小學階段數學思想滲透的基本要點和主要路徑

【摘 要】數學課堂不僅重在教授數學知識與技能，而且重在滲透數學思想與方法。數學思想包括數形結合、轉化代換、分類討論、歸納推理等諸多類型。小學數學教師既要熟悉小學階段數學思想滲透的基本要點，還要明確不同數學思想滲透的主要路徑，才能促使學生更好地形成抽象概括、運算求解、空間想象、數學表達等數學核心素養。

【關鍵詞】小學數學 數學思想 滲透路徑

【中圖分類號】G623.5 " 【文獻標識碼】A" "【文章編號】1002-3275（2024）18-59-04

體會和運用數學思想是數學課程的重要目標。從本質上看，數學思想是數學問題解決、數學結果論證過程中的一種思維活動。數學思想在小學數學階段的有效滲透和具體應用，有利于學生對數學知識、數學技能、數學方法的理解和掌握，也有利于發展和增強學生抽象概括、運算求解、空間想象等方面的數學核心素養。小學階段數學思想滲透需要遵循“有的放矢、分類應用”的原則，面對不同的數學現象、不同的數學問題、不同領域的數學教學內容，相機滲透數形結合、轉化代換、分類討論、歸納推理等一種或多種數學思想，有利于打造高效率、有活力的數學課堂。

一、課堂滲透數學思想的基本要點

不少學生存在著混淆數學方法與數學思想，以及重數學知識、數學技能，輕數學思想、數學方法的現象。而義務教育階段，特別是小學階段，是幫助學生形成數學思想的重要階段，數學課堂又是數學思想滲透的主要陣地。因此，小學數學教師有必要引導學生正確理解數學思想、數學方法、數學知識、數學技能的概念與內涵，落實數學思想在數學學習中的核心地位，注重發揮數學思想在教學設計中的指導作用，強化數學思想對于提升課堂效率的重要作用，為小學生發展抽象概括、運算求解、空間想象、數學表達等數學核心素養打下良好基礎。

（一）區分數學的思想與方法、知識與技能

數學教學內容包括數學知識、數學技能、數學方法、數學思想等諸多內容。其中，數學知識側重客觀事物的認識活動，強調客觀事物在人腦中的心理反映結果［1］；數學技能是指通過學習而形成的合法則的數學活動方式，包括操作性技能和心智性技能；數學方法是指人們在解決數學問題的過程中所采用的方式、途徑和手段，通常給出解決問題的策略［2］；數學思想則指人們對數學知識和方法的本質認識，通常給出解決問題的方向。四者既有聯系，相互影響、彼此交融，也有區別，即有著不同的學習特征和內在的作用機理。因此，不可將數學思想與數學方法、數學知識與數學技能混為一談，更不可等量齊觀。數學知識、數學技能是發展數學思想、習得數學方法的必要載體；數學思想、數學方法又是理解數學知識、訓練數學技能的重要保障；同時，數學思想指導和決定著數學方法的選擇方向和應用策略，而數學技能又依賴于數學知識的熟悉程度和轉化效率。

（二）落實數學思想在數學學習中的核心地位

蘇教版數學教材采取“一明一暗”雙主線的編排思路，一條明線是數學知識、數學技能，另一條暗線是數學思想、數學方法。分析當前的數學課堂，一定程度上存在著重視數學知識、數學技能教授，忽略數學思想、數學方法滲透的問題。數學思想指導著問題解決的方向，決定著結果求解的效率，貫穿于數學學習的全部過程。具體而言，數學思想作用于數學知識的抽象理解和直觀記憶，作用于數學技能的熟練應用和逐步習得，作用于數學方法的合理選擇和使用校正。可見，數學思想在數學學習中的核心地位不容置疑。因此，無論從長遠發展目標出發，還是就短期教學目標而言，數學思想都擁有廣闊的學習和應用空間。從長遠發展目標出發，數學思想在其他學科中的應用、在日常生產生活中的應用較為普遍，對于學生未來的學習和生活大有益處。就短期教學目標而言，數學思想可以作為學生開展學習活動以及其他活動的高效思維模式與重要行為指南，在學生抽象學習能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數據處理能力等培養過程中發揮著巨大作用。

