隙結構，在準靜態壓縮狀態下呈現典型的線彈性、塑性平臺和致密化3個變形階段，且變形失效模式與實驗測試結果高度相關[13]，如圖2所示。袁本立等[14]對1/8胞體結構模型沿z軸加載模擬發現，簡單立方結構支撐棱柱存在不均勻性，中心位置與節點過渡處部位差異較顯著，在結構吻合度方面略遜于面心立方和體心立方結構。劉培生等[15]的八面體模型構造原理與面心立方相似，單元錯落有致地分布在3個相互垂直的三維方向上，實現結構整體的密堆積，該模型的承載模擬表明結構狀態和承載狀態是完全等價的，具有三維同性的優勢，然而僅適用于孔隙率大于70%的多孔結構。簡單的整體結構使立方胞體模型在模擬孔隙率高于80%的試樣時結果較為準確[16]，但它無法模擬復雜多變的孔隙結構，因此建模精度不高，不能真實地反映多孔材料的力學性能。

圖1 3種立方胞體單胞模型及三維實體模型[12]Fig.1 Single cells and the three-dimensional solid models of three cubic cell models[12]

圖2 基于3種立方胞體模型模擬的準靜態壓縮下的變形失效模式及與實驗結果對比[13]Fig.2 Simulated deformation failure modes of three cubic cell models under quasi-static compression and comparisons with experimental results[13]

表1 立方胞體結構參數及與相對密度的定量關系

2.2 Gibson-Ashby模型

美國麻省理工大學Gibson和英國大學Ashby在研究泡沫鋁力學性能時構建了Gibson-Ashby經典模型[17]，如圖3所示[18]，該模型由1個孔隙單元和12根相互垂直的棱柱組成，立方框架結構簡單均勻且具有各向同性、普適性及廣泛的應用價值[19]。同時，Gibson也最早采用三段式分段函數來表征泡沫鋁的應力-應變曲線，從細觀梁彎曲理論角度展現了線彈性區、屈服平臺區和致密化區3個變形階段，并充分考慮到閉孔泡沫鋁的胞壁延展變形，給出了泡沫材料壓縮強度表達式：

(1)

圖3 Gibson-Ashby模型[18]：(a) 單胞模型，(b) 拉伸位移及應力云圖Fig.3 Gibson-Ashby model[18]：(a) single cell model，(b) tensile displacement and stress contour

Tereza等[19]在建模時通過增加棱柱厚度壓縮中央孔洞體積構建了不同孔隙率的Gibson-Ashby模型，并發現該模型對大于70%的高孔隙率材料可實現有效預測，相對電導率和相對楊氏模量的預測結果與實驗結果都相差4%左右。Haag等[21]通過實驗對比發現，Gibson-Ashby模型只能對幾何模型失穩顯著的泡沫結構進行穩態蠕變行為預測，且只能預測泡沫蠕變率的下限，具有很大的局限性。劉培生[22]分析發現該模型結構具有無法密堆積、棱柱結構不完全等價等缺點，導致受力效果不夠理想以及裂紋擴展方式與受力分析存在偏差。

2.3 Kelvin模型

Kelvin模型的單胞由8個正六邊形和6個正四邊形組成，具有26個頂點和36根棱邊，又稱十四面體模型(圖4)。該模型單胞可按周期性規則排列填滿整個空間，也被認為是最接近泡沫金屬的結構模型[23]，在模擬低密度的泡沫金屬時更具有真實性。Kelvin模型屬于RVE方法中的一種類型，可通過增加幾何結構的復雜性使模型接近真實孔泡。Belardi等[24]及Jang等[25]對傳統Kelvin模型進行了改進，建立了沿帶離散變化的圓形截面有限元梁模型，并用光束模型校正節點的彈性特性，使該模型在力學性能方面與實體結構的差異大大縮小，且計算量遠低于實心Kelvin模型。Zheng等[26]與Duan等[27]分別利用LS-DYNA及ABAQUS/Explicit 2種有限元模擬軟件研究了準靜態Kelvin模型單胞的力學響應和變形模式，發現變形模式是從加載端逐漸積累應變，并通過漸進堆積完成整體變形。Sun等[28]認為Kelvin模型未考慮頂點對力學性能的影響從而高估了材料的楊氏模量，在應力-應變圖中無法準確展現出壓縮平臺區域。對稱分布的宏觀Kelvin力學模型無法模擬微觀結構對整體的影響，致使所得結果與實驗結果存在不少偏差。

