符號意識進階：從簡單合并到字母運算

【關鍵詞】小學數學；符號意識；《神奇的字母》；字母運算；規律

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）13-0081-05

“符號意識”是小學生需要具備的核心素養之一，其內涵包括對符號的感悟、自覺運用符號的意識等。學生符號意識的培養和形成需要土壤和機會，教師根據具體內容適時開發有益于相關素養發展的數學課是應然之舉。蘇教版五上“用字母表示數”單元安排了這樣一道例題：小華用小棒擺了a個三角形，小芳用小棒擺了a個正方形。你會用含有字母的式子表示小華和小芳一共用了多少根小棒嗎？目的是讓學生學會化簡形如“ax±bx”的式子的方法，即合并簡單的同類項。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）要求，學生除了要會化簡形如“ax±bx”的式子，還要會用字母參與運算來表達運算規律和推理結論，感悟用字母表示具有一般性的特點。基于此，筆者在現行蘇教版教材的基礎上，結合學生在“用字母表示數”單元學習中積累的知識經驗，創構了一節有關字母運算的課——《神奇的字母》。

【教學過程與思考】

一、游戲引入，孕伏字母參與運算的思想

談話：同學們，我們已經學習了用字母表示數。其實，字母還有很多奧秘。今天，我們一起來探究《神奇的字母》。

師：看到這個課題，你有什么想問的？

生：為什么說字母神奇？字母神奇在哪兒？

師：你們都有一顆好奇心！別急，我們先來玩一個小游戲。請大家任意想一個數，想好了嗎？用這個數乘4，加上12，再除以4，然后減你想的那個數，最后減2。把最后的結果藏在心里，不能泄露哦。

師：我猜你最后算出的結果是1，對嗎？（一生點頭）我猜你最后的結果也是1。（一生點頭）我猜你們每個人最后的結果都是1，對嗎？

生（齊）：對！

師：大家想的數多種多樣，為什么最后的結果都是1呢？這里面是不是藏著什么秘密呢？不著急，學完這節課，大家就能揭開謎底了。

五年級的學生仍處在直觀、具體的思維階段，很難理解“明明我們心里想的數不同，老師竟然能猜出我們的計算結果，而且我們的計算結果竟然都是1”，形成較強的認知沖突，極大地調動了他們參與學習的興趣和探索因由的需要，也為后續的字母運算教學埋下了伏筆。

二、代數推理，應用字母參與運算說理

【教學片段1】

師：數學算式里常常藏著有趣的規律。

課件出示：（10-1）÷9=，（20-2）÷9=，（30-3）÷9=。

師：你能口算嗎？結果是多少？

師：誰來匯報？說一說你的計算過程。

生：（10-1）÷9=1，（20-2）÷9=2，（30-3）÷9=3，先算括號里的減法，再用這個結果除以9。

師：你發現了什么規律？

生1：結果和前面括號里的減數相同。

生2：都是除以9。

生3：被減數是幾十，減數就是幾。

師：為什么會是這樣呢？能不能用含有字母的式子把里面的道理說明白呢？老師給大家提了一些研究要求，誰來讀一讀？

研究1：（1）寫一寫，用含有字母的式子解釋你發現的規律；（2）說一說，和同桌交流你的想法。

師：讀懂要求了嗎？你準備用字母表示算式中的哪一個數？為什么？

生：我準備用字母表示減數，因為被減數是減數的10倍，減數用一個字母來表示，那被減數就可以用含有字母的式子表示出來了。

師：都聽明白了嗎？在學習單上寫一寫吧！

生上臺板演：

（10a-a）÷9" " "（10x-x）÷9

=9a÷9" " " " " "=9x÷9

=a" " " " " " " " =x

師：你選擇的字母表示什么？

生：算式中的減數。

師：9為什么不用字母表示？

生：9是不變的數。

師：是的，確定的數就不需要用字母表示了，我們用字母表示的是不確定的數。

師：你們覺得這兩位同學寫得都對嗎？（對）他們列的式子并不相同，為什么都對呢？

生：他們只是用的字母不同，表示的規律是一樣的。

師：這樣的等式概括了哪些含有同樣規律的算式呢？你能再舉幾個例子嗎？

生：（40-4）÷9=4，（50-5）÷9=5……

師：字母神奇嗎？為什么？

生1：一道算式可以代表很多算式。

生2：用字母運算，能幫助我們解釋清楚這組算式規律背后的秘密。

【教學片段2】

課件出示：（100-1）÷9=，（200-2）÷9=，（300-3）÷9=。

師：這組算式里也藏著小秘密，你能像剛才我們研究的那樣，通過字母運算來解釋嗎？老師也提供了一些研究小貼士，誰來讀一讀？

研究2：（1）算一算，看看每道題的結果分別是多少；（2）說一說，和同桌說一說你發現的規律；（3）寫一寫，通過字母運算解釋這個規律。跟著這些要求，在學習單上試一試吧！