（三）發揮數學思想在教學設計中的指導作用

教學設計是課程實施的前提環節，教學設計的質量直接決定課程實施的順暢度和課程目標的達成度。數學課程的教學設計可以分為三個層面，包括針對數學課程與整冊教材的宏觀層面設計，針對課程單元主題或學習項目模塊的中觀層面設計，針對某一課時或具體學習任務的微觀層面設計。無論哪一個層面的教學設計，都需要得到推理、建模、方程、代換、分類等數學思想的助力與支持。有了一種或多種數學思想的融入和指導，數學教學設計便不再停留于數學知識、技能和方法的傳授或還原，而是上升到數學知識、技能和方法的拓展或創造。數學思想在教學設計環節的滲透應用，既能有效鞏固數學知識的儲備、數學技能的練習、數學方法的驗證，也可促進學生形成發散性思維與創造性思維，為后續更深層次、更高難度的數學課程學習奠定基礎。例如在設計蘇教版小學數學四年級下冊“確定位置”這一章節的教學方案時，數學教師在教學設計中滲透應用數學的建模思想和函數思想，使得抽象化的概念性知識轉換為直觀形象的可感知事物，幫助學生建立起數學思想與數學知識的聯系。教學方案的具體設計為：首先，邀請學生觀察自己的座位處于班級中的第幾列、第幾排位置，這樣可以幫助學生理解座位圖的概念；其次，教師在學生熟悉座位圖、明確位置概念之后，布置各個學生在座位圖上標注出自己以及其他小組成員的坐標，使得坐標圖與座位圖一一對應；最后，全班學生借助方格稿紙，想象坐標體系，再次標注自己的座位，再次驗證使用字母、圖表等數學符號對相應關系式進行概括，論證使用數對（a，b）表示不同位置的正確性，建立起能夠反映數對與位置之間關系的數學模型。

（四）強化數學思想對于課堂效率的重要支撐

數學思想是抽象概括、運算求解、空間想象、數學表達等核心素養形成和發展的先決性條件。忽略數學思想的滲透和應用，上述核心素養的形成和發展將走向低效，甚至走向虛無。小學生心智發育尚未成熟，認知水平相對較低，特別是抽象思考能力仍然較弱。雖然他們在數學課堂實踐中，具有思維活躍、善于想象、參與意識強烈等優勢，但是也伴隨著自制能力較差、注意力和專注力不持久等弱勢。因此，促進學生對于演繹推理、數形結合、方程等數學思維的領悟和應用，對于教師而言是一項難度不小的挑戰。現代化教育手段的應用、具體教學情境的創設、類比聯想方法的引入、中肯及時的啟發和評價等，都將成為學生領悟和應用相應數學思想的重要契機和突破線索。例如在教學蘇教版六年級上冊“分數乘法”“分數除法”時，教師發現學生在解決具有較大難度的單獨分數乘法、單獨分數除法的問題時，算法應用得當，求解的正確率也很高，但是面對分數乘法和分數除法的綜合性練習便容易手足無措，難以判斷選用乘法還是除法，更不知其背后的所以然。針對此種現狀，教師適時滲透整體思想，嘗試打破教材先分數乘法、再分數除法的分別講解設計，將“比多比少的問題”和“區分部分與總體的關系”兩部分內容融合在一起，以分數乘除法這一整體面貌呈現學習內容和開展教學，并引導學生用線段圖分析部分與總體的關系、比較一個事物比另一個事物多（少）多少的數量。通過數學整體思想的應用，發現學生對于使用乘法計算、使用除法或方程計算的適用情境和題型，有了更加清晰的認識，課堂教學效率得到大幅度的提高。

