關于高中數學課堂非預設性生成的思考

摘" 要：隨著新課改的深入，數學課堂越來越強調學生的主體地位，發展學生的創造性思維。高中數學課堂充滿變數，隨時有可能出現非預設性生成。數學教師尤其是新手教師，在遇到此類問題時，應有意識地將意外預設轉化為精彩生成，以保證課堂的有序進行。文章將對一次尷尬的教學經歷進行分析反思，為新手數學教師遭遇課堂非預設生成提供一些實際參考。

關鍵詞：非預設性生成;高中數學;課堂教學

新課程改革正如火如荼地進行著，隨著改革深入，數學教學越來越強調學生的主體地位，越來越關注學生思維能力的提高。特別是在高中階段，學生的抽象思維能力和創新思維能力相對成熟，因此課堂更具開放性。現代數學課堂的教學模式不是基于教師預先設定的方式方法循序漸進的，而是在教師預設課堂中可能發生事件的基礎上，引導學生通過師生互動的形式完成教學任務。因此在這樣的一個發揮學生主觀能動性的過程中，常常會發生非預設性生成現象，教師應結合教學實際，有效應對。

一、非預設性生成現象

教師在備課的過程中，通常需要對教學過程的每個環節進行設計，對課堂中可能出現的情況進行設想，從而產生預設性生成。但作為新手教師，實際教學經驗不多，課堂常會出現一些無法預設的情況。比如教師在一次習題課中，由于缺少教學經驗，不知道學生對本節課知識點深度了解的情況，并缺少對一節課時間的把握，導致在課前準備的教學任務沒有完成，拉長了課時計劃。若此類問題不加以解決，對教學進程無疑有巨大影響。類似于這種無法提前設想到的場景和情況，就是非預設事件。這種事件對新手數學教師來說是一個十分大的挑戰，但同時也是十分寶貴的教學資源。

作為新手教師應盡可能地調用自己的教學智慧，在促進預設生成的同時善于及時捕捉學生“非預設性生成”的思想火花，深挖其中蘊含的課程知識、教學方法、數學思維能力等方面的價值，并加以利用，促進更多的“非預設性生成”，使學生沖破教學框架，將課堂真正還給學生。

二、高中數學課堂中的非預設性生成教學案例

（一）案例一：點的軌跡方程

在學習“圓的方程”后，教師呈現書中例題：已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓（x+1）2+y2=4上運動。求線段AB的中點M的軌跡方程。

本題主要關鍵點是建立點M與點A坐標之間的關系，之后利用點A的坐標得到點M坐標滿足的關系式，求出點M的軌跡方程。原預設是學生設出點M與點A坐標，再說出兩點的關系，以及帶回表達式化簡，通過學生口述的方式獲得該題的解題思路。但是在學生實際回答時卻出現偏差。

學生1：設點A（a，），則M

，

，令=m，=n，接著求m、n的關系。

教師在看到學生解答時，不禁犯了難，這是在預設時沒想到的方法。作為教師，看到一類題時或許可以自然而然地想到常用解答方法或簡便方法。但學生大多是第一次學習這一知識，只能用認知的解法，并未成功地與新學知識融會貫通。這時就可能會出現“死算”“硬解”，甚至在這題中解點A縱坐標時忘記了“±”。在短暫空白后，教師只能請學生回到座位，為了回歸預設，便自己為學生解答該題。

但教師不能因為學生的回答和自己心中的標準答案不符而不加以研究，而應首先糾正學生出現的錯誤。當學生給出錯誤答案時，教師應該及時指出他們的錯誤，并解釋正確的解題思路。這樣可以幫助學生認識到自己的錯誤，并避免其固化錯誤的觀念;之后，要告訴學生，他們的思路并沒有問題，只是所選擇的方法在較為復雜難以求解。教師可以鼓勵其他學生嘗試使用不同的方法來解答問題，并找一個能夠得出正確答案的學生來完成這道題目。然后，教師可以回頭檢驗這個學生所使用的方法是否正確。通過這種推理論證的方式，可以驗證學生所使用的方法是否正確，并給予他們積極的反饋。這樣的做法既不會打擊學生的自信心，又有助于學生理清思路。同時，學生也能夠感受到相關解法在數學解題中的優勢，從而使運算變得更加簡便。通過這種方式，教師可以引導學生在解決問題時靈活運用不同的方法，培養其問題解決能力和創新思維。

