有限元方法課程理論教學改革研究與設計

關鍵詞：有限元方法；教學改革；農業機械；雙語教學

0 引言

有限元方法（finiteelementmethod，FEM）是基于近代計算機的快速發展而發展起來的一種近似數值方法，用來解決力學、數學中的帶有特定邊界條件的偏微分方程問題，這些偏微分方程是求解各類復雜科學和工程問題的工具。有限元方法和計算機發展共同構成了現代計算力學的基礎[1]。有限元方法課程是青島農業大學農業機械工程專業碩士研究生重要的必修課程之一。不僅為學生提供扎實的力學、數學基礎理論知識用于學科領域的更深層次的科研工作，還為學生利用大型商用有限元分析軟件（如ANSYS、ABAQUS等）采用計算機輔助工程（computeraidedengineering，CAE）方法解決農業工程中的實際問題提供了基本的學科理論知識素養，使學生能夠更加快速地上手和借助軟件解決農業機械研制過程中復雜結構的強度、剛度、屈曲穩定性、動力響應和疲勞斷裂等力學性能的分析、物理場計算及結構性能的優化設計，提高農機產品設計的效率和質量，為社會培養合格的CAE技術人才。

目前，國內開設有限元方法課程的院校很多，不僅在航空航天飛行器制造、船舶工業、汽車工業和土木建筑等工科領域，甚至生物學、醫學領域都有越來越深層次的應用[2]。但課程普遍存在內容繁雜、不連貫、重點內容不突出，有限元方法與商用有限元軟件脫節，試驗環節匱乏及未突出專業特色等問題，使得學生普遍反映課程太難，理論知識晦澀難懂等問題，造成課程耗時長但實際收效低的局面[3-4]。因此，本研究對有限元方法課程理論教學部分進行改革，從學生易學、愿學、好學和學好的角度，系統梳理和優化現有課程內容，使理論課程內容更加契合農業機械工程專業研究生高素質人才培養的目標，提高人才培養水平，即具有更深層次科學研究的扎實理論基礎，具備工程分析、實踐和解決實際問題的能力，具備前沿資料的查閱能力和國際化的視野，緊跟專業領域的發展趨勢和科技發展的步伐。

1 存在問題

1.1 課程內容繁雜、不連貫，重點不突出

有限元分析課程是建立在機械原理、理論力學、材料力學、農業機械學、CAD機械設計、高等數學和線性代數等多門前期課程基礎上，對學生數學、力學、機械結構等基礎知識要求高，以及現有課程普遍存在內容繁雜、前后知識不連貫、重點不突出、知識點零散及難以做到循序漸進等問題，使得課程內容晦澀難懂，學習難度大。

1.2 有限元方法與商用有限元軟件之間脫節

有限元方法課程和有限元軟件屬于不同的概念，但對于需要工程化實際應用的工科碩士生而言，有限元方法課程學習是大型商業軟件使用的知識儲備基礎。但是課程多采用桿、梁、門型框架結構及簡單三維立體結構等作為實例，距離具有龐大網格數量的實際工程結構的有限元分析存在較大的差距，有限元方法課程理論與實際工程實踐應用脫節。

1.3 驗證數值計算試驗環節匱乏

有限元方法課程所給出的實例多屬于固定幾何結構模型的解析求解和有限元法求解，通過Matlab或者ANSYS等軟件實現計算和仿真。這些模型結構相對簡單，如由兩個垂直梁和一個橫梁組成的門型框架結構，類似的實例應該在給出計算和仿真的同時進行實物試驗，并對比各環節結果，建立起客觀物理存在與理論分析之間的對比驗證，使學生收獲完整的認知閉環。

1.4 缺乏專業特色

有限元分析課程理論知識適用于各種不同的學科領域，不同的學科普遍采用典型的實例進行理論分析和仿真驗證，這些實例有非常典型的代表性，或者在不同領域都具有適應性，但是缺乏專業特色。農業機械工程專業可適當引入一些農業機械關鍵部件的有限元分析實例，如拖拉機傳動系統優化設計[5]、旋耕機刀片結構受載有限元分析[6]、蔬菜移栽機取苗驅動裝置優化與結構減震研究[7]及玉米收獲機果穗箱支架結構優化設計[8]等，為學生提供專業方向引導。

2 理論教學內容體系建立

有限元方法課程授課面對的是碩士研究生，理論知識的深造是課程的重中之重。只有打好理論基礎，才能研究更深層次的內容，才能更好地理解知識，實現有效的工程應用。尤其是新材料、新技術、新領域不斷涌現，掌握扎實的理論知識可以應用到不同領域，以不變應萬變、舉一反三。因此，在系統梳理有限元方法理論知識體系的基礎上，找準關鍵節點、化繁為簡，采用符合知識學習規律的方式循序漸進地調整課程內容，調整后的內容主要包括以下4部分。