生研究，匯報，上臺板演：

（100a-a）÷9

=99a÷9

=11a

師：回顧我們剛才研究的這兩組算式，第一組算式，我們通過字母運算得到了（10a-a）÷9=a；第二組算式，我們通過字母運算得到了（100a-a）÷9=11a。你能照樣子再往下寫一個字母表達式嗎？

生：（1000a-a）÷9=111a。

師：當a=1時，表示哪個算式？

生：（1000-1）÷9=111。

師：當a=2時呢？當a=3時呢？

生：（2000-2）÷9=222，（3000-3）÷9=333。

師：你能再往下寫一個字母表達式嗎？

生：（10000a-a）÷9=1111a。

師：字母神奇嗎？為什么？

生：字母表示的算式里也有規律。

上述素材源于蘇教版三上“兩、三位數除以一位數”單元中的練習題組。這兩組算式當時僅要求學生“能正確算出前幾題的結果，并能通過觀察發現規律，照樣子直接填寫后幾題的得數”。可以想見，在當時的情境中，不少學生肯定好奇為什么這樣的算式里會有這種規律，但是由于受到知識經驗的束縛，他們無法言明其中的道理。學習“用字母表示數”單元之后，學生再次見到這樣的算式，由于他們已經有了代數思維的啟蒙，所以能夠在教師的引導下嘗試用字母表示數，并能代入算式進行運算。解釋規律背后的原因，能使學生體會到：用字母表示數參與運算，得到的規律具有一般性。

【教學片段3】

師：剛才，我們在“數的世界”里見識到了字母的神奇，那在“圖形王國”里，字母還神奇嗎？（出示圖1）

指名生讀題：在兩個相同的平行四邊形里分別畫三角形，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等嗎？

師：會解決嗎？在你的學習單上寫一寫。

生計算，匯報：10×5÷2=25（平方厘米）；

10×2÷2+10×3÷2

=10+15

=25（平方厘米）

因此，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等。

師：如果這里沒有具體的數據，還能比較嗎？怎樣比？（用字母表示）

師：為了方便大家研究，我們把這個平行四邊形的底用字母a來表示，把這個平行四邊形的高用h來表示，那左圖中三角形的底和高分別是多少？右圖呢？（如圖2）

生：左圖中三角形的底是a厘米，高是h厘米。右圖中上面的三角形底是a厘米，高是h1厘米；下面的三角形底是a厘米，高是h2厘米。

師：現在，你能用字母運算解釋這個問題嗎？在學習單上寫一寫。

生板演匯報：ah÷2；

ah1÷2+ ah2÷2

=a（h1 + h2）÷2

=ah÷2

因此，左圖中涂色三角形的面積和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等。

師：這里，你用到了哪個運算律？

生：乘法分配律。

師：“a（h1 + h2）÷2”這一步是怎么得到“ah÷2”的呢？

生：從圖中我們可以看出，h1+h2 等于h，所以只要用h替換h1+h2 就可以得到了。

師：如果把右圖中兩個三角形的相同頂點挪到這里，它們的面積還相等嗎？挪到這里呢？這里呢？（課件依次呈現圖3中的各個圖形）

生：都相等。

師：為什么還和左邊三角形的面積相等？

生：因為兩個三角形的高之和還是和左邊三角形的高相等。

師：這個點可以在這個平行四邊形里任意一個位置嗎？

生：是的，只要這個點在平行四邊形里，兩邊涂色部分的面積就相等。

師：你是怎么知道的？

生：我們剛才用字母運算的時候，中間有一步h1+h2，它們的和與h相等，我們通過字母運算發現這個結論具有一般性，跟這個點在平行四邊形里的哪個位置沒有關系。

師：字母神奇嗎？為什么？

生1：它幫助我們得到了這個結論。

生2：用字母運算得出的結論具有一般性。

這個環節的教學仍然選擇從算術思維出發，讓學生先用具體的數字計算，再隱去圖中的數據，提出“如果這里沒有具體的數據，還能比較嗎？怎樣比？”這一問題，激活學生的代數思維。在學生用字母參與運算推理出結論之后，變換圖2右圖中三角形頂點的位置，啟發學生進一步思考，使其符號意識得以進階。

