GeoGebra可視化教學在高中數學探究活動中的應用

【摘要】GeoGebra的幾何作圖、代數運算和數據處理等功能強大，具有動態性、便捷性、多功能性等特點，受到許多教師和教育研究者的青睞.本文利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線中的動點軌跡問題，有機整合教材內容，由淺入深，生動形象展現動點軌跡生成的過程，激發學生學習研究數學的興趣.

【關鍵詞】高中數學；GeoGebra；課堂教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將“數學建模活動與數學探究活動”作為單獨的主題，與“函數”“幾何與代數”“概率與統計”共同組成貫穿高中數學課程的主線內容.可見數學探究活動在數學教育中的重要地位.數學探究活動在學生經歷數學概念、原理的生成過程，經歷從數學研究對象的獲得再到應用數學知識解決問題的過程中起到不可或缺的作用.

在實際教學實踐中發現，利用GeoGebra軟件，可以展示理論分析無法做到的動態可視性，將數學的抽象化為直觀形象，可以輕松處理一些黑板粉筆無法處理的數據，使數學探究活動更貼近生活、符合實際，能有效解決課堂的重點、難點，提高課堂效率．同時，GeoGebra功能強大，操作簡潔方便，有強大的代數和幾何功能，可以和學生一起，通過改變參數、設置變量等方式探究數學概念、原理，讓學生在學習過程中獲得理性思考和邏輯分析的能力，幫助學生提高研究和解決問題的能力.

1" 整合教材資源，優化探究內容

1.1" 探究橢圓的第一定義

把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于定值2a（2agt;|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．

人教A版教材是通過定長細繩實驗畫出橢圓的軌跡，從而歸納出橢圓的第一定義.這個實驗的優點是可以和學生一起動手操作，感受橢圓概念的生成過程，缺點是不方便改變繩子的長度和定點距離．通過GeoGebra可以改進這個實驗．如圖1，拖動滑動條a和滑動條c，可以改變P點到F1，F2兩點的距離，以及2a和定點F1，F2的距離2c，點擊動畫按鈕可以得到不同的橢圓（如圖1）.然后拋出思考題：如果2a=2c，P點軌跡還是一個橢圓嗎？點擊a=c按鈕，可以發現P點軌跡變成了一條線段．通過GeoGebra可視化動畫生成橢圓，然后讓學生歸納橢圓的定義，培養學生觀察、歸納、抽象的能力．雙曲線、拋物線的定義也可以類似進行探究，由于篇幅有限，本文不展開討論．

圖1

1.2" 探究圓錐曲線的統一定義（第二定義）

人教A版選擇性必修一P113頁設置了有關橢圓第二定義的例題.

例1" 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=254的距離的比是常數45，求動點P 的軌跡.

通過直接法很容易得到動點P的軌跡是一個長軸、短軸長分別是10，6的橢圓x225+y29=1.講完拋物線后，可以帶領學生重溫例1，拋出例1的變式探究題目．

變式1" 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=94的距離的比是常數43，求動點P的軌跡.

變式2" 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=－4的距離的比是常數1，求動點P 的軌跡.

變式3" 動點P（x，y）與定點F（c，0）的距離和P.到定直線l：x=a2c的距離的比是常數ca（agt;0，cgt;0，a≠c），求動點P 的軌跡.

通過直接法易得變式1動點P的軌跡是雙曲線，變式2動點P 的軌跡是拋物線．變式3當agt;cgt;0時，動點P 的軌跡是橢圓，當cgt;agt;0時，動點P 的軌跡是雙曲線．下面通過GeoGebra探究圓錐曲線的統一定義．如圖2，拖動滑動e，發現當|PF||PM|=e∈（0，1）時，P點軌跡為橢圓；當|PF||PM|=e=1時，P點軌跡為拋物線；當|PF||PM|=e∈（1，+∞）時，P點軌跡為雙曲線．

圖2

然后讓學生歸納出圓錐曲線的統一定義：到定點F的距離與到定直線l的距離（F點不在l上）的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線．這里e為離心率，F為焦點，l為準線．

借助GeoGebra可視化軟件，有機整合教材資源，生成一系列有關圓錐曲線定義的問題，由淺入深，層層相扣，采用螺旋上升的教學方式，加深學生對圓錐曲線定義的理解.