2.1 基本數學、力學概念和學科常識的系統化講解

（1）力學體系和力學分類。力學分為質點力學、剛體力學和變形體力學等，不同情況、不同學科領域的力學知識構成一個龐大而復雜的系統。學生在學習時面對各種不斷出現的力學名詞和求解條件而感到茫然，思維適應性轉變遲滯。改革后，采用對比的方式給出不同力學類別問題的基本變量、基本方程及求解方式，建立力學系統整體概念，給出有限元方法在整個學科的定位，便于學生建立力學體系，加深對有限元方法的理解。

（2）基本參數和基本概念體系。通過特定材料拉伸試驗，從力的平衡、變形狀態、材料行為描述材料的力學行為、建立基本的力學概念。逐步推導和建立起的3大類變量（位移、應力、應變）和3大類方程（力的平衡方程、幾何變形方程、物理本構方程）。將1D、2D和3D問題進行匯總和比較，便于學生理解和對比記憶。

（3）全域和子域的概念及函數逼近的方法。基于全域的函數逼近方法：采用定義在全域上的基底函數的線性組合對原函數逼近，基底函數高次連續，僅采用幾個基底函數便能夠得到較高的逼近精度。基于子域的函數逼近方法：采用線性函數在子域上分段展開，在每個子域用不同的線性函數逼近，然后求和逼近原始函數。建立科學的概念體系，準確理解不同求解方法的原理。

（4）力學描述的思路，形成有限元方法的求解思想。對于簡單幾何形狀（如桿、梁等）采用材料力學的特征建模方法，直接針對對象建模。建立線性方程或二階微分方程用于分析拉伸、扭轉和彎曲。對于任意復雜幾何形狀，采用通用建模方法，從對象中取出微小體元建立3大類變量和3大類方程，通過求解偏微分方程獲得力學對象描述。

（5）幾何形狀復雜、邊界條件復雜的變形體力學描述。系統講解連續性、均勻性、各向同性、線彈性和小變形5個假定提出的目的及意義。給出取內部微元體，建立3大類變量+3大類方程+2類邊界條件描述復雜形狀變形體力學問題，通過求解方程獲得應力、應變和位移分量的過程。

2.2 復雜變形體力學方程求解的經典試函數方法

在幾何形狀和邊界條件都復雜的情況下，在給定邊界條件下針對3大類變量和3大類方程采用直接求解的方法（如解析法、半解析法和差分法）非常困難，尤其是復雜的3D問題。采用試函數方法，可大大降低求解難度，試函數法分類及求解步驟如圖1所示[9]。學習試函數方法是有限元方法求解微元體偏微分方程的基礎。詳細介紹有限單元力學方程求解的基本方法：加權殘值法和基于能量原理求解試函數的方法。分析求解過程。試函數的選取非常關鍵，直接影響求解結果。

2.3 復雜變形體求解的有限元方法思想及基本性質

系統講授有限元方法思想。如圖2所示，將復雜幾何體進行全域離散，分段、分片和分塊（標準幾何劃分形成單元庫，注意高階及復雜單元的處理），在標準化微小單元上進行場描述，形成單元位移場函數、應變場函數和引力場函數。根據能量原理在單元上構造試函數并建立力學方程，形成單元剛度方程。將單元拼接集成形成整體剛度方程。處理位移邊界條件獲得所有節點位移值，計算約束支反力，并計算單元應力、應變等其他物理量。同時計算有限元分析數值解的精度、性質與誤差，給出控制誤差、提高精度的方法，以及梁單元、空間幾何體的實例展示有限元方法的求解過程。

2.4 Matlab和ANSYS軟件應用

Matlab是功能強大的數學軟件，利用Matlab進行有限元分析是工程領域重要的研究手段之一，可以解決許多復雜的物理系統問題，如結構力學問題、流體或熱傳導問題等。Matlab提供了1D～3D的有限元求解函數，如表1所示。ANSYS是融結構、流體、電場、磁場和聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，功能強、操作簡單方便，是國際流行的有限元分析軟件之一[10]。課程通過實例給出Matlab、ANSYS有限元分析過程，演示復雜幾何變形體的求解計算過程，提供農業機械工程專業碩士生必不可少的科研工具和必備技能，為新材料、新結構和新技術的研究及新領域的開拓提供重要的研究手段。