二、課堂滲透數學思想的主要路徑

數學思想包括數形結合、轉化代換、分類討論、歸納推理等多種類型。不同類型的數學思想具有不同的適用場景，也匹配不同的滲透策略。數學教師不要套用千篇一律的滲透策略，而是針對具體的數學現象、數學問題，采取靈活多樣、具有針對性的滲透策略，創設與不同類型數學思想相適應的課堂應用場景，幫助學生獲得數學學習的良好體驗，鞏固深化他們對數學知識、數學技能、數學方法的本質性認識。

（一）數形結合思想在數學課堂中的滲透應用

數形結合思想就是通過“數”與“形”之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。［3］“數”與“形”不是彼此分割、絕對對立的，而是聯系緊密、具備轉化條件的。“數”指的是抽象的數量關系，“形”指的是形象的空間圖形。數形結合思想反映的正是代數與幾何之間的轉換處理，幫助學生完成對直觀事物的抽象性概括和對抽象問題的直觀化理解，用以解決單純用“數”、用“形”的思想難以解決的問題。具體而言，數形結合思想在數學課堂中的滲透應用主要包括兩大類型：一類是借助“形”的可證明、直觀可感的特征，用“形”的思想去解決代數領域的問題，被稱作用“形”助“數”；另一類是借助“數”的可計算、抽象概括的特征，以“數”的思想去解決幾何領域的問題，被稱作以“數”解“形”。例如在蘇教版小學數學三年級上冊“兩、三位數除以一位數”筆算環節中，數學教師提出“將69棵小樹苗平均分給3個班級，供各個班級植樹節栽種，請問每個班級可以分到多少棵小樹苗”問題后，第一步引導學生列一列豎式，讓學生觀察兩位數除以一位數，豎式由“一層”變成了“兩層”，形成對于“數”的初步認知。第二步引導學生想一想平均分，讓學生在腦海中構思將69棵小樹苗平均分成3份的簡便方法，引導學生把10棵小樹苗看作1大捆樹苗，69棵小樹苗共有6大捆和9棵小樹苗。第三步引導學生分一分虛擬物，布置學生以符號標注或簡筆畫等自己擅長或喜歡的方式，嘗試平均分的操作步驟。學生先把6大捆平均分成3份，每份2大捆，再把9棵單獨的小樹苗平均分成3份，每份3棵小樹苗，繼而得出每一個班級可以得到2大捆和3棵小樹苗，算式為“20+3=23”。第四步引導學生理一理，因為10棵被看作1大捆，所以“大捆”代表著“十位”，“69÷3=23”算式中“6”和“2”應寫在豎式中的“十位”上。通過用“形”助“數”的四個步驟，數學算式“69÷3=23”被轉換為2大捆和3棵對應符號，并且實現了“大捆”與“十位”的相對應，將抽象的知識變得具象化，使豎式的計算變得更簡便。

（二）分類討論思想在數學課堂中的滲透應用

分類討論是一種最基本的觀察事物的研究方法，就是根據事物對象的不同屬性特征將事物科學地劃分為若干類別進行研究。［4］分類討論的一種情形是在同一標準下的分類討論，其結果表現為高度的一致性和不可交叉性。另一種情形是不同標準下的分類討論，其結果表現為多樣化和不可重疊性。分類討論思想的主要應用場景為當數學研究的對象和解決的問題數量較多、排列無序時，需要將有待研究的對象和解決的問題歸類合并，增強學生思維的條理性和確定性。蘇教版小學數學教材中安排了數分類、數據分類、圖形分類、方法分類等學習任務，相應分布于分數的初步認識、條形統計圖、多邊形的比較、解決問題的策略等教學單元當中。例如在蘇教版小學數學五年級上冊“多邊形的面積”這一單元中，教師可以引導學生圍繞對邊是否平行的分類討論標準，得出兩組都不平行的不規則四邊形，一組平行另一組不平行的梯形，還有兩組都平行的平行四邊形、長方形的三種情況。通過應用分類討論思想，將數量較多、排列復雜、適用公式不盡相同的多邊形面積計算難題，轉換為相對簡單、標準清晰、易于理解的幾何問題。分類討論思想的實質是化整為零，通過分類將整體轉變為若干個部分，然后按照不同類別逐個進行研究，最后再匯總得出綜合性、整體性的討論結果，能夠有效降低數學課程的學習難度。

