以學生為中心的概率論與數理統計教學創新和實踐

孫鴻雁　趙明　王翠香

摘? 要：該文通過分析概率論與數理統計教學中的問題，結合新時代人才需求，探索教學改革的有效途徑。打造以學生為主體，能力評價為指引，思政元素融入教學全過程的新型教學模式。以前沿性、科學性、生活化的應用背景為載體，借助愛課程精品課程、雨課堂、超星平臺和大數易作業系統等智慧教學平臺，實現學生自主學習，小組協作，同伴學習，培養學生的創新意識、團隊合作意識。從概率統計思想中發現思政元素，將課程思政滲透到教學中，樹立學生的社會主義核心價值觀；同時，提升教師綜合素養，踐行立德樹人的教育根本。

關鍵詞：案例；課程思政；雨課堂；教學模式；教學創新

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）16-0107-04

Abstract： By analyzing the problems in the teaching of Probability Theory and Mathematical Statistics and combining with the needs of talents in the new era， this paper explores the effective ways of teaching reform， andcreates a new teaching mode that takesstudents as the main body， ability evaluation as the guide， and ideological and political elements are integrated into the whole teaching process. Based on the previous application background of conformity， scientificalness and life orientation， with the help of such intelligent teaching platforms as the quality courses of Love Course， Rain Class， Superstar Platform， and Dashuyi Operation System， students can learn independently， cooperate in groups， and learn with peers， so as to cultivate their innovation awareness and team cooperation awareness. It discovers the ideological and political elements from the thought of probability and statistics， infiltrates the curriculum into teaching， and establishes students' socialist core values; At the same time， we should improve the comprehensive quality of teachers and implement the educational basic task of establishing morality and cultivating people.

Keywords： case; curriculum ideology and politics; Rain classroom; teaching mode; teaching innovation

數據爆發增長、海量集聚的特點，對經濟發展、社會治理、國家管理、人民生活都產生了重大影響。習近平總書記在中共中央政治局第二次集體學習實施國家大數據戰略時強調“審時度勢、精心謀劃、超前布局、力爭主動……推動實施國家大數據戰略……加快建設數字中國”。概率論與數理統計是學習使用統計方法數據處理的基礎，在大數據背景下，概率論與數理統計變得尤為重要，其中的理論與方法已被廣泛應用于工業、農業、軍事和科學技術中，比如預測和濾波被應用于空間技術和自動控制，時間序列分析被應用于石油勘測和經濟管理，馬爾科夫過程與點過程統計分析被應用于地震預測等方面，并向基礎學科、工科學科滲透[1]。傳統教學中，以教師講授為主，學生被動學習，學習效果不理想，主要存在以下幾個問題。

1）概率論與數理統計課程內容多而龐雜，抽象且較為難懂，加之課時少，單靠課上老師講解的方式，學生容易缺乏學習興趣和積極性，從而缺乏學習的動力，內驅力不足。同時，部分同學由于數學基礎不牢固，做不到課前預習與自主學習，自學能力欠缺。

2）考核方式主要是期末閉卷考試+平時作業+期中考試，考試內容重基本概念、公式的記憶和使用，導致學生缺乏學習力，學習不深入，浮于淺層次學習，知其然，不知其所以然。甚至所學內容考完試就忘了，只留下了概率論與數理統計課程難的印象。無法為后續學科提供支撐，也未達到培養創新型人才的需求。

3）課程教學中重知識和方法的傳授，家國情懷教育元素延伸不夠，思政元素融入不足，思政育人力度不夠。

為了順應新時代戰略需求和國務院“三全育人”的要求，完成立德樹人的根本任務，培養新時代應對新經濟挑戰的創新型人才，概率論與數理統計課程教學改革創新勢在必行。針對教學痛點問題，我們以概率統計思想方法為主線，建立以學生為中心，以培養學生的創新能力和科學素養為導向，思政元素融入教學全過程的新型教學模式。

一? 重整教學理念和教學目標

改變過去“滿堂灌”的情形，圍繞以學生為中心的理念，重整課堂，充分調動學生的學習積極性，發揮主動性，讓學生成為知識、信息加工的主體，成為知識意義的主動建構者。教師結合現代化技術手段，成為學生主動意義構建的幫助者、促進者，實現學生自主學習的局面，從而達成以下三個教學目標。