（二）案例二：圓的最值問題

學習“圓的標準方程”時，教師展示例題：已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線上l：x-y+1=0，求圓心為C的圓的標準方程。

該題對習題拔高顯得有些簡單，為使題目立意升值，教師結合歷年高考題改編兩個追問，使題目綜合性變強，難度也隨之上升。本意是希望學生感悟圓的方程的題型變換以及初觸高考題，但不料課堂中處處碰壁。

追問1：若平面內有一點P（-1，1），過點P作直線m交圓C于M、N兩點，判斷點P與圓的位置關系，并求出弦長MN最小值。

學生已經對“垂徑定理”有所掌握，看到弦長會自然而然想到使用“垂徑定理”或是弦長公式。題目要求MN最小值說明有極限的情況，學生只需找到這種情況就可以獲得答案。但在實際教學中，學生能找到特殊情況，但并不能解釋這樣做的原因。

學生2：連接CP，kCP=，kMN=-，lMN：2x+3y-1=0。

教師打斷道：我們要求的是什么呢？我們是不是應該先把要求的MN表示出來？你剛才說垂直CP時MN最小，你怎么知道這時候它最小呢？

學生2說不出話，教師在此時和學生一樣感覺到尷尬，不知道如何引導學生說出想要的答案，為使課程繼續，教師又請了一位學生講述解答過程。

學生3：設直線MN斜率為k，把過點P的直線用k表示出來，和圓的方程聯立，求出點M、N的坐標求兩點距離。

這時又超出了教師預想，學生并沒有沿著教師提出問題的思路解題，而是另辟蹊徑，換了常規方法進行解答。方法沒有錯誤，只是相較于幾何法，代數法計算略顯復雜。慌忙之余，教師沒有按兩位學生的思維繼續發展下去，也沒有再找學生繼續回答，只能按照既定“簡便”的方法教學生作答。

實際上對學生提出的方法，教師可以在課堂教學過程中鼓勵學生大膽嘗試。盡管有時學生提出的方法不夠簡潔，但他們認真思考并敢于在課堂上展示，這樣的精神是難能可貴的。因此，教師應鼓勵學生在學習過程中想要說、敢于說、善于說，這樣才能讓課堂更生動。比如，在數學課堂上，教師可以按照學生提出的方法來進行講解，雖然這個方法可能會稍微復雜，但并不是不可行。因為數學課堂不僅是單純地解題，更重要的是培養學生的數學思維能力，讓學生對某一類問題有更加深入的理解和掌握，這比讓他們一直刷題收獲更多。在獲得答案后讓學生根據最終求解的結果，反過來解釋學生2當初的想法是否正確。對正確的想法，雖只是思想的火花，但對學生來說亦是值得鼓勵的。這時教師再從圓的幾何性質出發，講解幾何法。這樣通過兩種方法對比，學生可以更為直觀地感受幾何法和代數法的區別，并了解針對這類問題如何選取解題方法可以更為快速。這樣的方式既能有效培養學生的數學分析意識，鼓勵學生參與課堂，又能讓學生在學習的過程中不斷閃現思維火花，培養學生的發散思維。

追問2：設點T（t，0）滿足：存在圓C在兩點D、E，使+=+=，求實數t的取值范圍。

本題是依據江蘇高考題改編而來。在該題中，條件沒有直接給出圓的信息，而是隱藏在題目中，要通過分析和轉化才能發現圓（或圓的方程），進而利用圓的知識求解。此類問題為“隱形圓”問題，教師本希望學生在解答過程中感受一個點的坐標滿足方程，就代表該點是在這個方程代表的圓上的一點，從而掌握“隱形圓”的相關知識。但由于本節課課堂調控能力不佳，還未講到該題下課鈴聲使響起，只能留給學生課后思考。然而，課后少有學生就該題提出自己的意見看法，上交的作業正確率也不理想。總而言之，這道題并沒有達到備課時的預期效果。