三、前后呼應，體會字母參與運算的必要性

師：還記得我們剛開始上課時玩的小游戲嗎？現在你們知道，教師為什么能猜到你們的計算結果都是1了嗎？誰能揭開謎底？

生1：我把心里想的這個數字用a來表示，根據游戲規則，可以列出算式（4a+12）÷4-a-2=a+3-a-2=1。

生2：我們可以看到，a在運算過程中抵消了，所以不管a是多少，最后的結果都是1。

師：融會貫通，你們都是愛思考的孩子，回到課題，你們覺得字母神奇嗎？為什么？

生：字母很神奇！用字母參與運算，可以幫助我們解釋規律、推理結論。

在“字母運算”教學結尾回應課始的問題，學生在“恍然大悟”中深刻體會到“運用字母進行推理”的好處，體驗到“運用字母參與問題解決”的神奇，感悟到“用字母”是數學表達與數學思考的重要形式，進一步發展了學生的推理意識，促使他們實現了符號意識的進階。

【點評】

朱建玲老師執教的《神奇的字母》，是基于新課標理念自主開發的一節課例。朱老師借助具體內容的教學，讓學生符號意識的培養得以有效落地，整個教學過程中蘊含著深刻的數學思考。回顧本節課，朱老師主要在以下幾個方面進行了挖掘和突破。

1.精選典型素材，引導學生體會字母參與運算的合理性

新課標加強了“用字母表示數”這部分內容的教學，以更好地發展學生的符號意識。如何選擇典型的素材幫助學生發展代數思維，是值得探討的話題。朱老師立足數和形這兩個維度，精選蘇教版三上“兩、三位數除以一位數”與五上“多邊形的面積”的相關練習題組，幫助學生理解知識的結構與關系。朱老師對習題進行加工和整合，提出“說說發現的規律”“通過字母運算解釋規律”等要求，引導學生運用已有經驗，逐步接納字母參與運算的合理性，這符合他們由特殊到一般的認知規律。

2.制造認知沖突，引導學生體會字母參與運算的應用性

基于學生學習的心理特點，制造認知沖突，可以更好地調動學生主動參與數學學習活動的積極性，引發他們思考。課始，朱老師創設“數學小魔術”游戲情境，學生按照游戲規則進行運算，最終得到運算的結果竟然都是1。這樣的設計，在學生的已有知識經驗與本節課“字母運算推理”的教學之間架起了橋梁，并讓學生對接下來的學習充滿期待。課尾，學生用習得的方法解密“數學小魔術”。在從認知沖突產生到矛盾解決的過程中，學生感受到字母運算可以幫助我們解釋規律、推理結論，增強了學習的成功體驗，體會到代數推理的實際應用性。

3.設置核心問題，引導學生體會字母參與運算的一般性

學生學習本身就是一個復雜的過程，需要教師精準把握教學重難點，并以此為基礎精心設計能夠引領學生深度思考的核心問題，將這個復雜的過程變成一個有意義的學習旅程。在探索算式里的規律這一環節，朱老師提出“用含有字母的式子解釋你發現的規律”這一要求；當通過第一組算式得到（10a-a）÷9=a，通過第二組算式得到（100a-a）÷9=11a之后，朱老師順勢提出“你能照樣子再往下寫一個字母表達式嗎？”這一問題，引導學生經歷一般化的表示、概括、推理等活動過程；在探索圖形里的規律這一環節，朱老師提出“如果這里沒有具體的數據，還能比較（它們的面積）嗎？”“如果把右圖中兩個三角形的相同頂點挪到這里，它們的面積還相等嗎？”等問題，啟發學生繼續深入探索。在整個學習過程中，朱老師還巧妙地設置“字母神奇嗎？為什么？”這一核心問題，帶領學生體驗由特殊到一般的思維方式，進而達成符號意識進階這一目標。

4.拉長學習過程，引導學生體會字母參與運算的必要性

要實現符號意識進階，需要學生在循序漸進的多種數學實踐活動中，經歷由簡單到復雜、由具體到抽象的數學化過程，感悟字母表示的簡潔性、概括性和一般性。例如，當得到如圖2所示的左圖中涂色三角形和右圖中兩個涂色三角形的面積之和相等之后，朱老師的教學并未止步，而是通過挪動右圖中兩個三角形相同頂點的位置，讓學生體會到用字母運算時中間有一步h1+h2，它們的和等于h。只要這個點在平行四邊形里，兩邊涂色部分的面積就相等。這樣教學，能讓學生進一步體會到字母運算推理的價值，從而對其作為一種思考和表達的重要形式形成認同。

總之，符號意識的培養不是一蹴而就的，需要教師根據學生的認知基礎和生活經驗，為他們提供合適的探究空間，不斷發展其識記、理解、應用符號的能力，從而促進他們有效達成符號意識進階的目標。

【參考文獻】

［1］孫曉天，張丹.義務教育數學課程標準（2022年版）課例式解讀（小學數學）［M］.北京：教育科學出版社，2022.

（作者單位：南京市金陵中學實驗小學，南京市建鄴區教師發展中心）