以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

摘要：在人教版初中數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)“為什么[2]不是有理數(shù)”教學(xué)中，教師要針對(duì)無(wú)理數(shù)概念進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)[2]的存在、驗(yàn)證、證明及應(yīng)用進(jìn)行探索，促進(jìn)學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)概念的深度理解。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將無(wú)理數(shù)化抽象為直觀，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：無(wú)理數(shù)；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱(chēng)“新課標(biāo)”）指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是主動(dòng)的，認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。在無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)中，由于無(wú)理數(shù)“無(wú)限、不循環(huán)”特征高度的抽象性，學(xué)生在真正理解并對(duì)它作出判斷時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生各種錯(cuò)誤。為此，教師可通過(guò)設(shè)計(jì)一系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生深度理解無(wú)理數(shù)概念。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動(dòng)，其具有工具性、操作性、情境性及探究性等特點(diǎn)。

一、立足學(xué)生學(xué)情尋找解決問(wèn)題策略

學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)后，對(duì)“判別[227]是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)”會(huì)高頻出錯(cuò)，當(dāng)教師追問(wèn)錯(cuò)答學(xué)生如何判別[227]為無(wú)理數(shù)時(shí)，學(xué)生認(rèn)為有兩類(lèi)方法：一是將它轉(zhuǎn)化為小數(shù)，[227≈]3.14285……是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，由此根據(jù)無(wú)理數(shù)定義得出它是一個(gè)無(wú)理數(shù)；二是利用已有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在小學(xué)階段整理過(guò)[227≈]3.14[≈]π，由此判斷它是無(wú)理數(shù)。

這兩種方法均將[227]轉(zhuǎn)化為小數(shù)，并根據(jù)小數(shù)結(jié)果作出判斷。方法一通過(guò)有限次計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果滿足“無(wú)限”“不循環(huán)”兩個(gè)特征；方法二也是通過(guò)計(jì)算得到其近似值和圓周率π接近，從而判定其是無(wú)理數(shù)。錯(cuò)答學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的判斷均化歸為定義，經(jīng)歷有限次計(jì)算化為“小數(shù)—判斷‘無(wú)限’‘不循環(huán)’—下結(jié)論”。這種錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要原因是學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)定義的核心“無(wú)限”“不循環(huán)”理解不深刻。

無(wú)限、不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，其特征“無(wú)限”“不循環(huán)”都無(wú)法用已有的有理數(shù)特征進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫(huà)和表達(dá)，是學(xué)生理解的難點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)無(wú)理數(shù)概念時(shí)，可基于“數(shù)”的教學(xué)規(guī)律及學(xué)生已有認(rèn)知開(kāi)展。教師可以[2]為載體，將其作為學(xué)生深度認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)的一把“金鑰匙”，引導(dǎo)他們通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)[2]的存在、驗(yàn)證、證明及應(yīng)用進(jìn)行探索，實(shí)現(xiàn)對(duì)“無(wú)理數(shù)概念”的深度理解，從而突破認(rèn)知局限，理解“無(wú)限”，積累經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而抽象出無(wú)理數(shù)本質(zhì)。

二、利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解

教師可通過(guò)設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行無(wú)理數(shù)概念教學(xué)，幫助學(xué)生理解無(wú)理數(shù)的抽象特征，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其存在性。本實(shí)驗(yàn)屬于“驗(yàn)證型”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以按照如圖1的流程進(jìn)行操作。

（一）復(fù)習(xí)回顧，夯實(shí)基礎(chǔ)

問(wèn)題：舉例說(shuō)說(shuō)你認(rèn)識(shí)的有理數(shù)。把[227]這個(gè)分?jǐn)?shù)寫(xiě)成小數(shù)形式，你發(fā)現(xiàn)其小數(shù)形式有什么特征？

【設(shè)計(jì)意圖】梳理所學(xué)的有理數(shù)，并對(duì)有理數(shù)概念及數(shù)的形式進(jìn)行分類(lèi)，加深有理數(shù)分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，為無(wú)理數(shù)概念的表述作鋪墊與對(duì)比。

