有效表征 高效分析

摘要：歸一應用問題教學的難點是分析數量關系?，F實教學中，歸一應用問題數量關系分析得不到應有的重視，主要體現在分析數量關系的方式方法比較單一，設計的活動和引導問題不夠細化，造成學生尤其是基礎薄弱學生理解比較困難。實踐表明，采用“題圖結合，分析關系；畫出題髓，漸明關系；數歸其位，列表入里；細嚼數味，萬數互聯；句意轉換，建聯溝通；精準鋪墊，分合溝通”分析方法，對幫助各層次學生解決正歸一應用問題有較好的效果。

關鍵詞：小學數學；正歸一問題；買碗問題；數量關系

歸一問題，根據解題的不同步驟，可分為正歸一問題和反歸一問題。先求出單一量，再用乘法求若干個單一量的歸一問題，叫正歸一問題，或直進一次歸一。先求出單一量，再用包含除法求出含有多少個單一量的歸一問題，叫反歸一問題或返回一次歸一。根據求“單一量”的步驟的多少，可以分為一次歸一問題和兩次歸一問題。倍數問題的一份數、行程問題的速度、工程問題的工作效率、分配問題的一份數、分數問題的每一份等問題，都與歸一問題有關。歸一問題是小學階段復雜應用題中的一種重要類型，是由一步應用問題過渡到三步及以上應用問題的重要橋梁。作為典型的乘除整數應用題，是今后學習小數、分數和方程應用問題的重要基礎。因此歸一應用問題的教學對學生小學、初中乃至高中的應用問題學習有著重要的影響。

歸一應用問題教學的難點是分析數量關系。正歸一應用問題是歸一應用問題最基本的類型，其數量關系分析方法，對歸一應用問題乃至其他應用問題有著重要啟示和借鑒作用?，F在《義務教育數學課程標準（2022年版）》更加關注對數量關系的理解，問題解決不是一個簡單的題型訓練，也不僅僅是獲得解題結果，解決問題≠解題，而是幫助學生學會“怎樣想問題”“怎樣分析數量關系解決問題”[1]。下面以現行人教版三年級上冊的例8“買碗問題”———買3個碗18元，照這樣計算，買8個碗多少元？為例，談談正歸一應用問題分析數量關系的六個基本方法。

一、題圖結合，分析關系

（一）強調對應。即從題意中一步一步地畫圖，一步一步地根據圖來思考、分析關系。把解題思路在用圖釋題，表征關系中辨明思路（見圖1）。

（二）看圖分析。從關鍵句的圖示中，明晰可求出單一量，從末尾句的圖示中，明晰要求出問題，必須先求單一量。從而從兩圖的解讀中，找到前后的關聯（見圖2）。

（三）基本關系式。用圖畫出題意后，思考每一幅圖所涉及的基本關系式，或可以寫成怎樣的關系式。前后兩幅圖所寫出的關系式，是否有著關聯。進而理解關系，得出思路（見圖3）。

引入常見的數量關系，運用這些數量關系解決實際問題是培養學生問題解決能力的重要途徑，小學數學中的數量關系有兩個基本的模型：一種是總體等于部分的和，另一種是乘積模型，總價=單價×數量和路程=速度×時間是基本的乘積關系的模型[2]?？梢姡没緮盗筷P系式思考問題對解決問題的意義。

二、畫出題髓，漸明關系

面對一道應用問題，讓學生說一說題目講了一件什么事情、有哪些條件、要求什么等，這僅僅是表層審題。解決問題依靠理解題目條件與問題的關系，找到重要的等量關系，這需要進行里層審題。而要進入題目之“骨髓”“靈魂”，畫圖是一種被廣泛使用的行之有效的方法。人教版配套教師教學用書在“編寫意圖”中明確指出，“例8：教學利用畫示意圖分析數量關系的解題策略”。

畫圖的目的是為了更好地直觀地表征題意，看出數量關系，是分析數量關系的重要方式。有的學生不會做或無從下手，可以嘗試畫圖進行分析，從中尋找解題的突破口。有的學生能夠直接列式，教學時，可讓學生畫圖解釋算式的含義。

教學時，提供學生的示意圖和線段圖作品（見圖4-7）清晰明了。

畫圖策略的重要要求是畫得明。具體來說包括齊全（條件、問題）、直觀（一眼看明）、正確（符合關鍵詞）、互譯（據圖說文、據文說圖）。但面對存在差異的學生，往往表現出不同的水平層次。

水平1：主要畫實物圖、簡單的符號替代圖。做到正確、完整地畫出題意。

水平2：主要畫示意圖、直條圖。做到規范、完整地畫出題意。

水平3：主要畫線段圖。能完整地有創意地畫出數量關系，做到正確且明理。

這三種水平，可能在同一節課呈現，也可能是不同學生在不同階段的表現，無論如何，這體現了由繁到簡，由粗到精的學習過程。面對水平層次不一樣的方法，教學時，需要教師引導學生理解同學的方法并進行優化，促使學生由知一法能知多法，從多元方法習得優化方法。實際上，這些層次不同的方法，在解決后續學習的不同應用問題時，都各有其價值，因此，要發揮好這些課堂上生成的學生資源。

