思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

陳麗紅

摘?要：思維導(dǎo)圖是一種圖形化的工具，可以幫助學(xué)生整理和梳理知識，更好地理解和記憶知識點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，思維導(dǎo)圖可以起到很大的作用.本文將介紹思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用實(shí)踐

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0032-03

思維導(dǎo)圖是一種以圖形方式展現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)和思維模式的工具，可以幫助學(xué)生更好地理清知識點(diǎn)之間的關(guān)系，提高思維的邏輯性和條理性.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，思維導(dǎo)圖的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識、掌握解題方法、提高解題效率［1］.本文將探討思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐，旨在為教師和學(xué)生提供一種有效的教學(xué)工具，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的提升.

1 巧用思維導(dǎo)圖，解決集合問題

例1?已知集合M=-2，-1，0，1，2，N=xx2-x-6≥0，則M∩N= （??）.

A．-2，-1，0，1???B．0，1，2

C．-2D．2

答案：C.

詳解?方法1?因為N=xx2-x-6≥0=-8

，-2∪3，+8

，而M=-2，-1，0，1，2，所以M∩N=-2．

故選C．

方法2?因為M=-2，-1，0，1，2，將-2，-1，0，1，2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以M∩N=-2．

故選C．

2 巧用思維導(dǎo)圖，解決平面向量最值問題

例2?已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則PA·PD的最大值為（??）.

A．1+22?B．1+222

C．1+2?D．2+2

答案：A

詳解?如圖1所示，OA=1，OP=2，則由題意可知：∠APO=

45°，由勾股定理可得PA=OP2-OA2=1.

當(dāng)點(diǎn)A，D位于直線PO異側(cè)時，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD=|PA|·|PD|cosα+π4=1×2cosαcosα+π4=2cosα22cosα-22sinα=cos2α-sinαcosα=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin2α-π4，∵

0≤α≤π4，∴-π4≤2α-π4≤π4.

∴當(dāng)2α-π4=-π4時，PA·PD有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)A，D位于直線PO同側(cè)時，如圖2所示，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，

則PA·PD=|PA|·|PD|cosα-π4=1×2cosαcosα-π4=2cosα22cosα+22sinα=cos2α+sinαcosα=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin2α+π4，

∵0≤α≤π4，∴π4≤2α+π4≤π2.

∴當(dāng)2α+π4=π2時，PA·PD有最大值1+22.

綜上可得，PA·PD的最大值為1+22.

故選A.

3 巧用思維導(dǎo)圖，解決三角形面積問題

例3?在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinB+π+bcos5π6-A=0，a=15，若點(diǎn)M滿足BM=25BC，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（??）.

A．3037?B．30314?C．225314?D．135314

答案：D

詳解?由正弦定理及誘導(dǎo)公式，可得：

asinB+π+bcos5π6-A=0

-sinAsinB+sinB-32cosA+12sinA=0，

∵sinB>0，

化簡得：sinA+3cosA=0tanA=-3，

又A∈0，π，則A=2π3.

又BM=25BC，則 BM=6，MC=9.

因∠MAB=∠MBA，則∠MAC=2π3-B，∠MCA=π3-B，則在△MAC中，MCsin∠MAC=MAsin∠MCA9sin2π3-B=6sinπ3-B，解得tanB=35.

所以sin∠AMC=sin2B=2tanB1+tan2B=5314.

所以在△MAC中，邊AM對應(yīng)高h(yuǎn)=6×5314=1537，

所以在△MAC面積S=12×9×1537=135314．

思維導(dǎo)圖

4 ?巧用思維導(dǎo)圖，解決數(shù)列問題例4?記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若S4=-5，S6=21S2，則S8= （??）．

A．120??B．85??C．-85??D．-120

答案：C.

詳解?方法1?設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項為a1，若q=1，則S6=6a1=3×2a1=3S2，與題意不符，所以q≠1；

由S4=-5，S6=21S2可得，a11-q41-q=-5，a11-q61-q=21×a11-q21-q①，

由①可得，1+q2+q4=21，解得：q2=4，

所以S8=a11-q81-q=a11-q41-q×1+q4=-5×1+16=-85．

故選C.

方法2?設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為S4=-5，S6=21S2，所以q≠-1，否則S4=0，從而，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比數(shù)列，

所以有-5-S22=S221S2+5，解得：S2=-1或S2=

54，

當(dāng)S2=-1時，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6，即為-1，-4，-16，S8+21，易知，S8+21=-64，即S8=-85；

當(dāng)S2=54時，S4=a1+a2+a3+a4=（a1+a2）（1+q2）=1+q2S2>0，與S4=-5矛盾，舍去．

故選C．

5 巧用思維導(dǎo)圖，解決圓錐曲線問題

例5?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A=-23F2B，則C的離心率為．

答案：355

詳解?依題意，如圖3所示，設(shè)AF2=2m，則BF2=3m=BF1，AF1=2a+2m，在Rt△ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，則（a+3m）（a-m）=0，故a=m或a=-3m （舍去），所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，則AB=5a，故cos∠F1AF2=AF1AB=4a5a=45，所以在

△AF1F2中，cos∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45，整理得5c2=9a2，故e=ca=355.

6 結(jié)束語

思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生整理知識、建立清晰的思維框架，促進(jìn)系統(tǒng)思維和創(chuàng)造性思維，提高解題效率和準(zhǔn)確性，培養(yǎng)綜合分析和解決問題的能力，并養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和方法，從而提高學(xué)習(xí)效果.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中需要注重知識獲取，同時要注重理論與實(shí)踐相結(jié)合.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該著重思考如何有效提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，可以運(yùn)用思維導(dǎo)圖等工具來幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識.通過這樣的方式，可以減輕教學(xué)壓力，促進(jìn)師生之間良好的互動關(guān)系，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］金忠蓮.思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2023（15）：17-19.

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