創設合適的問題情境?滲透正確的統計觀念?

【摘 要】平均數是統計學概念的核心，教學平均數時要培養學生數據分析的核心素養，關鍵在于問題情境的創設。好的問題情境要有現實背景的支持，并能體現數學的實質。把平均數的概念學習置于問題解決的背景中，能幫助學生建立正確的統計概念，有利于引導學生理解概念的產生與目的，體會數據分析的作用與意義，感悟數據的隨機性與分析推斷的多樣性。

【關鍵詞】平均數 問題情境 數據分析

平均數是統計學的核心概念，在一定程度上可以說，統計方法就是用數學工具去處理種種形態下的平均值問題。如果我們從理論的角度走一點極端，則可以說，一部數理統計學的歷史，就是從縱橫兩個方向對算術平均數進行不斷深入研究的歷史。

可以從三個角度理解平均數—算法理解、概念理解和統計理解，這也可以看作平均數概念理解的三個不同層次。從統計學的特點與本質上看，對于平均數概念的學習而言，重點是概念理解，難點是統計理解。教學時要設計合適的問題情境，讓學生體會統計活動的必要性和概念產生的必然性，并在運用概念解決問題的過程中，滲透正確的統計觀念，培養學生數據分析的核心素養。

一、創設合適的問題情境，體會統計活動的必要性和概念產生的必然性

情境與問題是聯系在一起的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出問題是否能夠揭示數學的本質。從這里不難看出，合適的問題情境有兩個要義：一是要有現實背景的支持，二是要能體現數學的實質。

什么樣的問題情境適合用于教學平均數概念？下面以北師大版小學數學教材為例展開討論。教材中的情境設計如圖1。

圖1

“淘氣能記住幾個數字？”就是一個現實生活中合理存在的問題，并且這樣的問題也是學生樂意思考的。怎么才能知道這個問題的答案？解決這個問題的思路是什么？

具備數據分析素養的人，能利用統計活動解決這樣的問題。他們會考慮先調查，收集數據，再通過分析數據作出判斷，即通過數據來分析與解決問題。

可是，每3秒呈現10個數字，從5次調查中收集到的數據并不相同，也就是說數據是隨機的。到底用哪個數據作為代表？這就需要進一步分析收集到的數據，讓學生經歷尋找這個“合適的數作為代表”的過程，就是理解平均數意義的過程。

統計學的基本思路是根據所關心的問題尋求好的方法，分析和判斷數據，得到必要的信息去解釋實際背景。北師大版小學數學教材中以問題解決的思路來設計平均數概念的學習，正是體現了這個基本思路。

一般來說，統計教學中的問題情境創設要注意兩個方面：一是問題情境本身要有統計意義。也就是說，統計活動的最終目的是解決具體的問題，因此，問題最好來源于現實。二是數據要有隨機性。只有隨機的數據才能真正體現統計思維的特點，即一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能不同；另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。我國杰出的數理統計學家和教育家陳希孺院士指出，只有那些受偶然性因素影響的數據，才是統計學處理的對象。否則，學生應用的是算術中的平均數，是代數概念而非統計概念，由此形成的理解只是算法理解而非統計理解。

二、展開數據的分析過程，感悟數據產生的隨機性和統計推斷的多樣性

數據是統計工作中不可或缺的基本材料，數據的分析過程包括收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論。平均數概念的教學，核心的環節是數據分析中的提取信息與進行推斷，前者是概念的理解，是教學的重點，后者是概念的應用，是學習的難點。

下面以北師大版小學數學教材中的問題情境為例，介紹平均數概念教學的主要環節，以數據分析過程作為教學展開的過程。

1.收集數據

師：有一個考查短時記憶的小游戲，這個游戲叫作“3秒鐘能記住幾個數字”。游戲規則是屏幕上會出現一連串沒有規律的10個數字，保留3秒鐘，之后隱去這些數字，把你記住的數字按屏幕上的順序記在紙上。你估計自己能記住幾個？

