解題教學中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

關婷婷 黃金瑩

摘?要：本文以一道高考題為例，借助波利亞在其著作《怎樣解題》中提到的“怎樣解題表”，闡述具體解題教學過程，探索解題教學中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關鍵詞：核心素養(yǎng)；怎樣解題表；解題教學

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0026-03

最新《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）的頒布標志著核心素養(yǎng)時代的到來.《課標》中列出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體［1］.數(shù)學抽象是指會用數(shù)學的眼光看待世界，邏輯推理是指會用數(shù)學的思維思考世界，數(shù)學建模是指會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界.由此，數(shù)學抽象對應數(shù)學眼光；邏輯推理對應數(shù)學思維；數(shù)學建模對應數(shù)學語言.其中直觀想象是數(shù)學抽象的基礎，數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析是實現(xiàn)數(shù)學抽象，邏輯推理和數(shù)學建模的數(shù)學方法［2］.

波利亞在其著作《怎樣解題》中用“如何解題表”完整地闡述了解題的四個階段，分別為：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧［3］.這對教師如何在解題教學中提高學生的解題能力，有很大的啟發(fā).那么如何在解題教學中，利用波利亞的“如何解題表”提高學生數(shù)學的核心素養(yǎng)呢？下面用一道高考數(shù)學題為例，詳細闡述數(shù)學六大核心素養(yǎng)在波利亞“如何解題表”四階段中的作用，并提出相應的教學建議.

1 例題分析

（2022全國甲理16）已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.當ACAB取得最小值時，BD=.

1.1 理解題目階段

未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件是否充分？你能重新描述題目嗎？波利亞在此階段的問題串，將學生注意力集中在題目上，產(chǎn)生數(shù)學思維.這實際上是核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象和直觀想象在起作用.例如在本題中由已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD這一系列已知條件，利用數(shù)形結合的思想，抽象出已知條件所描繪的圖形.如圖1.

1.2 擬定方案階段

擬定方案階段是尋求有用思路的階段，解題思路是逐步形成的.通常需要喚醒相關的記憶，而難點在于太多題目與所求題目相關，怎么辨別真正實用的題目呢？這就需要運用邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學核心素養(yǎng).此階段是運用數(shù)學核心素養(yǎng)最豐富的階段.例如，由題目中已知條件邏輯推理出本題考查解三角形，再由解三角形找到兩條思路，分別為：（A）利用正弦定理和余弦定理求解題目；（B）由特殊角∠ADB=120°，利用直觀想象建立直角坐標系進行解題.以D為坐標原點，DC所在直線為x軸，過點D垂直于BC的直線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系.利用直觀想象素養(yǎng)，在圖2找出圖形與數(shù)量的關系.令BD=t（t>0），則C（2t，0），A（1，3），B（-t，0）.這時數(shù)學運算素養(yǎng)將分別對思路（A）和思路（B）選擇出合理的運算方式.其中（A）中選擇在△ABD和△ADC中運用余弦定理進行計算，（B）選擇坐標計算法.而邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，對兩條思路整理和建構.在頭腦中設計出完整的解題方案，最終確定合理的解題框架.比如（A）令BD=x，DC=2x，在△ABD中，利用余弦定理可以得出AB關于x的表達式.同理在△ADC中由∠ADB=120°，邏輯推理出∠ADC=180°-120°=60°.利用余弦定理得出AC關于x的表達式，將AB和AC帶入AC2AB2得到一個關于未知量x的分式.（B）在直角坐標系中利用兩點間距離公式，將C（2t，0），A（1，3），B（-t，0）帶入AC2AB2得到一個關于未知量t的分式.如上述在頭腦中搭建全部思路的過程，實際上運用的是數(shù)學建模思想.再由邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)，推斷出思路（B）計算更加簡潔，優(yōu)先考慮.

1.3 執(zhí)行方案階段

在執(zhí)行方案階段，學生已經(jīng)構造出解題的框架，接下來最需要的就是耐心.在這個階段起到作用的是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).例如，利用直角坐標系中的兩點間距離公式得到AC=（2t-1）2+3;AB=（t+1）2+3，帶入題中ACAB.邏輯推理判斷出將上述式子平方后帶入AC2AB2更加方便后續(xù)計算.數(shù)學運算素養(yǎng)在執(zhí)行方案階段占據(jù)主要地位，例如AC2AB2=（2t-1）2+3（t+1）2+3=4-12t+1+3/t+1，運用分離常數(shù)的計算技巧，直觀想象洞察出分母t+1+3/t+1（t＞0），符合基本不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0）.

1.4 回顧階段

首先，學生需要檢驗t+1+3/（t+1）是否符合基本不等式的條件，這個過程起作用的是邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；其次，需要整體梳理解題思路，直觀想象發(fā)現(xiàn)思路，邏輯推理探索思路，數(shù)學運算執(zhí)行解題思路；最后，利用數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模思想形成整體解題框架，納入已獲得的知識體系中.