教師在備課時已經預設了兩種解題方法，在進行教學反思后，該題在教學時并沒有出現之前的“尷尬”。

預設：設D（x1，y1），E（x2，y2）。因為A（1，1），T（t，0），所以=（1-t，1），=（x1-t，y1），=（x2-t，y2），又因為+=，所以x2-t=x1+1-2t

y2=y1+1，即x2=x1+1-t

y2=y1+1。①

因為點E在圓C上，所以（x2+3）2+（y2+2）2=25。②

將①代回②，得（x1-t+4）2+（y1+3）2=25，就可以利用+=確定隱形圓。點D（x1，y1）即在圓C（x+3）2+（y+2）2=25上，又在圓[x-（t-4）]2+（y+3）2=25上。因為圓C（x+3）2+（y+2）2=25與圓[x-（t-4）]2+（y+3）2=25有公共點，所以5-5≤≤5+5，解得1-3≤t≤1+3，所以t∈[1-3，1+3]。

三、高中數學課堂非預設性生成的應對策略

（一）備課中精心預設，課堂上靈活變通

在教學中，充分的課前備課是減少課堂非預設事件發生的重要保障。如果認為教師只需要在學生產生想法后接著探究補充即可，這無疑是完全錯誤的。課前備課充分的教師，在課堂中發生非預設生成的概率會比課前備課相對不充分的教師低。因此，在實際教學中，教師既要關注教材，也要關注學生，要考慮不同層次學生不同的思路，以及可能會出現的多種解答方法，并考慮如何設計教學過程使之更符合學生的認知能力，這些都在考驗新手教師自身的專業素質以及知識深度。若在實際教學中，學生提出的非預設生成是可行的，那數學教師不必堅持回歸原本的教學設計，可以適當放棄預設性教學，推動教學動態前進。

（二）深化預設性生成，吸引學生的注意力

高中數學有一定難度，大多數學生在學習過程中難免會感覺到困難，新手教師要學會采取相應的方式方法，讓學生的注意力始終保持在課堂上，在教學內容的基礎上把握學生的思想層面，引導學生進行深度挖掘。例如，在講解知識點后，學生解答例題并不順利，在這種情況下，教師需要有效引導他們回顧已學知識，分析問題。另外，多媒體應該物盡其用，多媒體軟件的出現增加了課堂活力，加大了課堂容量，提高了課堂效率，但是多媒體的濫用逐漸演變為學生是觀眾，教師是放映員，從教學目標到教學內容、從題目到答案，都是以PPT的形式呈現。這些內容都是既定的，教師已經定好了所有流程，如何讓學生發揮他們的創造力？借助多媒體來教授課程本來是一件好事，但是吸引學生的不該是PPT的精美完備程度，而是教師這節課能讓學生感覺到數學是有深度的，知識是有趣的。

（三）關注非預設性生成，培養學生的自主性

新手教師處理非預設性生成的能力存在不足，本質上來說也是經驗不足。許多新手教師在師范院校或培訓機構學習時，面對的“學生”都是空氣，這種模擬授課并不是真實的課堂，也不會發生非預設性生成的情況。因此當他們進入真實的課堂時，常常不知所措。然而，這些突發情況也是新手教師寶貴的財富。新手教師要更新自己的教育觀，開展以學生為主的教學。對有價值的非預設性生成，教師應該傾聽學生的觀點和意見，與他們進行積極的互動。當學生提出與標準答案不同的想法時，教師不應漠視或批評否定，而應冷靜思考學生為何會有這樣的想法。只有站在學生的角度考慮問題，才能提出針對性的改進方法。教師可以采取推理驗證的方式，與學生一起驗證其想法是否正確。這樣既保護了學生的自尊心，又可以讓學生在驗證的過程中探尋不同解法的優勢，從而推進教學。

四、結語

通過本研究的分析和反思，可以看出在高中數學課堂中，非預設性生成是一個常見而重要的現象。在新課改的背景下，高中數學教育的目標是培養具有批判性思維、創新意識和問題解決能力的學生。新手教師在這一階段應學會協調預設性生成與非預設性生成之間的關系。新課標中一直強調數學核心素養“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。學生在出現非預設性生成時，其實就是發展數學核心素養的珍貴機會。作為新手教師，要敢于面對學生的非預設生成，采取積極態度，迎合學生的思維方式，冷靜地處理，并盡可能將學生的非預設生成轉化為教學資源。

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（責任編輯：廖" 藝）