（學生估計）

師：大家估得不一樣，要想知道自己能記住幾個，你們有什么建議？

生：可以玩一玩、試一試。

師：我們先測試一次，看看能記住幾個。請大家準備好。

（屏幕上呈現10個數字，3秒鐘之后隱去，學生記錄自己記住的數字）

師：現在10個數字重新呈現在屏幕上了，請你們自己核對。要按照這個順序記錄才能算對，如果沒有按這個順序，或者中間有漏掉的，都不算數。來，統計一下你們記住了幾個。

學生有的說4個，有的說6個，有的說7個……

師：大家記住的個數有多有少。如果就以剛才匯報的個數作為這些同學玩這個游戲的成績，你們同意嗎？

生：不行，再來一次。我剛才沒有發揮好。

師：好，我們再來一次。

……

師：這次記住的個數比上一次多了還是少了？

（有的學生說多了，有的學生說少了）

師：如果再玩一次，你們能記住幾個呢？先猜一猜，再試一試。

2.整理數據

師：如果現在讓你們匯報成績，你們準備匯報哪一次的成績？

生：第二次的，第二次比第一次多。

生：我想可以再試幾次，慢慢熟練了就能記住更多。

師：如果測試的次數多了，我們就能收集到更多的數據。淘氣小朋友也玩了這個游戲，這是他5次測試的成績，我們把它記錄在表格中，請看：

淘氣5次記住數字的情況統計表

次數 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

記住數字的個數 4 5 5 7 9

培養學生數據分析的觀念，最有效的方法是讓他們參與數據分析的全過程，包括數據的收集與運用數據進行推斷并得到結論的過程。玩游戲的過程其實就是通過調查活動收集數據的過程，學生親歷這個過程，既可以激發學習的興趣，也可以體會數據的隨機性。但是，有時收集的數據并不適合在教學中討論分析，甚至會出現用平均數刻畫集中趨勢并不合適的情況。因此，教學可以在學生經歷調查與收集數據的過程后，直接根據教材提供的數據展開討論。

3.提取信息

師：觀察這些數據，你們發現了什么？

生：從第1次到第5次個數是增加的，第3次跟第2次是一樣的。

師：先描述數據的整體，再關注個別的數據，這種分析數據的方法真好。

師：還有不一樣的發現嗎？

生：數據有時變大，有時不變。

師：也就是說，每次測試的成績不太穩定。

師：如果淘氣向老師匯報他的成績，他應該報幾個？

生：我認為是5個，因為第二次可能會熟練一些。

生：我也認為是5個，因為5個出現了兩次。

生：我認為是5個，因為從小到大排列是4、5、5、7、9，這些數中5處于最中間。

生：我認為是7個，從小到大排起來，中間是5個，可是后面的個數比前面多，所以應該匯報是7個。

生：我認為是6個，把所有的數加起來是30，再除以5就等于6個。

師：你們的意見集中在5個、6個、7個上，為什么不選4個或9個？

生：4個太少了，9個太多了。

4.構建模型

師：那么5個、6個、7個，用哪個數據作為代表，或者說淘氣到底匯報幾個更合適呢？

生：6個。因為它是用5次的總和除以次數得到的。

師：你肯定知道這個數叫什么吧？

生：平均數。

師：對。用總個數除以次數[板書：（4+5+5+7+9）÷ 5=6（個）]。這里的6個，數學上有個專門的名稱，叫作“平均數”。

（板書：平均數）

師：用統計表中的數據算一算，可以得到它們的平均數。在這個統計圖中（呈現象形統計圖，圖略），你能把這個平均數找出來嗎？

生：能。

師：動手之前，先告訴大家你打算怎么做。

生：把多的移給少的。（學生操作，如圖2）

圖2

師：通過“移多補少”也可以找到平均數。

師：現在你們是怎么理解平均數的？

生：平均數是不大不小的數。

生：平均數就是把所有的數加起來，除以總個數。

師：有比較才有鑒別。現在你們能給出更充分的理由來解釋為什么不選5個或7個了嗎？

（學生討論，略）

平均數通俗易懂的含義就是“均貧富”，即原本有多多少少的若干量，經過平均以后，它們最終變得一樣多，這個最終的量就是原本那些量的平均數。用算法化與直觀化兩種方法求得平均數，都不是最重要的。運算與操作都是為了理解平均數的意義，具體到問題情境中，就是要能分析比較，解釋為什么選擇“6個”作為這組數據的代表是更合理的。平均數的概念是在描述和分析數據中自然產生的，學生可以感悟到創造數學概念的必要性。至此，平均數成為在解決一個現實問題過程中構建的模型。