（三）假設推斷思想在數學課堂中的滲透應用

假設推斷思想需要學生發揮想象力，對問題的答案進行猜測或者假設推理，嘗試給出問題的假設性答案或者猜測性解題過程的思想方法。［5］在代數、幾何、統計等具體題型中，有些題干中已知條件相對匱乏，且數量關系和空間位置相對復雜，需要結合題目中給出的已知問題或已知條件作出合理假設，為后續的幾何證明或數量計算提供足夠的支架，搭建過渡的橋梁，繼而順利解決難度較大的問題。在遵循一定規則、分析現有條件的基礎上，采用合理假設、邏輯推斷的辦法，將新知與舊知聯系起來，將矛盾處、疑問處暴露出來，可以幫助學生在相對熟悉的生活場景中展開自主探索、深度學習，在有難度的問題情境中展開大膽設想和科學推導。例如在蘇教版小學數學六年級上冊“分類除法”中，數學教師與學生共同解析一道工程應用題：修一條全長500公里的道路，工程一隊單獨修路20天可以完成，工程二隊單獨修路25天可以完成。如果兩支工程隊合作修路，多少天可以完成？教師可以先啟發學生：求工作效率需要知道哪些情況？讓學生回顧工作效率和工作總量、工作時間的關系。接著，啟發學生根據題目中工作總量固定這一項已知條件，假設兩隊合修的工作效率之和，預估兩隊合修需要的工作時間。然后，啟發學生將500公里道路假設為單位“1”，得出工程一隊和工程二隊的相應工作效率分別為[120]、[125]，兩隊工作效率之和為[9100]，相應的工作時間為1÷[9100]=[1009]，這無形中再次驗證了“工作總量÷工作效率=工作時間”的公式。

（四）轉化思想在數學課堂中的滲透應用

轉化思想是重要的數學思想，任何新知識都是原有知識發展和轉化的結果，轉化思想可以將許多問題化難為易。［6］從數學課程內容來看，主要包括公式定理的變形應用、方程求解的同解變換、幾何圖形的等積變換情形。從本質上看，轉化思想的核心在于將陌生的、疑難的、需要解決的新問題，變為熟悉的、簡單的、已經解決的舊問題，通過間接用力、迂回突破的辦法，借助已經積累的數學知識、經驗做法、思維方式等解決新問題。例如在蘇教版小學數學六年級下冊“總復習：圖形與幾何”這一節中，面對“一個平面畫有9個點，合計可以連成線段多少條？”的復雜題目，不少學生選擇在草稿紙上進行隨意性、無規律的連點嘗試，得出的答案也不盡相同，且多數是不正確、有遺漏的答案。為此，教師可滲透轉化的數學思想，先將題目中的“9個點”轉變為3個點、4個點等容易且可以迅速解決的問題。同時，通過點數的逐漸增加，探索得出N個點可以連成（N－1）及以下數字之和條線段的規律性認識，即9個點可以連成“8+7+6+5+4+3+2+1=36”條線段，無形中發展了學生善于發現知識聯系、善于總結數學規律的思維品質。

總而言之，明晰數學課堂滲透數學思想的核心要點，探究不同數學思想在具體數學課堂中的滲透策略，對于提高教師的教學組織水平，以及對于提升學生的數學核心素養，都有著極其重要的現實意義。因此，教師應當高度重視并智慧而為，推動數學思想在小學生心中生根發芽。

【參考文獻】

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