讓“冰冷美麗”煥發“火熱思考”

基金項目? 全國教育科學“十四五”規劃2022年度教育部重點課題“數學深度學習的發生機制、過程特征與目標旨向問題研究”（DHA220411）．

【摘? 要】? 長期以來，數學新授課被當作復習課，三年課程一年半甚至一年授完，導致概念教學異化為解題訓練．長達12年的教學成果聚焦數學概念教學，構建了概念教學價值理念，形成了概念教學內容體系，凝練出概念教學策略，歸納出概念教學流程，創辦了首屆“陳景潤數學創新班”，開辟了概念教學上下聯通路徑，優化了學生思維品質．

【關鍵詞】? 中學數學；教學成果；概念教學；教學實踐

2023年7月21日，教育部公布2022年國家級基礎教育教學成果獎．數學教育參評項目78項，獲獎項目24項，獲獎率30.77%，低于生物、地理、物理及語文教育的獲獎率．數學獲獎項目主要聚焦于熱門的育人、創新、建模等，很少涉及冷門的概念教學．筆者的教學成果“讓‘冰冷美麗煥發‘火熱思考——中學數學概念教學實踐與研究”有幸榮獲二等獎．以下從成果簡介、問題提出、解決過程、解決方法、成果內容、應用效果及反思提升等方面簡要匯報，懇請得到各位專家、同行指教，期待下一步繼續推進成果應用．

1? 成果簡介

數學概念是數學教學永恒主題．然而，長期以來過度看重分數、片面追求升學率，導致生機盎然的概念教學被嚴重異化為“題型+訓練”的解題模式，阻礙了學生全面而有個性地發展．成果聚焦于將抽象、枯燥的學術形態數學概念演繹為學生易于理解、接受的教育形態，讓“冰冷美麗”概念教學煥發“火熱思考”．成果構建了“以生為本、優化思維、提升素養、學科育人”概念教學價值理念，形成了“傳授知識、展示過程、滲透思想、發展智力”概念教學內容體系，凝練出“正面突破、嚴謹推理為主，有意差錯、事后補救為輔”概念教學策略，歸納出“一MK、二CK、三PK、四MPCK”教學流程，創辦了福建省首屆“陳景潤數學創新班”，開辟了小學、中學與大學概念教學上下聯通路徑．該成果的實施轉變了數學概念教學方式，提升了學生思維品質，激發了創新能力，得到了宋乃慶、曹一鳴等專家肯定．

2? 問題提出

長期以來，學校過度看重分數、片面追求升學率，教師把數學新授課當作總復習課，三年課程一年半甚至一年“跑步”搶完，已經成為不爭的事實，導致生機盎然的概念教學嚴重異化為“題型+訓練”的解題模式，這是當前中學數學教育中最值得關注、亟需解決的問題．

2.1? 重視眼前利益，輕視長遠利益

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用．數學知識建立在概念之上，概念是數學教學永恒主題．然而，目前應試教育依然占據主導地位，一切以分數為重，只顧升學率等眼前利益、短期利益、局部利益，犧牲學生全面發展的長遠利益、根本利益、整體利益等現象觸目驚心，為學生終身發展流于口號．

2.2? 重視解題技巧，忽視概念生成

課堂教學中過度追求概念教學最小化與習題講解最大化，生機盎然的概念教學被異化為“一個定義、二項注意、三類題型、N套強化”的解題模式，導致學生對基本概念死記硬背、機械模仿．一旦遇到新情景束手無策，學生畏懼乃至厭倦數學，于是教師再一次加大作業數量、灌輸特殊解題技巧、增加考試頻率，陷入惡性循環，數學育人功能缺失．

2.3? 重視概念應用，無視系統工程

概念是數學的細胞、思維的載體．概念是數學教學核心環節．數學從根本上是研究概念．概念教學是一項系統工程，提倡“燒全魚”．概念教學就是要以概念的產生、發展過程為載體，讓學生經歷完整的歸納、提煉、精致過程.沒有概念引入過程，沒有揭示數學本質的“掐頭去尾”“燒中段”式的概念教學誤人子弟，使提升學科素養成為一紙空談．