2" GeoGebra可視化探究動點軌跡問題

動點軌跡問題貫穿整個圓錐曲線的教學過程，是圓錐曲線教學的基礎和根基.動點軌跡問題以抽象、多變難懂而聞名.學生望動點軌跡問題卻步，不知如何入手解決這類問題.借助GeoGebra解決動點軌跡問題，直觀展現了動點軌跡的生成過程，降低了此類問題的難度，增強學生學習圓錐曲線的信心.

探究1" 圓O的半徑為定長r，A 是圓O內一定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

探究2" 圓O的半徑為定長r，A 是圓O外一定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

分析"" 在GeoGebra繪圖中用畫圓工具畫出一個圓O，用對象上的點作出圓O上的點P，作出直線OP.

在圓O內作點A，連接AP，作出線段AP的垂直平分線l.作出直線OP與l的交點Q，跟蹤點Q軌跡.啟動動畫，發現點Q的軌跡是橢圓.

理由：因為|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=|OP|gt;|OA|，所以Q的軌跡是以O，A為焦點的橢圓.

將點A拖到圓O外，啟動動畫，發現點Q軌跡是雙曲線.

理由：因為||QO|－|QA||=||QO|－|QP||=|OP|lt;|OA|，所以Q的軌跡是以O，A為焦點的雙曲線.

探究3" 已知雙曲線x24－y216=1與直線l：y=kx+m（k≠±2）有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應的結論？

分析" 這個題目乍一看，不容易看出動點P的軌跡.這類軌跡問題是學生學習的一大難點，也是教師教學的一個大的挑戰.運用GeoGebra可以降低教學的難度.如圖8，點擊P選擇追蹤工具，拖動M點，觀察點P的軌跡.發現點P的軌跡是雙曲線.

聯立雙曲線與直線l的方程并消去y得到：

（4-k2）x2－2mkx－（m2+16）=0①=1＼*GB3.

因為k≠±2，M是雙曲線與直線l的唯一公共點，令Δ=0得到m2=4（k2－4）②=2＼*GB3.

圖3

解方程①=1＼*GB3并結合直線l方程得M點坐標為km4－k2，4m4－k2，即M－4km，－16m，

其中km≠0.于是，過點M且與l垂直的直線為y+16m=－1kx+4km.

可得A－20km，0，B0，－20m，

P－20km，－20m，

即x=－20km，y=－20m.

因此，x2=400k2m2=400m2m24+4=100+1600m2=100+4y2，

即x2100－y225=1，其中y≠0.所以點P的軌跡方程是x2100－y225=1（y≠0），軌跡是焦點在x軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點）.

如果將此題推廣到一般的雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），直線l：y=kx+m（k≠±ba），其他條件不變.拖動滑動條，改變兩個參數a，b的值，拖動M點，發現點P的軌跡依然是雙曲線.類似第一個問題的解法可得點P（x，y）的軌跡方程是x2a2+b2a2－y2a2+b2b2=1（y≠0），軌跡是焦點在x軸上，實軸長為2（a2+b2）a，虛軸長為2（a2+b2）b的雙曲線（去掉兩個頂點）.

推廣1" 已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）與直線l：y=kx+m（k≠0）有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

推廣2" 已知拋物線y2=2px（pgt;0）與直線l：y=kx+m有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

3" 結語

GeoGebra可視化教學，可以使數學內容生動形象、淺顯易懂，但過度的可視化可能扼殺學生的想象力， 阻礙學生從形象思維提升到抽象思維.可視化教學可作為數學教學的輔助工具，但同時更加要注重引導學生演繹證明、歸納抽象.建議在使用可視化教學之前，讓學生進行深度思考、演繹推理.

【基金項目：本文系廣東省中山市教育科研2020年度一般項目（立項號：B2020180）《數字工具支持下的高中數學“問題-探究-拓展-交流”教學路徑實踐研究》的研究成果】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］中學數學課程教材研究開發中心.數學選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］張志勇.高中數學可視化教學：原則、途徑與策略［J］.數學通報，2018（06）：21-24.