2 解題教學中培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的教學建議

2.1 理解題目階段

在理解題目階段，如何培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)？首先培養(yǎng)學生用直觀化策略解決問題的習慣.學生理解題目的語言陳述，教師對此進行檢查，比如：請學生復述題目；指出已知量，未知量，將文字語言轉化為符號語言等.題目中已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°.針對這樣的文字描述，引導學生在題目所描繪的情境中，抽象出數(shù)學圖形.

其次在教學中強化相關知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生抽象思維素養(yǎng)的深刻性.看到題目能夠去粗取精，快速地找到突破點.比如解三角形教學時，將平面向量、基本不等式等相關知識串聯(lián)在一起，形成知識網(wǎng)絡.

2.2 擬定方案階段

從理解題目到找到解題方案是一個漫長曲折的過程，首先學生要逐漸形成解題思路，這也是最困難的一步.在學生尋找解題思路不順利時，教師要聯(lián)想自己的解題經(jīng)歷，適當?shù)赜貌煌膯栴}啟發(fā)學生.比如：你能回想起與它有關的題目嗎？觀察未知量和已知量，嘗試找到它們之間的橋梁.全部的已知條件都用到了嗎？比如看到∠ADB=120°，聯(lián)想到數(shù)形結合，將三角形放入直角坐標系中.

其次提高學生直觀想象素養(yǎng)，要重視培養(yǎng)學生積累基本知識點和基本圖形的習慣，這樣才能在做題中化具體為抽象、化無形為有形.例如，由△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD發(fā)現(xiàn)思路（A），由∠ADB=120°特殊角發(fā)現(xiàn)思路（B）.當學生發(fā)現(xiàn)多條思路時，教師需要提高學生邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，綜合建構解題框架，并準確地判斷合理方案.邏輯推理需要雄厚的知識積累，教師可以讓學生重新敘述題目，找到題目相關的知識，檢驗學生是否深刻理解題目.那么如何提高學生邏輯推理的靈活性？教師需要有意地鍛煉學生的發(fā)散思維和想象力，從而提高判斷合理解題方案的準確性.

2.3 執(zhí)行方案階段

首先在執(zhí)行方案階段，教師要做的是堅持讓學生檢查每一細節(jié)，推演每一步的合理性，培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).比如由AC/AB推導出采用更方便的AC2/AB2.

其次，由于擬定方案階段會出現(xiàn)兩種情況，一是學生獨立形成的解題框架，二是學生在同伴或者教師的影響下擬定的解題方案.如果是第二種情況，學生很容易在執(zhí)行方案階段忘記了擬定好的方案.教師需要在恰當?shù)臅r機提醒學生“應該從哪里開始”.還可以讓學生區(qū)別“看出”和“證出”，這是兩種不同的概念.“看出”不一定是正確，只有合理的“證出”才是最終正確答案，同時培養(yǎng)數(shù)學直觀和邏輯推理核心素養(yǎng).

最后，執(zhí)行方案階段是提高學生數(shù)學運算素養(yǎng)的最好時機，并且數(shù)學運算素養(yǎng)貫穿始終.教師可以引導學生帶著思考進行運算，先慢后快.清晰明確計算步驟，對運算規(guī)律進行積累，潛移默化地培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).

2.4 回顧階段

這是最容易忽略卻最能提高解題能力的階段.即便是優(yōu)秀的學生，在解答了題目之后也會習慣地認為這個題目徹底完成了.首先，教師需要讓學生意識到：沒有題目是徹底完成了的，需要繼續(xù)深化對答案的理解，重新斟酌解題過程，嘗試改進解答方法.比如，闡述本題中產(chǎn)生的思路（A）和（B），為什么選擇（B）作為解題方案？

其次，教師可以利用讓學生適當改編題目，使之更加適應思路（A）的方式提高邏輯推理、數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).

最后，對于已經(jīng)總結出來的解題框架，要尋找其他適用此框架的題目，這些題目具體解釋題目中的抽象的數(shù)學元素，又提高了直觀想象的能力.

3 結束語

數(shù)學核心素養(yǎng)的形成依賴基礎知識和基本技能，又高于基本思想和基本活動經(jīng)驗.解題課中首先要重視學生基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的積累，其次要重視數(shù)學題之間、數(shù)學解題方法和其他學科的聯(lián)系，循序漸進地培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[2] 魏珂，胡典順.基于“數(shù)學核心素養(yǎng)”視角下的解題教學：從波利亞解題思想出發(fā)[J].中學數(shù)學，2017（08）：95-97.

[3] G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

［責任編輯：李?璟］