知識目標：通過直觀、生動的實際問題理解概率統計中的概念和定理，以及計算公式，建構概率論與數理統計課程的知識體系。

能力目標：以知識發現者的身份，探索知識，培養學生的數學思維、邏輯思維和批判性思維。以科研問題和實際問題為指引，培養學生解決問題的能力和創新意識。培養善于發現問題、建立模型、優化模型的意識，用概率統計的知識解決簡單的實際應用問題，為決策提供一定的指導。

素質目標：通過概率統計的發展史和著名概率統計學家孜孜不倦追求真理的事跡，以及概率統計前沿問題的探索，培養學生追求卓越、科學報國的情懷。融入思政元素[2]，培養學生的家國情懷、社會責任感，以及社會主義核心價值觀。

二? 教學創新與實踐

為實現以上三個教學目標，我們創新教學過程和方法以及課程評價方式。主要有以下三個方面的改革和創新。

（一）? 創新點一：以學生為主體，使用PBL教學方法

PBL是以問題為基礎的學習或基于項目的學習Problem Based Learning的縮寫，于1969年由美國神經病學教授Borrows在加拿大麥克馬斯特大學首創[3]。PBL教學法以問題為導向，在教師的引導下，“以學生為中心，以問題為基礎”，通過采用小組討論的形式，學生圍繞問題獨立收集資料，發現問題、解決問題，培養學生自主學習能力和創新能力的教學模式。

1? 構建概率統計應用案例庫，開展線上線下混合式教學模式

傳統教學以教師為中心，學生參與度不高，自學能力弱。針對這一問題，我們將課堂活動分為課前、課中和課后三個階段。取材于科學問題和實際問題，簡化模型，課前通過超星學習通發布課前作業，用案例引導學生梳理已學知識，并探索新知。針對學生自主預習難的問題，一方面，課題組分工合作，錄制短視頻，通過學習通發布給學生；錄制的視頻每節課在20分鐘左右，視頻中引入本節課的主要定義和定理，讓學生通過觀看視頻進行課程預習，降低自學難度，學生在課前對本節課的內容有初步的了解之后，課上能跟上老師的節奏，積極參與課堂互動， 課堂聽講效率有所提高；另一方面，精選網絡優質資源，篩選與我們教學進度吻合的名師講課視頻，分享給學生，供時間比較充裕的學生進一步自學使用。

設置課前任務，根據學生掌握的情況，調整課上解決難點問題的方案。比如，學完矩估計法之后，布置給學生一個案例作業：如何估計五道口地鐵周邊“青桔”單車的故障率？這里假設五道口附近每輛“青桔”單車的故障率相等，通過該問題，學生總結所學參數估計的方法；同時提出問題：“還有沒有其他的估計法？會不會得到不同的估計呢？”學生產生興趣后想要探究還有沒有其他估計法，通過發布的教學資源實現自主預習。學生預習后，自行完成課前任務，教師課前統計學生課前任務完成情況，根據學生答題情況，有針對性地調整課堂設計，解決學習的難點和重點問題。

課中通過雨課堂實時與學生互動，隨堂測試新學的知識點，發現學生掌握不扎實的問題，重點講解。以科學問題和實際問題為依托，以小組為單位，分工合作自主討論，而后教師總結分析，引導學生總結概率的理論和方法。比如，在介紹最大似然估計的泛函不變性時，教師先發布一個簡單的案例：已知一小時內到達西二旗地鐵站西直門方向的人數服從泊松分布，用最大似然估計法估計一小時內去地鐵站的人數。由于泊松分布的參數？姿為總體的均值，所以問題轉化為估計參數？姿，得到的最大似然估計為，那么若要用最大似然估計法估計a小時內到達西二旗地鐵站西直門方向的等車人數，還需要重新建立似然函數求解嗎？已有的結果能不能用？問題引導學生思考：參數函數的最大似然估計和參數的最大似然估計的關系。學生對該問題有了一定理解后，再提出最大似然估計的泛函不變性，學生會印象更加深刻，并且易于接受。

課后如果只發布檢驗知識點的作業會導致學生的課后復習流于表面，最后只會做幾道概率統計題，對概率統計思想理解不透徹。適當加入實踐教學環節，以應用為導向引導學生對課程內容進行復習、強化和應用，通過實例分析、設計實驗題目等讓學生自主實現，提高學生處理實際問題的能力，培養學生的數學素質。同時注重各部分知識的聯系和擴展，進行歸納對比，分析關鍵知識點之間的相同點與不同點，使學生深入理解，達到舉一反三的目的[4]。所以，課后除檢驗知識點的作業外，還外加應用案例題，學生通過團隊協作，提出方案，建立模型，解決問題，最后形成報告上傳到作業系統中。通過生生互評的方式，評價其他小組的方案，同伴相互學習，拓展思維，激發創造力。教師通過作業批改，進行教學反饋，總結不足加以改進，重新調整教案。比如，在最大似然估計一節，布置開放性問題，請同學自行尋找參數估計實際應用問題，用最大似然估計法求估計。

