基于問題解決的學生數學計算思維培養策略

劉寧暉 朱哲

摘要：計算思維是明確問題及其解決方案的思維方式。計算思維與數學領域的密切關聯為計算思維融入數學課堂提供了可能。教師應以數學問題為中心，設計指向計算思維培養的高中數學課堂教學流程，通過問題發現、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結五個環節，強調抽象、分解、算法、評價與概括五個思維過程，進而落實計算思維的培養。

關鍵詞：計算思維；課堂教學；高中數學

隨著信息化社會的深入發展與數字技術的快速變革，計算思維越來越廣泛地得到關注。當數字化和計算化逐漸成為現代社會的基本形態特征，計算思維就會像閱讀、寫作、算數一樣普及，成為每個合格公民的必備素質。計算思維與以數學運算、數學抽象等核心素養為導向的中學數學教育密切相關。計算思維應當作為核心素養的內容而走進數學教育。PISA2021數學素養測評框架中首次引入計算思維，標志著計算思維開始和數學問題解決、數學推理共同組成21世紀的數學素養。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在核心素養內涵的表述中也首次提到了計算思維，要求學生“能夠通過計算思維將各種信息簡約和形式化，進行問題求解與系統設計”。計算思維與數學教學的結合，不僅有助于學生理解相關數學概念，還對培養學生的計算思維概念和技能至關重要。

一、計算思維的概念及其在高中數學教學中的體現

計算思維指的是將現實問題進行量化，轉換為可運算的問題，進而通過計算機或其他工具進行求解。因此，計算思維的本質就是用數學語言去解決實際問題。計算思維主要涉及數學運算，新課標中提到，數學運算素養的形成需要經歷理解運算對象、形成運算法則、理解算理、選擇和設計算法、求得運算結果全過程。在這個過程中，教師需要著力培養學生的歸納與算法思維。在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中多次提及算法思想、程序框圖與算法程序，如在利用二分法求方程近似解時，要求學生探索該方法的思路并會畫程序框圖。在新加入的“數學建模活動與數學探究活動”中，鼓勵學生采用算法程序等形式呈現研究報告。可見，算法作為解決問題的一種工具和手段已經融入高中數學學科。數學教學中發展學生計算思維關鍵在于教會其分析、分解、量化問題，再進行數據分析與處理，進而進行計算推理。在這一系列的過程中，涵蓋了數學抽象、邏輯推理、數據分析等核心素養。計算思維作為一種高階思維，有助于豐富學生數學問題解決手段和工具，促進學生對數學內容的深度學習。計算思維的思維過程構成如圖1所示。

通過對計算思維研究成果的歸納可以發現，計算思維圍繞問題，指向問題解決的過程。而數學知識技能的學習也是以問題作為載體，這為兩者的有機融合提供了有利條件。在數學教學中，問題解決教學模式一般包括創設情境、引入問題，分析問題、收集信息，尋找方法、設計方案，評價方法、得出結論，應用新知、產生遷移。這正好與計算思維所強調的抽象、分解、算法、評估與概括五個思維過程相匹配。也就是說，以數學問題為抓手，將計算思維融入高中數學課堂具備可行性。

二、指向計算思維培養的高中數學教學實施流程

依據前文的分析，結合問題解決教學模式的一般流程，筆者嘗試將計算思維有機融入高中數學課堂教學，構建指向計算思維培養的教學實施流程（見圖2）。教師完成課前準備，并作為引導者參與課堂教學。課堂教學以問題為中心，分為問題發現、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結五個環節，分別對應計算思維的五個思維過程。在整個教學過程中，教師需要根據課堂反饋及時優化、調整課堂教學，在計算思維理念指導下，及時糾正學生出現的認知偏差。

