2023年常州市中考數學第18題解法探究

李昕雨

摘? 要：文章從幾何角度出發，以中點為切入點，對2023年常州市中考數學第18題進行多解分析.幫助學生在復雜的動態幾何問題中抓住關鍵點，構建幾何模型，感悟轉化思想，形成解題思路.

關鍵詞：動態幾何；最值問題；中點；幾模模型；轉化

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0015-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：雨（2001.4—），女，江蘇省常州人，碩士研究生，從事中學數學教學研究.

幾何綜合題中的動態幾何最值問題在中考中頻頻出現，其常見思路有：將多動點問題轉化為單動點問題、設參數構造函數、建立坐標系等［1］.但在實際解題中，學生往往難以從復雜的幾何圖形中找到切入點，建立解題思路.基于此，筆者從幾何角度出發，對2023年常州市中考數學第18題進行深入分析，以中點為切入點構建相應的幾何模型，運用轉化思想形成解題思路，使學生能夠在較為復雜的動態幾何問題中抓住關鍵點，將幾何模型與思路方法相結合，提升學生的數學解題能力，發展其數學核心素養.

1 試題呈現

（2023年常州市中考數學第18題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC延長線上的一點，CD=2，M是邊BC上的一點（點M與B，C不重合），以CD，CM為鄰邊作平行四邊形CMND.連接AN，并取AN的中點P，連接PM，則PM的取值范圍是．

2 試題簡析

本題是一道動態幾何中的最值問題，主要考查中點的性質、中位線定理、等腰直角三角形、平行四邊形、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、函數最值等核心知識.解決本題的難點在于需要求解取值范圍的線段PM的兩個端點都是動點，且兩個動點之間的關聯方式較為復雜.這就需要抓住點P是AN中點這一關鍵條件，依據中點構建相關幾何模型，將復雜的動態關系轉化為清晰的幾何或函數關系，進而利用幾何或函數的有關知識求解.

3 思路與解法

思路1? 利用中點構造全等三角形

解法1? 如圖2，延長MP交AC于點E.因為四邊形CMND是平行四邊形，所以MN∥AD，所以∠AEP=∠NMP.又因為P是AN中點，所以PN=PA，∠NPM=∠APE，所以△MPN≌△EPA，所以PM=PE，即PM=EM/2，AE=MN=EC=2.在Rt△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC =4，所以∠ACB=45°，BC=42.作EF⊥BC并連接EB，則易得EF≤EM=2PM＜EB.易知EF=2，EB=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

評注? 解法1利用中點和平行構造“8字形”全等三角形，將雙動點問題轉化為單動點問題，便于觀察動態幾何圖形的變化，推理和判斷取最值時所處的臨界情況.

思路2? 利用中點構造中位線模型

解法2? 如圖3，取AC中點F，作平行四邊形BCFE，延長NM交EF于點G，連接AG.因為四邊形CMND和四邊形BCFE都是平行四邊形，所以GM∥FC，GF∥MC，所以四邊形GMCF為平行四邊形，所以GM=FC=DC=MN=2，即M為NG的中點.又點P是AN中點，所以由三角形的中位線定理得PM=AG/2.作AH⊥EF并連接AE，則易得AH≤AG=2PM＜AE，易知AH=2，AE=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

解法3? 延長AC到E使CE=AC，過點E作直線l∥BC，連接AM并延長交直線l于點F，作NG⊥EF，MH⊥EF，AI⊥BC，延長DN交MH于點J，則當點M在點I右邊時，如圖4所示；當點M在點I左邊時，如圖5所示.因為BC∥EF，所以 △ACM∽△AEF，所以AM/MF=AC/CE=1，即M為AF的中點，又因為P為AN的中點，所以由三角形的中位線定理可得PM=NF/2.因為四邊形JNGH是矩形，易知HG=2.因為AI∥MH，所以∠FMH=∠MAI.所以當點M在點I右邊時，FG=HG-MH·tan∠FMH=2-22tan∠MAI；當點M在點I左邊時，FG=HG+MH·tan∠FMH=2+22tan∠MAI.因為0°＜∠MAI＜45°，所以0≤FG＜32，所以NF=NG2+FG2=（2）2+FG2，易知2≤NF＜25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

評注? 解法2和解法3都通過構造三角形的中位線模型，得到長度為2PM的線段AG和NF.解法2中AG的兩個端點一定一動，便于求解取值范圍；而解法3中NF的兩個端點都是動點，求解取值范圍的過程就較為復雜.故構造三角形的中位線模型時，應盡量向定點轉化.