教學過程中，逐步建立課前課中課后使用的應用案例庫，不斷更新，實時加入趣味性和前沿性問題，更新迭代，推陳出新，以順應培養新時代新型人才的需求。

2? 合理設置任務，引導學生自主發現概率統計的概念和方法

在教學過程中，面對抽象難懂的概念，我們采取將問題拆解，設置學生能解決問題的方式，讓學生自己得出新的概念或定理。在學習數學期望時，學生可以很容易地理解離散型隨機變量期望的定義，而連續性隨機變量期望的定義很抽象，這時，我們先不提連續性隨機變量期望的定義。引導學生將連續性隨機變量離散化，用離散型隨機變量的期望去近似連續性隨機變量期望，此時學生意識到為了得到期望的精確值，只需對近似值取極限。整個過程下來，我們做了一套分割、求和、求極限的處理，這正是高等數學中積分的定義。經過這個過程，學生自己得出連續型隨機變量期望的定義。既幫助學生理解了抽象定義，又增強了學生的自信心。

3? 調整教學內容，修訂執行大綱

概率論與數理統計課程是理工科專業的重要課程，在后續研究中需要用到概率統計的方法處理數據，但本科階段48學時的內容往往不足以支撐后續使用，并且有些學院后續也不再開設相關課程，學生若要使用，需自學。為了與后續研究更好地銜接，我們調研，根據不同學院的需求，調整教學大綱，增加一些他們常用的統計方法的學習。比如，計算機科學及應用專業在做研究時，老師要求學生會用線性回歸和方差分析的方法，而本部分內容在教學大綱中沒有安排。我們在執行大綱中作調整，由于概率論基本概念中部分內容學生在中學時已學過，隨機變量數字特征部分基本概念簡單，計算部分主要使用高等數學積分計算的技巧，對學生來說相對熟悉，所以我們適當壓縮概率論基本概念和隨機變量數字特征部分的課時，勻出四課時用以介紹線性回歸和方差分析初步，引導學生對這兩類方法有一個直觀和初步的認識，了解它們處理的問題類型，為后續學習使用打下基礎。具體地，課程調整方案見表1。

4? 借助數學軟件實現可視化

概率論與數理統計課程有著很強的應用背景，探索利用通過多種數學軟件，可以最大程度擴展學生的知識面，使學生學到在傳統課堂教學中無法獲取的實用知識[5]，同時讓學生對抽象的知識有更加直觀的認識，加深對知識的理解。比如正態分布是一種常見的分布，在生活中很容易找到服從正態分布的隨機變量。在教學中，發布任務，讓學生在街頭收集男生/女生的身高，利用所得數據，做直方圖，將頂端用光滑曲線連接，觀察曲線與正態分布密度函數圖像的關系。再比如，學習大數定律時，讓學生借助于軟件產生足夠多的來自同一分布（比如指數分布）的隨機數，計算其平均，并與指數分布的均值進行比較；多做幾組，同學們會有什么發現。數據模擬可以將抽象的定理具象化，學生自然就理解了。

（二）? 創新點二：建立以能力為導向的多維度課程評價體系

學習一門課程，習得多少知識不是最重要的，掌握學習的能力是根本。將課前自主學習效果納入考核范疇，通過該方式督促學生自學，鍛煉學生自主學習的能力，提升學習力。課后的實際應用問題可以用以檢驗學生學以致用的能力，將該部分納入評價范疇，有評價有比較，學生更有動力去思考、觀察、搜索和討論，從而達到深層次學習。

課外通過學習通以及QQ群隨時和學生交流互動，及時解決學生學習上遇到的問題。通過大數易系統發布作業，應用該APP的分析功能了解學生的錯題情況和掌握情況，及時反饋。

（三）? 創新點三：以核心價值觀為引領，加強思政內涵建設

1? 專業知識和育人巧妙結合，落實三全育人

從關系國計民生的問題中抽象出概率統計的問題納入課堂，通過具體案例讓學生認識到“我也可以為身邊事出謀劃策”，激發學生的社會責任感。通過概率統計發展史中科學家的小故事，激發學生科技報國的崇高理想。