（二）動(dòng)手操作，獲取對(duì)象

實(shí)驗(yàn)一：一張面積為4的正方形紙片，怎樣折出面積為2的小正方形？

學(xué)生根據(jù)已有對(duì)數(shù)的認(rèn)知方式（自然數(shù)可通過(guò)“數(shù)”的方式獲得，有理數(shù)可通過(guò)“量”的方式得到），可以感受到有理數(shù)是存在的。然而，關(guān)于無(wú)理數(shù)，學(xué)生卻無(wú)法用“數(shù)”“量”得到。因此，在無(wú)理數(shù)的教學(xué)中，教師讓學(xué)生感受到它的存在性是非常必要的。通過(guò)給定面積為4的正方形紙片，折出面積為2的小正方形（陰影部分），能夠使學(xué)生感受到[2]是存在的。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：將面積為4的正方形折出一個(gè)面積為2的小正方形，小正方形的面積為原來(lái)正方形面積的一半（如圖2），學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流。

問(wèn)題：圖中小正方形的面積變?yōu)樵瓉?lái)正方形面積的一半，可以怎么折？折后圖形依舊是正方形，它的邊長(zhǎng)為多少？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)操作折出面積為2的小正方形，得到其邊長(zhǎng)是[2]。此實(shí)驗(yàn)不但可以讓學(xué)生感知無(wú)理數(shù)存在的事實(shí)，而且能刻畫(huà)實(shí)際情境中的數(shù)量，為提出無(wú)理數(shù)概念作鋪墊，為研究無(wú)理數(shù)的必要性奠定基礎(chǔ)。

（三）觀察猜測(cè)，感知無(wú)限

教師追問(wèn)：[2]是怎樣的一個(gè)數(shù)呢？是整數(shù)嗎？是分?jǐn)?shù)嗎？是有理數(shù)嗎？

學(xué)生思考：∵12=1，22=4；∴[2]不是整數(shù)。學(xué)生進(jìn)而產(chǎn)生“[2]是分?jǐn)?shù)嗎？”的問(wèn)題。若是分?jǐn)?shù)，則可以化為有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)。學(xué)生帶著疑問(wèn)對(duì)[2]值的大小進(jìn)行探究。

實(shí)驗(yàn)二：探究[2]的近似值。

在學(xué)生的已有認(rèn)知中，數(shù)均是有大小的，因此他們自然想知道[2]到底有多大。學(xué)生對(duì)[2]的感知是以面積為2的正方形面積作為起點(diǎn)的，它夾于面積為1和面積為4的正方形之間。學(xué)生為了更精確地獲得[2]的大小范圍，就需要用數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行理性說(shuō)明。二分法思想是探究這個(gè)問(wèn)題的方法，教師可引導(dǎo)學(xué)生深入思考，理順數(shù)學(xué)原理，并利用計(jì)算器獲得[2]的近似值，感受“無(wú)限、不循環(huán)”的具體內(nèi)涵。

問(wèn)題：[2]在哪兩個(gè)整數(shù)之間？請(qǐng)判定并說(shuō)明理由。如果要提高[2]大小的精確度，該如何操作與思考？請(qǐng)利用計(jì)算器嘗試計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)二旨在讓學(xué)生感受到無(wú)理數(shù)[2]是存在的，因?yàn)閿?shù)具有大小屬性，學(xué)生據(jù)此很自然地想知道[2]到底有多大。根據(jù)[2]是面積為2的正方形的邊長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為面積2在哪兩個(gè)數(shù)的平方之間，學(xué)生先會(huì)想到它的整數(shù)部分有多大，通過(guò)不斷地逼近，逐漸縮小數(shù)的范圍。在這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中，學(xué)生感受到無(wú)理數(shù)的“無(wú)限”“不循環(huán)”特征，從而進(jìn)一步加深對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)；感受逼近的數(shù)學(xué)思想，以及無(wú)理數(shù)如何用有理數(shù)來(lái)刻畫(huà)的方法。學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)[2]=1.41421356237309504880168872420969878569……因此，[2]既不是分?jǐn)?shù)也不是整數(shù)，所以它不是有理數(shù)。

（四）梳理歸納，建構(gòu)定義

問(wèn)題：嘗試歸納，[2]的特征是什么？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)[2]具有“無(wú)限”“不循環(huán)”特征，教師給出一個(gè)新名詞“無(wú)理數(shù)”。