2.4? 重視表面文章，漠視專業素養

數學概念是推理論證的依據，是構建定理的基礎，是形成思想的源泉，是解決問題的前提，更是進行思維的工具．數學難就難在概念教學．概念教學涉及兩次轉化，教師首先將學術形態的概念內化，這是遵循數學邏輯轉化；再將自己的知識轉化為學生理解的教育形態，這是遵循教育邏輯轉化．概念高度抽象，只有深度剖析，才能拓展概念，給學生思維搭橋，易于學生接受．教師沒有深厚素養與專業功力，概念轉化成為空中樓閣．

3? 解決過程

3.1? 第一階段（2010.9—2012.1）：星星之火，舉步維艱

長期以來，中學數學概念教學嚴重異化為“題型+訓練”的解題模式，只看結果，以分數論英雄，無止境擠壓概念教學時間、空間的現象愈演愈烈．為了徹底扭轉“頑疾”，2010年初，團隊著手規劃與論證，2010年9月正式實施概念教學改革．顧及同行非議與學校擔憂，團隊決定先在成員班級小范圍試驗，嚴格遵照課標要求，優先概念教學．調查發現學生喜愛新的教學模式，不再畏懼數學，學習熱情高漲．同事逐步接受乃至效仿，贏得同事信任，化解閑言碎語．這充分表明業已啟動的概念教學改革必要且可行，團隊信心大增．2012年初，改革推廣到整個年段，為全面實施改革與研究奠定堅實基礎．

3.2? 第二階段（2012.2—2015.1）：以點帶面，攻堅克難

（1）確立數學概念教學理論.

2012年初，概念教學改革由“單打獨斗”逐步覆蓋全校及兩所分校，亟需理論引領．團隊在舒爾曼1986年提出學科教學內容知識（PCK，即Pedagogical Content Knowledge）基礎上，將PCK從泛學科分離出來并演繹到數學學科，形成數學教學內容知識（MPCK，即Mathematics Pedagogical Content Knowledge）．嘗試基于MPCK下數學概念教學實踐．最大挑戰就是不少教師不愿意接受甚至抵觸MPCK理論，固守解題式概念教學模式．通過觀摩教學、專家示范、教學比武等活動，傳播MPCK理論，“誘導”他們一起進行概念教學改革［1］．

（2）追蹤數學概念來龍去脈.

教材中多數概念（如三角）的引入、提煉過程未能完全展現，使原本高度抽象的概念（如正態分布密度函數）更加苦澀、枯燥．教師要充當教材與學生之間的協調員，擔當概念與學生之間的鋪路工，合理設置階梯，給思維搭橋，讓學生清晰來龍去脈．沒有深度理解概念，教學成為無源之水、無本之木．而教師MK（Mathematics Knowledge縮寫，即數學學科知識）欠缺，難以擔當鋪路工；PK（Pedagogical? Knowledge縮寫，即一般教學法知識）欠缺，難以充當協調員；CK（Content Knowledge縮寫，即學科內容知識）欠缺，難以擔當搭橋人；PCK欠缺，難以承擔加密工；MPCK欠缺，難以承擔概念教學．

（3）發現教師心理補償因素.

數學難就難在概念教學，被學術界譽為“冰冷美麗”．通過大量問卷調查、深度個體訪談、持續課堂觀察發現，數學概念教學之所以嚴重異化為解題模式，還有難言之隱：教師專業功力不足而難以深度剖析概念本質（如基本事件個數），常常感覺概念教學“單薄”．教師出于心理因素，不斷增加解題教學時間，以此作為補償學生，求得自我心理安慰［2］．

（4）開辟概念教學新型路徑.

概念教學一脈相承、螺旋上升．多數中學數學概念啟蒙于小學．為了破除中小學概念“斷裂”壁壘，筆者作為核心成員加入東北師大郭民教授立項的教育部重點課題（小學數學），深入3所小學開設示范課．2011年特意邀請小學、初中教師加入團隊．2015年遴選2所九年一貫制學校作為基地校，實現小、初、高無縫對接，開辟概念教學新路徑．

3.3? 第三階段（2015.2—2018.8）：教研同步，輻射引領

（1）遴選教學實踐推廣學校.