（一）課前準備

課前準備時，教師需要明確教學目標，根據教學目標大致擬定課堂教學活動。同時，教師要對本節課所需要運用的知識進行概括梳理，提取核心教學內容，并形成中心、輔助與拓展三類問題。教師要認真研讀數學教材與新課標，明確教材編排與設計意圖，依據本堂課的重點設置若干個中心問題。中心問題需指向課堂教學的核心內容，其設置應有利于學生明確研究方向，有利于學生對知識的整體把握。輔助問題是解決中心問題的基礎，是將中心問題進一步分解后所產生的鋪墊性問題。輔助問題的設置需要結合學生已有的知識經驗，不宜設置過難。最后，拓展問題的設置是在解決中心問題后對相關知識點的遷移應用。一般而言，拓展問題需要教師從教材的練習題、復習題或課外習題中歸納分析得到。教師可以按照課堂教學情況合理設置一至兩個拓展問題，為學生后續數學知識的學習做好鋪墊。

（二）課堂教學

1.問題發現

教師需要設置情境化問題。情境化問題可依據教材的例題和習題改編，也可結合學生生活實際、數學史與數學文化等素材加以設計。情境化問題的設置一方面可以激發學生的探究興趣，使他們感悟數學知識的應用性；另一方面，學生可以從情境中抽象出數學問題，培養抽象思維。在問題發現的過程中，教師需要組織學生開展合理討論，充分調動學生已有的知識經驗，使他們從情境化問題中提取、抽象出數學問題。

2.問題分析

在問題分析階段，教師需要結合課前準備的三大類問題，引導學生將復雜問題簡單化。學生可以將暫時無法解決的中心問題分解為依靠已有知識可以解決或者暫時還無法解決的子問題。在中心問題逐步分解為若干個輔助問題的過程中，能夠培養學生的分解思維。

3.問題解決

問題解決階段需要以學生為主體，學生應結合所學知識，在教師的指導下探求各個數學問題的具體解決步驟或流程，形成對問題解決過程清晰的認識與理解。在此過程中，學生逐步嘗試，最終實現對新知識的掌握。教師應讓學生對所形成的解題步驟進行強化練習，落實算法思維的培養。

4.方法反思

很多數學問題都存在一題多解的情況，教師需要引導學生探索較優的解決方法。在問題得到解決之后，教師要引導學生評估解題的方法，比較多種方法之間的優劣勢，明確不同方法更適用的數學問題類型。同時，教師要讓學生針對已經形成的問題解決步驟進行完善與優化，進而培養學生的評估思維。

5.方法總結

在課堂教學的最后，教師要和學生共同總結本節課的內容，并在具體問題解決的基礎上，從中提取出一般化的解決方案，以便將其遷移到其他類似題目的解決中。教師要引導學生掌握一類數學問題解決的模式化方法，在此過程中培養學生的概括思維。

（三）課堂反饋

教師在課前需要預設教學流程，設想課堂教學過程中學生容易出現的問題。在課堂教學中，教師需要有意識地引導學生解決問題，并及時通過學生的反饋調整課堂教學。課后，教師要通過反思教學目標達成情況、學生課堂表現情況，改進自己的教學設計，調整中心、輔助以及拓展問題的設置，將計算思維理念更好地融入課堂教學過程。

三、指向計算思維培養的高中數學課堂教學實踐

下面以人教A版高中數學教材選擇性必修第一冊“直線與圓的位置關系”為例，論述如何設計指向計算思維培養的高中數學課堂教學活動。本節課的教學目標預設如下：掌握判斷圓與直線位置關系的幾何方法與代數方法，體會代數方法的算法性、普適性以及幾何方法的簡潔性；掌握并會計算與圓的弦長相關的問題；了解直線與圓在解決實際問題中的作用，體會數學的應用性。教師可以圍繞問題依次開展如下五個課堂教學環節。

（一）從情境中抽象問題

【問題一】一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20 km的圓形區域內。已知小島中心位于輪船正西24 km處，港口位于小島中心正北30 km處。如果輪船沿直線返航，那么它是否會有觸礁危險？