問(wèn)題：為什么[2]是無(wú)理數(shù)？

基于數(shù)學(xué)史知識(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從國(guó)內(nèi)外兩個(gè)方面進(jìn)行表述：一是無(wú)理數(shù)與中國(guó)?！毒耪滤阈g(shù)》第四章“少?gòu)V”章開(kāi)方術(shù)中稱(chēng)“若開(kāi)之不盡者，為不可開(kāi)，當(dāng)以面命之”。即如果被開(kāi)方的數(shù)非完全平方數(shù)，則開(kāi)方不盡而有余，稱(chēng)為“不可開(kāi)”，此時(shí)應(yīng)“以面命之”，“以面命之”說(shuō)明人們已經(jīng)關(guān)注到如何求平方根近似值的問(wèn)題，這是人類(lèi)向無(wú)理數(shù)方向邁出的第一步。二是無(wú)理數(shù)與國(guó)外，公元前470年左右，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的存在，在此后的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，雖然數(shù)學(xué)家們對(duì)無(wú)理數(shù)的使用越來(lái)越廣泛，但對(duì)無(wú)理數(shù)究竟是不是真正的數(shù)一直存在分歧，直到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵](méi)有弄清楚無(wú)理數(shù)的概念，直到19世紀(jì)才給出。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)滲透數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生了解我國(guó)古人在數(shù)學(xué)上的成就，激發(fā)學(xué)生的探究熱情。同時(shí)，通過(guò)國(guó)外對(duì)無(wú)理數(shù)表征的演進(jìn)歷史，讓學(xué)生明白：對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)，國(guó)內(nèi)外研究具有較為明顯的歷史相似性。

實(shí)驗(yàn)三：證明[2]是一個(gè)無(wú)理數(shù)。

由面積為2的正方形折出邊長(zhǎng)為[2]的正方形的操作性實(shí)驗(yàn)使學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行感知。由此判斷[2]是一個(gè)無(wú)理數(shù)，邏輯是不夠嚴(yán)密的，還需要用數(shù)學(xué)方法對(duì)它作進(jìn)一步證明，尤其是對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生。怎樣證明[2]是無(wú)理數(shù)呢？根據(jù)有理數(shù)本質(zhì)特征“有限或無(wú)限循環(huán)”，可用[qp]（其中p，q是整數(shù)）表示有理數(shù)，因此無(wú)理數(shù)“無(wú)限、不循環(huán)”就表現(xiàn)為“不可用[qp]（其中p，q是整數(shù)）”表示。理順了這一層數(shù)理邏輯關(guān)系之后，學(xué)生可通過(guò)觀看視頻內(nèi)容來(lái)證明[2]是無(wú)理數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)播放視頻的形式給學(xué)生介紹證明[2]是無(wú)理數(shù)的方法，一方面，從數(shù)學(xué)研究體系來(lái)講，體現(xiàn)出邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密性。由實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)果更多的是操作層面的結(jié)果，雖然驗(yàn)證了[2]是一個(gè)無(wú)理數(shù)，但是其他的無(wú)理數(shù)如何驗(yàn)證呢？我們又怎么來(lái)證明它們是無(wú)理數(shù)？這里給出了一般化的方法。另一方面，通過(guò)呈現(xiàn)證明過(guò)程，其價(jià)值還體現(xiàn)在可使學(xué)生確信[2]不是有理數(shù)，而是一種新的數(shù)，為提出無(wú)理數(shù)的概念提供了充分的證據(jù)。當(dāng)然，讓學(xué)生掌握證明方法不應(yīng)是課堂中的硬性要求，教師出示證明方法的目的是讓學(xué)生了解無(wú)理數(shù)是客觀存在的，其概念是邏輯嚴(yán)密的。

（五）理解概念，應(yīng)用拓展

問(wèn)題：如何在數(shù)軸上標(biāo)示出[2]？

實(shí)驗(yàn)四：在數(shù)軸上找到[2]的位置。

學(xué)生對(duì)[2]的大小是陌生的，根號(hào)本身僅代表一個(gè)符號(hào)，它的大小可以怎樣感知？將邊長(zhǎng)為[2]的線段移到數(shù)軸上，就可以大致判斷出它的大小。同時(shí)，通過(guò)由面積為1的四個(gè)正方形拼成一個(gè)面積為2的正方形，就能觀察到[2]的大小。

步驟一：先拼正方形，感受[2]的大小。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：將四張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片，拼成一個(gè)正方形，再根據(jù)拼的正方形，將其所表示的數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)。

問(wèn)題：四個(gè)面積為1的正方形如何剪拼成一個(gè)面積為2的正方形？請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)你的方法。如何將由上述方法得到的[2]表示在數(shù)軸上？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)動(dòng)手操作獲得結(jié)果及在數(shù)軸上表示面積為2的正方形邊長(zhǎng)a，感受無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，直觀體會(huì)[2]的大致范圍，感受它的大小，感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