2015年團隊遴選福建省廈門市同安區教師進修學校、江西省湖口縣教育科學研究所、重慶市第二十九中學等3個單位作為實踐檢驗單位．2016年確定江西省湖口中學、新疆博樂市七中、福建教育學院、廈門市教科院等8所學校作為推廣示范基地．受益師生數萬余人，尤其為西藏、新疆等邊遠地區做出突出貢獻．

（2）凝練數學概念教學策略.

2018年團隊首次凝練出“正面突破、嚴謹推理”為主，“有意差錯、事后補救”為輔的概念教學策略．發表“概念教學不妨嘗試事后補救”“理性思考嚴謹推理”等20余篇概念教學策略論文，數篇論文全文轉載．

（3）首創數學概念教學流程.

團隊創立了“一MK、二CK、三PK、四MPCK”概念教學流程．明確“為何教、教什么、怎么教”．發表“注重數學本質引導素質教育”“基于MPCK視角下初中數學概念教學”等30余篇概念教學流程案例論文．

（4）實施教育科研課題研究.

團隊完成2項全國、8項省級等各級課題16項．其中，2015年以良好等級完成全國教育科學規劃重點課題“小學生數感發展與特征研究及課程設計”．2016年以優秀等級完成省級規劃課題“優化數學思維品質的魅力課堂模式研究”．2019年以良好等級完成全國教育科學規劃課題“基于MPCK視角下概念教學案例研究”．2022年以優秀等級完成省級規劃課題“基于深度學習的概率統計概念教學研究”．系列課題研究為概念教學實踐提供理論引領，將概念教學推向新的高度．

3.4? 第四階段（2018.9—2022.6）：創建平臺，深度推廣

（1）物化成果，渴望歷史突破.

總結概念教學實踐的經驗教訓，先后發表100余篇論文，出版3部專著、3部合著．2021年出版概念教學校本教材《初高中數學銜接教材》．2018年出版專著《概念：數學教學永恒主題》，并榮獲第六屆全國教育科學研究優秀成果獎二等獎，這是福建省基礎教育界30年歷史性突破．

（2）培育成果，沖擊國家獎項.

歷時12年，經過4個階段，輻射閩、贛、渝等全國50所學校，應邀在各地開設280余場講座、觀摩課，接待參觀交流100余次．在教學實踐的基礎上，培育教學成果．2020年6月，教學成果“讓‘冰冷美麗煥發‘火熱思考——中學數學概念教學實踐與研究”獲得廈門市基礎教育教學成果獎一等獎．2020年12月，該成果榮獲福建省基礎教育教學成果獎特等獎，列為省級推廣項目，沖擊2022年國家級基礎教育教學成果獎．

（3）捧回蘇獎，登上全國舞臺.

2020年12月，筆者登上中國中學數學屆最高領獎臺，授予第十三屆“蘇步青數學教育獎”一等獎（全國僅4人），并在頒獎典禮暨中學數學教育論壇作主旨發言．2022年4月，筆者受邀在中國數學會數學教育分會首屆學術年會作90分鐘概念教學成果報告，深度推廣教學成果．

（4）為黨育人，弘揚“景潤精神”.

學生數學思維、素養顯著提升，連續兩屆入圍數學冬令營并獲全國一等獎．教師在各級大賽中摘金奪銀．學校教學質量持續攀高．2021年創辦并領銜福建省首屆“陳景潤數學創新班”教育教學，標志長達12年的數學概念教學改革取得重大突破，致力為國家培育高素質的數學英才．

4? 解決方法

4.1? 領銜一支團隊，凝聚集體智慧

2018年9月，筆者領銜廈門市首屆名師工作室高中數學王淼生名師工作室．依托名師工作室優勢資源，聚焦數學概念教學．通過“名師送培”“團隊下鄉”“跨區進?！钡惹?，極大提升教師，尤其薄弱和農村校青年教師專業化成長．