圖4 Kelvin模型結構建模步驟[23]Fig.4 Modeling steps for Kelvin modeled structure[23]

3 隨機模型

由于用宏觀力學模型模擬微觀結構特征準確度不高，近年來，諸多學者通過構建隨機模型來模擬具有高度復雜孔隙結構的泡沫金屬的力學行為。與簡單晶胞模型同質化連續統一方法不同，隨機模型可以模擬泡沫鋁發泡成形的過程，實現胞孔隨時間/空間的變化，具有非均質多尺度的優勢。

3.1 隨機胞孔模型

隨機胞孔模型可分為二維和三維2種，是將簡單胞孔在一定平面或空間隨機排布而形成的隨機模型，可通過調整胞孔尺寸參數和數量來改變孔隙結構，實現隨機模型的整體構建。Dou等[29]結合C++和ANSYS/LS-DYNA軟件建立了不同相對密度(20%，30%和40%)的二維隨機模型，采用圓形孔泡隨機分布的建模方式，探究不同相對密度下微慣性效應對應變率效應的影響。分析發現相對密度越高應變率效應越明顯，該結論與實驗結果保持一致，但由于孔壁缺陷，模擬值與實驗結果相差10%左右[30]。

三維隨機模型分為球形、橢球形和多面體形，該類模型構建步驟如下：先構造一個立方體模型，設定孔隙率、孔徑范圍及最小壁厚等參數，在立方體空間隨機生成形核點，使形成的實體胞孔隨機排列且不會干涉，最后運用布爾運算即可得到三維隨機模型。該法得到的模型孔隙結構更接近真實泡沫鋁，且仿真結果與實驗結果趨于一致。Fang等[31，32]利用凸多面體模型模擬泡孔隙單元形成泡沫鋁模型并映射生成有限元網格，分析發現多孔材料對沖擊作用下的能量吸收源于孔壁的塑性變形(圖5)。

圖5 三維隨機多面體泡沫鋁模型構建步驟(a)和模擬的準靜態壓縮時的應力-應變曲線(b)[31，32]Fig.5 Modeling steps for three-dimensional random polyhedral aluminum foam model (a) and simulated stress-strain curve during quasi static compression (b)[31，32]

泡沫鋁胞孔內的氣體在變形時受到細胞壁坍塌擠壓，進而推動下一階段壓縮，因此賦予氣體參數并考慮空氣效應會更接近實驗結果。Zhu等[33]通過不同的漸進損傷模型比較孔泡形態對壓縮性能的影響，發現橢球形態的孔泡呈現出各向異性幾何結構，胞孔內部氣體壓力對不同方向施加載荷導致非對稱變形，進而使材料擁有更高的彈性模量和抗壓強度(30～40 MPa)。三維隨機模型在建立之初就能夠考慮到實際的泡沫鋁形態，既有宏觀規律性又有微觀隨機性，推廣性和實用性更強。然而模型的模擬過程也會相對繁瑣，模型參數的設置比較復雜且隨機因素較多，因此編程前的設計準備以及程序運行所耗費的時間和精力會顯著增加。

3.2 Voronoi模型

Voronoi模型是利用空間分割方法，通過定義切割點的距離將空間劃分為規定個數的無縫單元。Voronoi模型的二維及三維模型如圖6所示[34，35]，成形方法是在一個指定的空間中，先生成距離不能小于規定值并隨機排列的形核點，以其為中心按相同速率長大形成胞孔，當相鄰胞孔彼此相遇時停止生長，邊界即為相鄰形核點相連的垂直平分線，直至布滿整個空間。我國的國家游泳中心“水立方”就是采用了這種構造方式[35]。