從概率統計的思想和理論延伸到哲學原理或者社會主義核心價值觀上，將自然科學理論升華。比如全概率公式就是化整為零的思想，正如我們面對困難時的處事方式，不畏難，將大問題拆解成多個小問題，各個擊破，最終攻克難題。講到小概率事件總有一天會發生時，鼓勵學生遇到困難時堅持一下，總有一天會成功的；談到幾何分布的無記憶性時，又看到在尋求成功的過程中，獨立重復的試驗導致前面的失敗次數并未縮短后續成功的時間，究其原因是：未從失敗中吸取經驗，單純的重復并沒有越來越接近成功。所以，失敗不可怕，總結經驗，加以改進，就會離成功越來越近。頻率和概率體現了現象和本質的關系，要抓住事物的本質，需得做大量的調查研究；同時也體現了偶然性和必然性的關系，看似偶然的現象，背后其實有必然的規律做指引。講到抽簽的公平性時，先設計投票讓學生選擇先抽還是后抽中簽的概率大，在這一過程中學生結合自己的經歷做出選擇。通過計算發現抽簽中簽概率與順序無關，從而引發學生思考，謙讓是美德，有時謙讓別人自己也并未損失，讓人也是助己。在學習貝葉斯公式時，引導學生解讀《狼來了》等經典故事，根據謊言前后可信度數值上的對比說明誠信的重要性[6]，等等。

2? 身教勝于言教，努力做好榜樣

不斷學習了解科研前沿問題，恰當融入課堂，用熱愛科學、投入科學的實際行動感染學生。關愛學生的學習和生活，以飽滿的熱情投入課堂，感染帶動學生。以認真嚴謹的態度，包容寬容耐心和愛心感化學生。潤物無聲，踐行立德樹人的教育根本。

三? 結束語

通過教學模式和教學內容的改變，教學取得初步成果，期末成績整體有所提高，教學的效果在整個教學過程的各個環節都有所體現。關于使用雨課堂的問卷調查（圖1）顯示，雨課堂上隨堂測試和點評提高了學生參與課堂的熱情，學生支持使用雨課堂。智慧教學平臺的加入使得課堂氣氛活躍，抬頭率大大提高。關于課前預習進行情況的問卷調查（圖2）發現自制的課前小視頻和明確的課前任務將課堂主要內容明確并簡化，能更好地幫助學生課前完成課前自主預習，自制視頻提高了學生的預習效率。課后的小組作業，激發了學生鞏固新知的動力，在問題的帶動下，學生積極探索用概率統計知識解決實際問題，做到學以致用。課堂上各小組輪流上臺報告小組調查的結果，學生展開討論，相互學習。課堂上穿插的名人事跡和價值觀引導有效調節課堂節奏，張弛有度，潛移默化地影響學生。

教學改革和教學創新不是一蹴而就的，我們將繼續探索，為培養新工科背景下，具備數學思維、數學素養和社會主義核心價值觀的新時代人才而努力！

參考文獻：

[1] 寧桂英.線上線下混合教學模式在概率論與數理統計課程中的應用[J].大學教育，2022（3）：129-131.

[2] 馬昕.《概率論與數理統計》課程思政教學改革的實踐與探索[J].高教學刊，2021（3）：135-138.

[3] 何勇.奧爾堡大學PBL教學法在《概率統計》課程中的應用和實現[J].考試周刊，2018（21）：1-2.

[4] 王慧麗.以應用為導向的概率統計教學改革與創新實踐探索[J].教育現代化，2019（26）：43-44，51.

[5] 王林，許峰.初探數學軟件輔助概率統計教學的改革探索[J].教育教學論壇，2016（31）：83-83.

[6] 孫立偉，莊桂敏，張玲，等.課程思政背景下“概率論與數理統計”教學創新的研究與實踐[J].科教文匯，2022（9）：85-88.

基金項目：國家自然科學基金項目“幾類分枝隨機游動的極限性質”（11601494）；北京市高教學會數學研究分會/北京交叉科學學會教育教改項目“《概率論與數理統計》教學中的科研訓練探索”（SXJC-2022-010）；中國地質大學（北京）2021年度本科教育質量提升計劃建設項目線上線下混合式課程建設項目“概率論”（HHSKE202108）；中國地質大學（北京）2021年度本科教育質量提升計劃建設項目教學研究與改革項目“線性代數的線上線下混合教學模式研究”（JG202144）

第一作者簡介：孫鴻雁（1985-），女，漢族，山東日照人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為概率論與數理統計。