4.2? 依托兩個平臺，高端示范引領

筆者近年受聘為中國教育科學研究院、中國數學會中學數學工作組、全國數學教育聯盟、北京師范大學、福建教育學院、集美大學等兼職教授、核心專家，聯合廈門大學創辦福建省首屆“陳景潤數學創新班”．兩個平臺無縫對接中小學課堂與高校平臺，實現高端引領．堅持“專家請進來”與“團隊走出去”相結合，拓寬專業視野，攻克系列疑難數學概念．

4.3? 建設三個基地，推廣應用輻射

團隊深入3個實踐檢驗、8所示范推廣學校，開展概念教學專題講座、示范課達200余場．縱使疫情期間也從未間斷，僅2022年上半年，線上講座與線下授課30余場，成果輻射到全國50余所學校．

4.4? 瞄準四大賽事，促進概念教學

概念教學實踐與研究12年來，團隊成員踴躍參加四大權威性教學比武：兩年一屆全國青年教師優秀課大賽、三年一屆福建省教師教學技能大賽、三年一輪廈門市創新及廈門市基本功大賽，囊括所有比賽一等獎，打造了一支精良教師隊伍，引領一批青年教師成長．

5? 成果內容

5.1? 彰顯育人價值，構建數學概念教學價值理念

數學教育教學宗旨在于育人．長期以來過度看重分數、片面追求升學率，只顧眼前、局部利益，犧牲立德樹人、全面發展等長遠、根本利益導致數學育人功能缺失．成果扭轉了“題型+強化”的概念教學模式，破除了愈演愈烈的三年課程一年半“跑完”及新授課當作復習課等“頑疾”．成果聚焦將抽象、深奧的“學術形態”數學概念演繹為學生易于接受、理解的“教育形態”，形成了“傳授知識、展示過程、滲透思想、發展智力”的概念教學內容體系．著眼長遠、根本利益，圍繞學生終身發展，構建了“以生為本、優化思維、提升素養、學科育人”的概念教學價值理念．通過概念教學散發數學巨大魅力，彰顯數學價值，詮釋數學本質，感染學生，激勵學生，讓學生親近數學、熱愛數學，享受數學，增強自信心，樹立理性思維，陶冶學生真善美情操．

5.2? 劃分概念類型，創新中學數學概念教學策略

數學難就難在概念教學．將概念精準歸類并針對特定概念采取相應對策是高效教學保證．成果將中學數學概念劃分為基礎型概念（夯實根基，如集合）、核心型概念（悟透本質，如函數）、高頻型概念（靈活應用，如離心率）、易錯型概念（正反辨析，如樣本空間）、孤獨型概念（縱橫聯系，如殘差分析）、深奧型概念（突破瓶頸，如條件概率）．基于此，凝練出“正面突破、嚴謹推理”為主［3］［4］，“有意差錯、事后補救”為輔的概念教學策略，即從正面情景引入中抽象概念本質，在論證提煉過程中詮釋概念重點、難點，在事先“預設差錯”的認知沖突中鞏固概念，在后續糾正錯誤的思維碰撞中精致概念［5］．

5.3? 構建對接平臺，開辟概念教學上下聯通路徑

概念教學是一項系統工程．中學與小學乃至高等數學概念一脈相承、螺旋上升．中學數學概念教學中遇到困境，究其根源在于中學與小學概念教學銜接斷層、缺乏高等數學理論對中學數學的高屋建瓴．比如，概率統計概念，從小學統計意識培養到初中概率啟蒙再到高中概率統計系統學習并一直延伸到高等數學中專業的概率論、統計學理論研究．再如，函數概念，從初中一次、二次函數的“變量說”到高中冪、指數、對數函數及數列“對應說”一直拓展到大學數學分析“關系說”．甚至有些數學概念是高等數學知識下沉（如殘差分析、定積分等）．