【問題二】若輪船有觸礁的危險，那么它受到環島暗礁影響的距離有多長？

教師創設以上兩個問題情境，問題由教材例題改編形成。其中，問題一對應本節課的中心問題，問題二作為問題一的延伸拓展，應在問題一解決后再予以呈現。教師在呈現問題情境后，應引導學生從中提煉關鍵信息，明確要解決的具體問題。學生將環島暗礁的分布區域抽象為圓，將輪船的航線抽象為直線，進而從中抽象出本節課的核心內容：確定直線與圓的位置關系。

（二）通過分解分析問題

教師可根據學生初中所學知識以及教材呈現內容，將本節課教學任務分解為四個教學問題（見圖3）。解決四個問題的過程，就是完成本課教學任務的過程。通過初中階段的學習，學生已掌握了用直觀定性的方式描述直線與圓的位置關系，即通過直線與圓公共點個數加以判斷。而在高中階段，需要讓學生掌握用嚴格定量刻畫的方式判斷直線與圓的位置關系。因此，教師確定本堂課的中心問題為問題一。而問題二與問題三作為輔助問題，為問題一服務。問題四是在問題一基礎上的延伸拓展問題，這四個問題構成了本節課的教學內容。教師在教學中需要引導學生一步步將中心問題進行分解，從而便于問題的解決。判斷直線與圓的位置關系需要讓學生回憶初中所學的平面幾何知識，明確有哪些位置關系（即問題二的解決）。其中，半徑與圓心到直線的距離關系為幾何法的判斷方式，而直線與圓的交點個數可以延伸出代數法的判斷方式。在判斷交點個數時，教師要讓學生思考如何從已知的直線與圓的方程中得出結果（即問題三的解決）。這樣，就讓學生在問題分析中逐漸形成分解思維。

（三）建立算法解決問題

在解決問題的過程中，教師需要滲透算法思想，此處的算法側重于問題解決的過程與步驟。在求解過程中，教師要引導學生明晰解題步驟，讓學生掌握規范的解題流程，進而在答案書寫中有邏輯地予以呈現。以情境問題一的解決為例，可以用代數法和幾何法分別呈現其解題步驟。

1.代數法

步驟一：用適當的方式表示出直線與圓的方程。以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立平面直角坐標系。取10 km為單位長度，則港口所在位置的坐標為（0，3），輪船所在位置的坐標為（[125]，0）。則圓的標準方程為[x2] + [y2] = 4，直線的方程用截距式表示為[5x12] + [y3] = 1。

步驟二：聯立直線與圓的方程，將所得到的方程組化簡為一元二次方程。聯立圓與直線的方程[x2+y2=45x12+y3=1]，化簡得到關于y的一元二次方程41[y2] - 96y + 44 = 0。

步驟三：計算上述一元二次方程的根的判別式，將結果與零進行比較。若△ = [b2] - 4ac > 0，則直線與圓存在兩個交點，此時直線與圓相交；若△ = [b2] - 4ac = 0，則直線與圓存在一個交點，此時直線與圓相切；若△ = [b2] - 4ac < 0，則直線與圓沒有交點，此時直線與圓相離。

上述關于y的一元二次方程的根的判別式△ = 2000 > 0，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風險。

2.幾何法

步驟一：計算圓心坐標、半徑以及直線的方程。

以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立平面直角坐標系。取10 km為單位長度，則港口所在位置的坐標為（0，3），輪船所在位置的坐標為（[125]，0）。則圓心坐標為（0，0），半徑為2，直線的方程用一般式表示為5x + 4y - 12 = 0。

步驟二：利用點到直線的距離公式，計算圓心到直線的距離。

步驟三：比較圓心到直線的距離與半徑的大小。圓心到直線的距離d < 半徑r，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風險。