步驟二：用刻度尺和圓規(guī)在數(shù)軸上表示[2]。

問(wèn)題：一般地，如何在數(shù)軸上找到表示[2]的點(diǎn)？根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)，1+[2]在數(shù)軸上的點(diǎn)如何表示？1-[2]的點(diǎn)又如何表示？

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上找到[2]表論證，從而感受[2]的大?。煌ㄟ^(guò)問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，使學(xué)生由具體操作抽象出在數(shù)軸上表示[2]的一般方法，發(fā)展抽象能力和邏輯推理能力。

實(shí)驗(yàn)五：探尋A4紙的秘密。

教師引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量一張A4紙的長(zhǎng)及寬，計(jì)算長(zhǎng)與寬之比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)比值是一個(gè)與[2]近似值很接近的數(shù)，進(jìn)而猜想：A4紙的長(zhǎng)寬之比與[2]有關(guān)嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行不同方法的折疊驗(yàn)證，學(xué)生從中感受無(wú)理數(shù)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系，發(fā)展思維能力和動(dòng)手操作能力。

步驟一：測(cè)量、計(jì)算、猜想。

問(wèn)題：對(duì)于A4紙，你想研究它哪些方面的問(wèn)題？測(cè)量A4紙的長(zhǎng)度與寬度，用厘米表示，精確到0.1。計(jì)算所測(cè)紙的長(zhǎng)度與寬度之比（精確到0.01），猜想A4紙長(zhǎng)寬之比有何特征？

步驟二：折疊、證明。

問(wèn)題：你能對(duì)“A4紙的長(zhǎng)和寬的比例為[2]∶1”作出合理解釋嗎？說(shuō)出你的理由。

折疊A4紙，使寬AB與長(zhǎng)BC重合，折痕為寬的[2]倍（如圖3），再對(duì)折，判斷正方形對(duì)角線和A4紙的長(zhǎng)重合，猜想正確。

問(wèn)題：還有其他方法能說(shuō)明“A4紙長(zhǎng)和寬的比例為[2]∶1”嗎？請(qǐng)說(shuō)出你的理由。

學(xué)生驗(yàn)證：分別過(guò)頂點(diǎn)B，C折疊，使寬AB，CD與長(zhǎng)BC重合，記折痕的交點(diǎn)為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B所在的直線折疊，使AB與BF重合，判斷AB和BO重合，猜想正確。

【設(shè)計(jì)意圖】本實(shí)驗(yàn)通過(guò)兩個(gè)步驟讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般過(guò)程：操作觀察—分析判斷—推理論證—獲得結(jié)論。學(xué)生測(cè)量A4紙的長(zhǎng)寬比，得到近似值為1.42，進(jìn)而猜想A4紙長(zhǎng)寬比是否存在某個(gè)與[2]有關(guān)的定值。學(xué)生動(dòng)手操作，以寬為單位1，折出[2]長(zhǎng)線段，用疊合法與長(zhǎng)比較作出判斷；也可以長(zhǎng)為單位1，折出[22]，與寬用疊合法比較。此環(huán)節(jié)，學(xué)生能深刻感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，培養(yǎng)善于思考、探究的習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

三、形成無(wú)理數(shù)概念數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式

對(duì)無(wú)理數(shù)概念的教學(xué)，筆者運(yùn)用“具身化”的學(xué)習(xí)方式——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了以下四個(gè)過(guò)程：經(jīng)歷用“直觀”刻畫(huà)“抽象”的過(guò)程（解決無(wú)理數(shù)的存在性）；經(jīng)歷用“具體”刻畫(huà)“一般”的過(guò)程（先弄清一個(gè)[2]）；經(jīng)歷用“近似”刻畫(huà)“精確”的過(guò)程（用有理數(shù)逼近來(lái)估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小）；經(jīng)歷用“已知”刻畫(huà)“未知”的過(guò)程（用研究有理數(shù)的方法體系研究無(wú)理數(shù)）。在這四個(gè)過(guò)程中，教師以生活情境或?qū)嵺`情境為載體，把概念、法則蘊(yùn)藏在實(shí)驗(yàn)操作中，讓學(xué)生通過(guò)操作去發(fā)現(xiàn)。這種化抽象為直觀、變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、從形象思維演進(jìn)成抽象思維的發(fā)展模式，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度理解。