圖6 Voronoi模型：(a) 2D-Voronoi殼單元模型[34]；(b) “水立方”場館外墻，(c) 3D-Voronoi幾何模型[35]Fig.6 Voronoi model：(a) 2D Voronoi[34]；(b) external wall of the building Water Cube and (c) 3D Voronoi[35]

Li等[36]運用LS-DYNA有限元軟件與霍普金森壓桿研究泡沫鋁試樣在70 m/s的速度下的壓縮變形行為，實驗與模擬所得的應力-應變曲線如圖7所示，均呈現典型的線彈性區、屈服平臺區和致密化區3個階段且兩數據吻合度較高，表明Voronoi模型具有準確的預測作用。除孔洞結構參數外，基體材料的力學性質也將直接決定泡沫金屬的壓縮行為和變形模式。程和法等[37]對純鋁及鋁基泡沫金屬進行壓縮試驗，純鋁為基體的泡沫鋁表現出典型的塑性泡沫特征和較低坍塌屈服強度，鋁基泡沫金屬呈現典型的脆性泡沫特征和較高的彈性模量及屈服強度。對于三維Voronoi模型，學者多選擇理想的彈塑性模型來表征泡沫鋁單元壁材料[38]，如采用著名的Cowper-Symonds關系表征母材的塑性變形[39]：泡沫鋁基體的典型彈性模量為69～73 GPa，屈服強度為100～300 MPa[40]；或是利用von Mises屈服準則及各向同性硬化塑性材料模型[41，42]，通過靜態單軸拉伸實驗提取屈服應力及切線模量作為實際參數增加模擬結果準確率[43，44]。

圖7 基于Voronoi模型的壓縮實驗模擬(a)及所得應力-應變曲線及與實驗結果對比(b)[36]Fig.7 Simulation for compression test based on Voronoi model (a) and simulated stress-strain curve and comparison with experiment result (b)[36]

Voronoi模型的建模過程模擬了泡沫鋁材料隨機發泡成形的過程，在表現材料微觀結構復雜性的同時提高了計算效率，因此獲得廣泛應用。然而，二維或三維Voronoi模型因采用隨機形核成長的建模方式，每個孔泡邊緣處均呈現較為尖銳的邊界，與實際的胞孔圓弧邊界不符[45]，易造成應力集中等缺陷。此外，Voronoi模型未考慮泡沫鋁多孔泡交界處Plateau Border邊界的真實形貌，因此該模型分析結果與實際有較大差異。研究表明，該模型與Kelvin模型相比，對泡沫鋁材料體積彈性模量的預測結果低20%[46]。為改善Voronoi模型，有關學者通過向模型中加入圓形或橢圓形胞孔來減少模型與實際的偏差，但是該法削弱了隨機孔隙優勢。此外，Voronoi模型的孔壁厚度是通過殼型建模形成的，其孔壁厚度保持一致，難以實現隨機分布，因此當泡沫鋁試樣孔壁厚度不均甚至相差較大時，模擬結果與實際實驗出現較大偏差。

4 三維重構模型

三維重構建模是結合同步輻射X射線計算機斷層照相技術(synchrotron X-ray computed tomography，SXR-CT)進行重構，近乎可實現材料結構1∶1無損建模。三維重構模型的精度受SXR-CT的掃描步長和分辨率影響，在工業CT技術迅猛發展的背景下，該模型的研究也日趨增多[47，48]。此外，對于結構比較復雜的閉孔泡沫結構而言，SXR-CT是一種很有前景的小尺度三維結構研究方法，具有較高的空間分辨率，可以在不破壞原始物體的情況下原位觀察結構以及特征的變化[49-51](圖8)，具有其他模型不具備的真實性和準確性。