思路3? 利用中點和平行構造平行四邊形

解法4? 如圖6，連接MD，NC交于點O，連接PO.因為P，O分別是AN，NC的中點，所以PO∥AC∥MN，PO=AC/2=MN，所以四邊形MPON為平行四邊形，所以MP=ON=CN/2.作CE⊥DN，作平行四邊形BCDF并連接CF，則易得CE≤CN=2PM＜CF.易知CE=2，CF=25，所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

解法5? 如圖7，取DN中點E并連接PE，在PE上取點F，作NF∥MP，作FG⊥ND.因為P，E分別是AN，DN的中點，所以PE∥AD∥MN，PE=1/2AD=3.又因為NF∥MP，所以四邊形MPFN為平行四邊形，所以MP=NF且PF=MN=2.因為PE∥AD，所以∠PEN=∠D=45°，所以EG=FG=EF·sin∠PEN =2/2.設MC=x（0

ND/2=MC/2=x/2，NG=NE-EG=x/2-2/2，所以PM=NF=NG2+FG2=（x/2-2/2）2+1/2，所以x=2時，PMmin=22;x=42時，PMmax=5（取不到），PM取值范圍為2/2

≤PM＜5.

解法6? 如圖8，取AD中點E并連接PE，取MC中點F并連接PF，作PG⊥BC.因為P，E為AN，AD中點，所以PE∥DN∥BC，PE=1/2ND=1/2MC，所以PE=CF，PE∥CF，所以四邊形PFCE為平行四邊形，所以PF∥AC，PF=EC=1.所以∠PFB=∠ACB=45°，所以FG=PG=PF·sin∠PFB=2/2.設MF=x，則MC=2x，所以0＜2x＜42，即0＜x＜22.又PM =MG2+PG2=（x-22）2+1/2，所以PM取值范圍為22≤PM＜5.

評注? 以上三種解法都利用中點構造平行四邊形以獲得相關邊角的等量關系.其中，解法4又通過平行四邊形的對角線性質將雙動點問題轉化為單動點問題；解法5和解法6則通過設參數，根據勾股定理得到PM長度的函數表達式.

思路4? 利用解析法求解

解法7? 如圖9，以AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（0，6），所以BC的解析式為y=-x+4.因為M在BC上運動，所以M（a，4-a），N（a，6-a） （0＜a＜4）.易知P（a/2，3-a/2），易知PM=1/2（a-1）2+1/2（0＜a＜4），所以PM取值范圍為2/2≤PM＜5.

4 解題反思

解法1、解法2及解法4分別通過中點構造全等三角形、中位線和平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，便于觀察圖形的變化，易于得到線段取最值時所處的極限情況.

解法3、解法5及解法6先通過中點構造中位線、平行四邊形獲得相關邊角的值，再設參數建立線段長度的函數表達式，將幾何問題轉化為代數問題.解法7在建立平面直角坐標系后求得相關點的坐標或直線的函數表達式，再通過中點坐標公式獲得線段長度的函數表達式.

由此可以看出，中考試題綜合考查學生多方面的數學能力和數學素養，其中的動態幾何問題既考查學生對幾何核心知識的掌握，也考查學生解題思路的建構、解題方法的運用.教師在教學中既要打牢知識基礎，挖掘題目考查的核心知識，也要歸納總結，講解題目采用的普遍思路和方法，使學生能夠將知識和方法融會貫通，在學習中觸類旁通、舉一反三，從而培養數學思維，提高學習效率，進一步提升數學核心素養.

參考文獻：［1］ 周琛.幾何中動態最值問題的求解策略：一道中考壓軸題的思路及解法賞析［J］.初中數學教與學，2023（13）：26-28，43.

［責任編輯：李? 璟］