針對實際情況，團隊特意遴選兩所九年一貫制作為實踐推廣基地，讓小、初、高數學教師相互觀摩相關概念現場教學（如統計、圓等），達到小學、初中、高中概念教學到位而不越位．聯合廈門大學創辦福建省首屆“陳景潤數學創新班”，聘請高校專家定時定點傳授疑難概念教學．期間，筆者受邀登上中國數學會、全國數學教育聯盟、北師大、西南大學、集美大學、福建教育學院學術論壇開設70余場講座，實現了中小學與高校一體化，突破中小學與高等數學概念教學斷層局面，彰顯概念教學整體性、連貫性與傳承性，開辟中學數學概念教學上下聯通新路徑．

5.4? 揭示心理因素，夯實專業功力豐富MPCK理論

概念教學是衡量專業功底的標桿．通過大量問卷調查、個體深度訪談，發現數學教師難言“秘密”：一直以為解題教學替代概念教學就是為了短期提高分數，其實還有心理因素：教師因專業功力不足而難以深入悟透概念本質，常常感覺概念教學“單薄”，出于自卑、內疚與畏懼等復雜心理因素，通過不斷加大解題教學時間、灌輸特殊解題技巧與增加考試頻率補償學生，求得自我安慰，這是團隊前期概念教學實施與研究中沒有預料的．系列成果“讓冰冷美麗煥發火熱思考”“概念是數學教學永恒主題”連載在《福建教育》，引發高度關注．“解鈴還須系鈴人”，消除心理因素關鍵在于夯實教師專業功力．有實力才有底氣、勇氣、銳氣．鑒于此，團隊加大力度深度追蹤概念來龍去脈、洞察概念本質、參加教學比武并傳播教學成果．

追蹤概念來龍去脈．比如絕大部分教師認為高中三角函數就是初中銳角三角函數延伸及拓展，依然采取終邊法定義三角函數．其實，三角源自天文學，后來從球面三角獨立而得到平面三角并形成近代三角學，標志三角學從靜態研究演繹為反映周期運動變化的一門具有現代數學特征的學科，因此三角函數主要功能是研究周期性而不是解決三角形邊角關系．成果“追尋三角學發展史? 領悟主編意圖? 理清教學困惑”被全文轉載，達到精致三角概念，厘清教學誤區．

深究概念本質內涵．再如“定積分”概念，絕大部分教師直接把微積分基本定理告訴學生，然后套用定理進行重復、機械、低效乃至無效訓練．經過教學實踐與理論研究，團隊發現引入過程表明定積分內部元素是積式、生成進程顯示其外部結構是特定和式、形成結果標志其本質就是極限、應用過程強調選取恰當區間、鞏固過程暗示并非“均等分割”、精致過程詮釋逼近是解決與和式相關問題且與面積密切相關，創造性地解決問題［6］．成果“利用定積分概念解題幾個注意點”被全文轉載，并獲廈門市第四屆教育科研優秀成果一等獎．

團隊創立“一MK（概念本質）、二CK（相關知識）、三PK（針對策略）、四MPCK（詮釋困惑）”教學流程，便于教師操作、學生理解．研發基于MPCK視角下啟蒙小學、形成初中、升華高中、完善大學的核心、疑難概念教學系列經典案例．完成全國規劃課題“基于MPCK視角下概念教學案例研究”，出版專著《概念：數學教學永恒主題》［1］，發表“基于MPCK視角下初中數學概念教學”等40余篇論文，豐富MPCK理論內涵與實證案例［7］．

6? 應用效果

（1）奠定學生終身發展.

學生喜愛數學，自發成立數學建模、講好“景潤故事”等課外興趣小組，體驗成功愉悅，享受數學快樂．我校在全國數學競賽中300人次獲獎，連續兩屆入圍數學冬令營并獲全國一等獎．每年錄取清北30余名學生．陳汜玄等3人勇奪高考省狀元．數學成績尤其突出：高考65人滿分，500人145分以上，連續十年高考均分、優生率穩居全省第一，奠定了學生終身發展根基．

（2）成就教師專業成長.