流程圖作為計算思維加工過程的可視化承載工具，可以將學生隱性的思維過程清晰地呈現，對培養學生算法思維乃至計算思維都非常重要。而偽代碼作為一種描述算法的語言，能以更易于閱讀的形式創建算法。教師可以讓學生用流程圖或偽代碼形式呈現直線與圓位置關系的判斷過程，引導學生明晰流程圖或偽代碼與上述建立的解題步驟之間相對應的關系。以流程圖為例，其中圓心坐標（m，n）、圓心半徑r以及直線方程的系數A、B、C作為輸入數據，對應步驟一中計算圓心坐標、半徑以及直線方程的過程。流程圖中變量d賦值的過程就是步驟二中利用距離公式計算圓心到直線的距離過程，而流程圖中依靠選擇結構進行判斷并輸出結果的過程對應步驟三判斷距離與半徑大小的過程。

建議此環節讓學生分小組相互討論，在紙上采用流程圖、偽代碼或其他熟悉的方式來呈現直線與圓的判斷過程，表達清楚該過程中的關鍵步驟。最后，教師將討論結果向全班學生展示，進行分享與交流。有興趣的學生可以在課后嘗試用Python、C語言等程序語言在計算機上編寫該判斷程序。這些形式能夠有效促進學生理解判斷過程中的邏輯關系，從而掌握解題步驟。

（四）優化解決問題方案

教師對學生經過思考得出的幾何法與代數法加以介紹，引導學生對兩種方法進行評估，學會針對不同的問題采用較為簡便、快捷的一種方法。教師可以用表格的方式呈現圓和直線的位置關系以及兩種判斷方式，強調幾何法和代數法雖然最終都能判斷出結果，但兩種方式的思路截然不同。代數法側重于數，更多傾向于坐標與方程；而幾何法則側重于形，結合了圖形的幾何性質。教師需要讓學生思考兩種方法的優劣勢，如幾何法方法簡單、計算較為簡便，而代數法雖然計算復雜，但方法更具有普遍性，是后續解決直線與圓錐曲線相交問題的一般解法。同時，教師也可以引導學生從設問的角度，選擇更優的方法。例如，題目在判斷直線與圓的位置關系后仍需求解交點坐標，那么此時采用代數法更為便捷。

除了比較不同解題方法外，針對一種方法進行優化也有利于培養學生的評估思維。例如，在采用代數法聯立圓與直線的方程后，究竟將方程組化簡為關于x的還是關于y的一元二次方程，便需要學生針對題目進行優化選擇。

（五）歸納總結解題模式

在本節課問題解決后，教師需要指導學生進行課堂總結，將本節課所學的內容進行歸納梳理，同時需要形成一般化的方法。例如，從輪船是否具有觸礁危險的情境問題中，抽象出解決一般性圓和直線位置判斷方法。學生將直線表示為A[x] + B[y] + C = 0（A，B不全為零），將圓表示為[x2] + [y2] + D[x] + E[y] + F = 0（[D2] + [E2] - 4F > 0），通過代數法和幾何法得到一般性結論。教師也可以通過框圖呈現解題模式，例如，在解決情境問題四時，涉及求弦長問題，雖然可以利用垂徑定理等圓的性質，依靠幾何法求解，但是該方法不具有普適性，無法解決任意曲線f（x，y）與直線相交的弦長計算問題。因此，教師要突出用坐標求解的代數法，通過交點的兩點距離公式計算弦長，并將其進一步優化拓展，形成直線與圓錐曲線相交時計算弦長的模式化方法。

綜上，在計算思維理念指導下實施數學課堂教學，教師應側重于從思維過程中著手培養學生的計算思維。同時，計算工具的使用也可以作為培養學生計算思維的重要手段。此外，教師應從多樣化的視角構建計算思維的課堂教學模式，有效發展學生的數學核心素養。

參考文獻：

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［2］劉錦，曹一鳴.計算思維對中學數學課程改革的啟示［J］.數學通報，2021（10）.

（責任編輯：楊強）