3 教學改革引入新內容

3.1 雙語教學

（1）主流有限元軟件使用需求。在有限元仿真軟件領域，已形成了ANSYS（Workbench、LS-DYNA、nCode、Fluent、Maxwell）、DassultSystems（Abaqus、CATIA、PowerFLOW、CSTStudioSuite）、Altair（HyperMesh、OptiStruct、EDEM、PBS）、MSC和Siemens為主的局面[11]。國產有限元仿真軟件少，投入商用的更少。學生在進行復雜幾何模型計算機數值分析時，要想熟練使用這些全英文軟件，需要掌握英文專業術語，才能查看英文材料獲得第一手信息。如使用Abaqus時，其幫助文件提供了從基礎理論到工程實踐過程的綜合性文件，提供原始的理論模型，能夠詳盡地解釋有限元理論所涉及的數學、力學及建模過程的原理，英文原版資料降低了學生吸收錯誤知識的幾率。

（2）閱讀外文文獻需求。目前，世界重要的期刊和前沿科技信息大部分是使用英文，有限元方法的發展過程和重要書籍也是外文資料。為了閱讀、撰寫和投稿，需要提升英文水平，引入雙語教學后，課程專業術語得到積累，有利于形成關鍵字，便于查閱論文、網站資源，形成研究生的一項基本能力。

3.2 經典科技作品查閱和導讀

想要學好有限元方法課程，只上一門課程或者只看一本書得到的知識是有限的，引入經典書籍和前沿科技論文的閱讀，是拓展課程知識、學科視野、加深知識理解的重要途經。可以在課堂上選取部分章節學習，閱讀作業可以作為平時成績計入學科總成績。如圖3所示，給出部分經典的有限元書籍，除此以外，《AFirstCourseinFiniteElements》《TheFiniteElementMethod》《TheFiniteElementMethod：LinearStaticandDynamicFiniteElementAnalysis》《ComputingwithHp-adaptiveFiniteElements》和《EnergyandFiniteElementMethodsinStructuralMechanics》也是比較好的書籍，課程可以提供電子版的閱讀材料。

3.3 引入具有專業特色的實際工程案例

由于計算機大規模計算能力的提升，有限元數值分析軟件功能越來越強大，應用范圍越來越廣。以ANSYSWorkbench為例，可以對復雜機械系統的結構靜力學、結構動力學、剛體動力學、流體動力學、結構熱、電磁場及耦合場等進行分析模擬。有限元方法課程內容偏重于力學和數學理論基礎求解，研究對象雖然是復雜幾何變形體，但是實例的網格單元數有限，即使采用Matlab和ANSYS，也僅是門型框架結構、簡單空間結構，距離具有龐大網格數量的實際工程結構的有限元分析存在較大的差距，學生學完課程后依然很難與實際工程項目建立聯系。因此，課程引入復雜系統有限元分析實例，將有助于學生了解工程實際應用，掌握有限元方法在CAE分析中的作用。對于農業機械工程專業，課程可以重點引入與農業機械專業相關的有限元仿真過程，如利用ANSYSWorkbench實現全自動蔬菜穴盤苗移栽機栽植機構有限元仿真分析，如圖4所示[12-15]。由于復雜系統的有限元分析計算對計算機配置要求高，數值計算所需時間長，因此這種分析過程在實驗室或者課堂上通過事先錄制視頻的形式向學生展示，可以建立相應的視頻庫，開拓學生的視野和思路。

4 結束語

從課程存在問題分析、建立新的有限元方法課程理論教學內容體系、引入有限元方法教學改革新內容3個方面闡述了有限元方法課程的理論教學部分的內容與改革。系統地梳理了課程重點知識、整理了授課思路，采用符合知識學習規律的方式循序漸進地調整課程內容。同時引入雙語教學、經典科技作品查閱和導讀、計算機有限元數值計算軟件的工程實際應用案例實現課程改革，實現課程內容的完善和補充。

改革后，授課內容重點突出、循序漸進，繁雜知識點得到了很好地梳理，學生思路清晰，克服了由于數學、力學基礎知識不扎實而造成的聽不懂現象，準確建立學科知識體系概念，清晰地明確課程在學科中的定位和工程應用中的作用。課程改革取得良好的教學效果，學生整體學習成績上升。同時由于雙語教學、經典外文書籍薦讀，學生英語搜索、閱讀、撰寫和投稿水平得到提升，形成了研究生的一項基本能力。因此，改革有助于學生獲得扎實的理論基礎，具備工程分析、實踐和解決實際問題的能力，具備前沿資料的查閱能力、國際化的視野，緊跟專業領域的發展趨勢和科技發展的步伐，為將來開展更深層次的研究和行業工程應用打下堅實的基礎。