團隊培養國家“萬人計劃”教學名師1人，數學特級教師4人、正高級教師4人，“蘇步青數學教育獎”一等獎1人，福建省高層次A類人才1人，廈門市高層次人才2人，廈門市本土領軍人才、拔尖人才、杰出教師6人次，省市學科帶頭人及廈門市專家型教師25人次，全國優質課一等獎3人，連續四屆6人次摘取福建省教學技能大賽一等獎．

（3）促進學校內涵發展.

創辦并領銜福建省首屆“陳景潤數學創新班”教育教學，標志數學教學及課程改革取得重大突破．實現中學與高校無縫對接，開辟概念教學新路徑．學校摘取全國文明單位、全國教育系統先進集體、省示范性中學等80項省級及以上榮譽．清華、北大、復旦等40所著名高校授予優質生源基地．

（4）創造教學科研新高.

數學概念教學成果榮獲國家級基礎教育教學成果獎二等獎及福建省基礎教育教學成果特等獎．專著《概念：數學教學永恒主題》摘取第六屆全國教育科學研究優秀成果二等獎，實現廈門市基礎教育界歷史性突破．團隊發表論文300篇，核心論文30篇，全文轉載8篇，出版著作3部、合著3部．完成2項國家、8項省級等各級相關課題16項．

（5）贏得各界關注肯定.

受邀在中國數學會年會、全國數學教育聯盟年會等高端平臺作專題報告，數萬師生受益．成果推廣輻射至贛、閩、渝等全國50所學校．中國教育報、省市電視臺等30家媒體40次報道．當代教育名家、西南大學宋乃慶教授評價：“成果取得顯著成效，具有重要現實意義和推廣價值．”；當代教育名家、國務院特殊津貼獲得者任勇先生稱贊：“成果讓冰冷美麗煥發火熱思考．”；義務教育數學課標組長、北師大曹一鳴教授認為：“成果對數學課程改革與實施具有重要意義和推廣價值．”

7? 反思提升

歷時12年數學概念教學實踐與研究，在學生成長、師資建設、學校發展、教育科研、課程改革等方面取得一些成績與突破，但團隊深知理論研究不夠，推廣應用不足．目前正在繼續實施2021年度省級規劃課題“核心素養視域下中學數學概念教學案例研究”及2022年度全國教育科學規劃重點課題“數學深度學習發生機制、過程特征與目標旨向研究”的研究．團隊昨天已經起航、今天正在探索、明天繼續反思、未來會一直堅守在數學概念教學實踐之路、研究之路、輻射之路、示范之路上．讓“冰冷美麗”數學概念教學煥發“火熱思考”，這是我們永恒的追求！

參考文獻

［1］? 王淼生．概念：數學教學永恒主題［M］．廈門：廈門大學出版社，2018．

［2］? 王淼生．讓“冰冷美麗”的數學概念教學煥發“火熱思考”［J］．福建教育，2021（06）：23-26．

［3］? 王淼生．理性思考? 嚴謹推理［J］．中學數學教學參考：中旬，2016（10）：66-68．

［4］? 王淼生．理性思維? 嚴謹論證［J］．中學數學教學參考：中旬，2018（10）：67-70．

［5］? 王淼生．概念教學不妨嘗試“事后補救”［J］．中小學數學：高中版，2015（12）：40-43．

［6］? 王淼生．利用定積分概念解題的幾個注意點［J］．中國數學教育：高中，2014（05）：57-60．

［7］? 陳燕梅，王淼生．基于MPCK視角下的初中數學概念教學：以“平均數（1）”為例［J］．數學通報，2018（12）：5-8．

作者簡介? 王淼生（1966—），男，江西九江人，正高級二級教師，特級教師，國家“萬人計劃”教學名師，福建省高層次A類人才，廈門市高層次A類人才，廈門市本土領軍A類人才，廈門市拔尖人才，廈門市杰出教師，中國數學奧林匹克高級教練；榮獲“蘇步青數學教育獎”一等獎、第六屆全國教育科學研究優秀成果獎二等獎、國家級基礎教育教學成果獎二等獎、福建省基礎教學成果獎特等獎；發表300余篇論文．