三、數歸其位，列表入里

教學時，用類似表格法的方法表示，如“3個18元，8個？元”，這兩個信息分兩行呈現，與學生一起分析數量關系。

或用列表法分析（見圖8）。

這是一個被簡化的表格，表格中的數據之間有著對應關系。因為學生沒有親自經歷表格簡化的過程，因此有部分學生看不懂、弄不明其中的關系。要讓學生完全理解表格反映的數量關系，找到解題的思路，有必要讓學生回到最初的問題：這個簡化的表格，最開始應該是怎樣的呢？

教師可以給出下表，讓學生根據題目意思來填，即在3個碗旁邊填“18元”，在8個碗旁邊填“？元”。再回答：1個碗的價錢和8個碗的價錢分別是多少？讓學生在把數歸位的過程中，經歷抽象的、經歷審明關系的過程。最后再把表格簡化出來（見表1）。

還可以在表格下面增加欄目，進一步提出問題，如，根據上表，請回答（1）7個碗的價錢是（）；（2）20個碗的價錢是（）；（3）若x個碗的價格是y，那么y=（）。讓學生感受到無論求多少份單一量，只要知道單一量即可。從變化中滲透函數思想，看到什么在變，什么始終不變。以上過程，學生借助完整表格，理解簡化表格，深入理解對應聯系，對學生解決問題有著重要作用。

四、細嚼數味，萬數互聯

具體步驟是：第1步，每個數字的意義。第2步，審出“照這樣計算”的意思。第3步，審明關鍵句。第四步，審出數量之間的內在對應關系。

買3個碗18元，照這樣計算，買8個碗多少元？

①每個數字的意義。3個表示什么，18元表示什么，8個表示什么，“多少元”表示什么。

②審出“照這樣計算”的意思。每個碗的價錢是一樣的。

③審明關鍵句。從“買3個碗18元”，想到什么？

摘要為：3個，18元，8個，？元，列出對應關系為：

④審出數量之間的內在對應關系。

3與18有什么關系？8與“？”有什么關系；

3與8有什么關系？18與“？”有什么關系（在碗的個數存在倍數關系時，這樣思考更有意義）。

五、句意轉換，建聯溝通

主要是根據題意，轉換表達，逐步探尋數量關系，建立已知、未知和所求之間的聯系，從而得出解題思路。

可執已知“條件句”這一關鍵句追溯得到問題答案（見圖9）：

可執“問題句”這一關鍵句用分析法推理（見圖10）：

可同時執“條件句”和“問題句”這兩個關鍵句加以分析推理（見圖11）：

還可以是這樣的思路（見圖12）：

或如下思路（見圖13）：

從以上分析，得到一個啟示：中間問題是怎么逼出來的？

（一）從問題逼出。求8個碗的價格，自然想到要先求1個碗的價錢。已知條件“買3個碗18元”能求得1個碗的價錢嗎？

（二）從條件逼出。條件“買3個碗18元”可以求出嗎？（1個碗的價錢）這對解決問題有幫助嗎？

（三）從基本數量關系式逼出。題目中的“3個碗”與“18元”分別是數量與對應的總價，“8個碗”與“多少元”分別是數量與對應的總價。由“按照這樣計算”和“單價×數量=總價”，可知“1個碗的價錢”是前者可求、后者要求的。

六、精準鋪墊，分合溝通

正歸一應用問題，常常由兩個一步計算應用問題組合而成。因此，教學時，可作“一步轉化為兩步”（“合”的方法）或“兩步轉化為一步”（“分”的方法）的復習，讓學生對正歸一應用問題的結構、題意和解決方法有更為清晰和深刻的理解，同時，能夠更好地遷移解決一步計算應用問題的經驗運用于新知的探索。

第1類：簡單一步計算問題。1.設置連續兩個問題。買3個碗花了18元。（1）每個碗多少錢？（2）8個碗多少錢？2.設置有關聯的兩個問題。（1）學校買3個書架90元，每個書架多少元？（2）每個書架30元，買5個書架要多少元？

第2類：變式。1.變條件（順向）。（1）1個碗6元，買同樣的8個碗，需要多少錢？（2）2個碗（）元，買同樣的8個碗，需要多少錢？（3）3個碗（）元，買同樣的8個碗，需要多少錢？2.變條件（逆向）。（1）3個碗18元，買同樣的1個碗，需要多少錢？（2）3個碗18元，買同樣的2個碗，需要多少錢？（3）3個碗18元，買同樣的（）個碗，需要多少錢？

第3類：補條件、補問題。（1）3個碗18元，買同樣的8個碗，需要多少錢？（2）3個碗18元，買同樣的（）個碗，需要多少錢？

學生的學情存在差異，以上方法，為不同層次的學生學習正歸一應用問題提供可操作性的方法。學生可以根據自己的情況、教師可以根據學生的實際，靈活地選擇其中的方法開展學習和教學活動。

參考文獻：

[1] 馬云鵬，吳正憲.《義務教育數學課程標準（2022年版）》案例式解讀（小學）[M].上海：華東師范大學出版社，2022：96.

[2] 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：157 158.

編輯 楊馥毓