（一）實(shí)驗(yàn)探究，化抽象為直觀

教師引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中探究，化抽象為直觀，展現(xiàn)知識(shí)形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，使數(shù)學(xué)新知識(shí)的產(chǎn)生更自然，知識(shí)建構(gòu)更有深度。同時(shí)，這樣的實(shí)驗(yàn)?zāi)芗ぐl(fā)學(xué)生的參與熱情，引發(fā)學(xué)生深入思考，使其明晰知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，最終達(dá)成教師預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)。在無(wú)理數(shù)概念實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，學(xué)生通過(guò)探索“面積為4的正方形紙片，怎樣折出面積為2的小正方形”，在數(shù)軸上找到[2]的位置，探究[2]近似值的實(shí)驗(yàn)，充分感受無(wú)理數(shù)的存在性、大小。尤其是在數(shù)軸上找到[2]所在位置，刻畫(huà)和直觀表達(dá)了無(wú)理數(shù)的抽象特征。在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生也能感悟到其所蘊(yùn)含的豐富數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，即“化未知為已知、化不熟悉為熟悉”。

（二）溯源探流，思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在學(xué)生動(dòng)手操作過(guò)程中能使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，激發(fā)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)深度思考。學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中對(duì)知識(shí)進(jìn)行橫向與縱向演繹聯(lián)系，能形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)、學(xué)習(xí)方式及思維。學(xué)生可以按照無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)的縱向知識(shí)邏輯開(kāi)展和設(shè)計(jì)，遵循數(shù)研究的一般原理。無(wú)理數(shù)概念教學(xué)，屬于“概念形成”的內(nèi)容。根據(jù)學(xué)生已積累有理數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，無(wú)理數(shù)與有理數(shù)作為實(shí)數(shù)組成部分，在研究?jī)?nèi)容、方法上具有一致性。因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生基于單元整體視角進(jìn)行無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)。學(xué)生在“說(shuō)明某數(shù)是無(wú)理數(shù)”存在困難時(shí)，教師可以通過(guò)“說(shuō)明它不是有理數(shù)，從而判斷這個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)”的邏輯來(lái)幫助學(xué)生形成“無(wú)理數(shù)概念”。

（三）實(shí)驗(yàn)探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展

教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，需將實(shí)驗(yàn)活動(dòng)程序與知識(shí)呈現(xiàn)順序有序結(jié)合，按照知識(shí)形成從先到后、由淺入深的特點(diǎn)分步呈現(xiàn)，促進(jìn)隱性思維顯性化。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)[2]有了完整認(rèn)識(shí)，理解了無(wú)理數(shù)的存在性，學(xué)會(huì)了無(wú)理數(shù)證明，掌握了無(wú)理數(shù)性質(zhì)及無(wú)理數(shù)應(yīng)用。教師以問(wèn)題鏈串聯(lián)整個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，按照數(shù)研究的一般方法，層層遞進(jìn)，逐步深入。教師讓學(xué)生在真實(shí)情境中操作，在折正方形的面積及驗(yàn)證A4紙長(zhǎng)寬比值的過(guò)程中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想；折長(zhǎng)為[2]的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成折出正方形及對(duì)相應(yīng)圖形的再折疊，體現(xiàn)了化數(shù)為形的數(shù)學(xué)思想；對(duì)所折的特殊三角形、四邊形的數(shù)量關(guān)系探究，體現(xiàn)了化形為數(shù)的數(shù)學(xué)思想；求[2]近似值的夾逼法及二分法，體現(xiàn)了無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、推理分析能力、論證能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀、建模能力及應(yīng)用意識(shí)。

通過(guò)上述問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)，串聯(lián)關(guān)于[2]的整個(gè)實(shí)驗(yàn)探究，按照數(shù)學(xué)研究的一般思路，學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、用眼觀察、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論等環(huán)節(jié)，層層遞進(jìn)，逐步深入，經(jīng)歷對(duì)[2]的完整認(rèn)識(shí)，充分體驗(yàn)“知識(shí)從何而來(lái)—知識(shí)是什么—知識(shí)向何而去”的完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)對(duì)無(wú)理數(shù)的深度理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］董林偉，趙維坤.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的開(kāi)發(fā)與實(shí)踐探索［J］.江蘇教育研究，2017（S1）.

［2］王紅權(quán).怎樣教好無(wú)理數(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（6）.

［3］唐恒鈞，張維忠.數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［4］丁福軍，張維忠.學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)視角下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的情境任務(wù)教學(xué)質(zhì)量分析［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023（2）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）