圖8 三維重構模型構建流程圖[51]Fig.8 Flow chart of three-dimensional reconstruction model construction[51]

Li等[49]利用SXR-CT技術建立了三維重構模型，有限元方法模擬的應力應變曲線與該試樣的真實測試結果如圖9所示，2組數據呈現高度吻合；在結構薄弱處首先出現的壓縮面逐漸擴展至整個模型，塑性變形帶演化規律與實際測試結果契合度較高。Kader等[52]發現泡沫鋁承載時會在孔壁交界處的Plateau Border形成塑性鉸(plastichinge)，彎曲力矩的存在降低了孔壁的承載性能，而胞壁的速率依賴性和微慣性取決于結構特性[53]，從而導致孔隙結構的坍塌。目前，基于泡沫鋁模型模擬的力學性能與實際測試值之間的誤差一般歸因于模型構建中忽略了細胞壁的微孔及微缺陷，據統計，直徑在30～350 μm范圍內的微孔約占金屬體積的26%[54]。Zhang等[47]研究發現，在控制微孔缺陷作為單一變量后，垂直載荷和水平載荷方向上的模擬分析結果與真實試樣測試結果相比，全局誤差分別為15.9%和4.5%。

圖9 基于三維重構模型有限元模擬的應力應變曲線及與實驗結果對比[49]Fig.9 Comparison of stress-strain curves from finite element method simulation based on three-dimensional reconstruction model and the experiment[49]

Toda等[55]關注到應力松弛發生的微裂紋或微孔偏轉，他們通過在孔泡之間建立互連來影響金屬泡沫的胞孔結構，進而引起顯著的裂紋偏轉。Movahedi等[56]則認為孔壁中微孔的存在作為裂紋萌生和擴展源進一步誘導了局部應力集中，從而削弱了泡孔結構強度(圖10)。利用三維重構技術可以真實反映出內部微孔的分布，這也是基于三維重構模型的模擬結果更加準確的原因。

圖10 內部微孔分布的三維渲染透視圖[56]Fig.10 Three-dimensional rendered perspective view of internal micro-pores distribution[56]

然而，由于SXR-CT是基于不同角度的靜態圖像識別，需要對現有實體進行掃描重構，嚴重依賴數據收集，因此難以對孔隙率、孔徑尺寸及分布、孔泡壁厚及胞孔形狀等參數進行反復多次的定量研究[57]。三維重構模型大小受CT分辨率影響，當試樣尺寸過大或分辨率要求太高時，需要大型試驗設備及專業人員進行繁瑣復雜的重構處理。CT圖像閾值的設置會直接決定孔隙率的識別情況，進而導致孔泡與鋁基體區域的誤判。此外，該模型無法實現高通量隨機模型的構建，且模型構建成本偏高，這也是制約此技術推廣發展的關鍵因素。

5 結 語

泡沫鋁材料由于發泡條件各不相同，胞孔大小、分布以及胞壁厚度復雜多變，關于泡沫鋁模型的構建一直都在不斷突破與完善。為了分析并預測泡沫鋁的承載性能及失效模式，本文分析并討論了現有的幾種泡沫鋁有限元模型的優缺點，分別是：以代表體積單元構建的簡單晶胞模型，該模型結構簡單，但無法反映實際的多孔結構；以隨機形核點構建的非均質多尺度隨機模型，可實現孔壁和孔泡數目的參數設定；運用X射線衍射及圖像重構技術的三維重構模型，可實體1∶1無損建模并能精確反映泡沫材料的微觀結構。

泡沫鋁材料內部孔隙具有復雜性和隨機性，使材料在承載時表現不同的失效模式，為此尋求并構建一種可精確反映泡沫鋁隨機孔隙結構的孔泡模型，準確且簡單地表征出實際泡沫鋁的結構特點并具有一定實用性和推廣性，仍是泡沫鋁材料數值模擬研究的重要一步。