5.進行推斷

師：觀察淘氣前面5次記住的個數，我也已經知道這5次的平均數是6個。請大家猜一猜，如果淘氣再試一次，第6次的個數會是幾個呢？說說你們的理由。

生：10個。因為每次都在進步。

師：10個，有可能嗎？

生：有可能。

師：一定是10個嗎？

生：不一定。

生：也可能是8個。因為有時發揮不穩定，會退步的。

師：你覺得有道理嗎？

生：有道理。

師：有人說，在6個左右的可能性比較大，你們怎么想？

生：我想也是有道理的，因為平均數是6個，說明他的水平就是6個左右。如果試的次數多了，練熟了，有可能會比6個多一些。

師：剛才你們有不同的猜想，并且都給出了自己的理由，有10個的，有8個的，還有6個的，一切皆有可能。但是相比較而言，在平均數上下的可能性會更大一些。平均數可以幫助我們推斷。

統計推斷的挑戰在于結論的不確定性。讓學生猜想下一次可能記住幾個，不僅是運用平均數的概念進行統計推斷，而且也是為了感悟數據的隨機性。在這個統計推斷活動中，數據的隨機性與規律是對立統一的兩面：一方面，現象的發生具有不確定性和不可預見性；另一方面，又表現出非偶然的規律性，即穩定在平均數上下。

6.獲得結論

師：現在，前面的問題有答案了嗎？淘氣3秒鐘能記住幾個數字？

生：6個。

生：不對，更合理的說法是6個左右。

生：說平均數是6個更準確一些。

師：如果你想知道自己3秒鐘能記住幾個數字，你打算怎么做？

生：估計跟淘氣差不多。

生：可以試幾次，把數據記錄下來，再求出平均數。

以上教學，把平均數的概念學習設計在問題解決的情境中，讓學生完整地經歷了數據分析的全過程，其核心還是問題情境的創設。在教學中，問題情境的設計要考慮如何將各個因素結合起來，以實現特定的教學目標。在以上的問題情境中，討論的核心問題是用幾個作為這組數據的代表，由此引發一系列的思考：為什么要有平均數的概念？如何得到一組數據的平均數？平均數能幫助人們做什么？這些問題，不僅聯系了平均數概念的意義理解與實際運用，而且也讓學生經歷了運用數據統計推斷的過程，感悟了數據的隨機性和規律性，培養了數據分析的核心素養。

三、把握知識的數學本質，突出核心概念的重要性和知識理解的完備性

平均數在統計學中是一個非常重要的概念，因為在假定條件下，樣本平均數是真實數據的一個好的估計。如果僅就數學計算而言，平均數只是一個包含了加法和除法的算式，對數學計算來說實在是無足輕重，但平均數是小學數學中最重要的統計概念，平均數的教學要讓學生體驗和感悟數據分析的要義，培養數據分析的核心素養。特別地，對平均數的學習要達到統計理解的層次水平，需要以數據隨機性的理解作為基礎，體現統計學的教育價值。

平均數有許多重要的性質，較重要的是“零的原理”，即所有數據與均值的偏差之和為零。對于學生來說，他們還需要知道平均數位于最大值和最小值之間，會受到不等于平均數的數據值的影響，不需要與參與相加的數據中某一個相等，可以是一個在現實中沒有實際意義的分數或小數等，以獲得對平均數概念更加深刻的理解。

平均數、中位數、眾數都可以作為一組數據的集中趨勢。使用什么指標作為一組數據中心的代表，取決于這組數據的含義以及數據分布本身。平均數的作用往往被過分渲染而沒有注意它的適用范圍。其實，平均數最適合用于數據呈對稱分布狀態，尤其是正態分布的情況。數據呈偏態分布，當有極差值以及有些數據不夠準確時，選用平均數都是不合適的。此外，平均數區別于其他數據集中趨勢的統計量，最大的優勢在于可用于對數據作進一步的分析與處理，如計算方差解釋離散程度。

平均數這節課的教學不好設計，主要是聯系的背景知識太復雜，教學不容易做到“深入淺出”。或許，這就是一種學無止境的體驗吧。

【參考文獻】

[1]陳希孺. 數理統計學簡史[M].長沙：湖南教育出版社，2002.

[2]劉堅，孔企平，張丹.義務教育教科書·數學（四年級下冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[3]史寧中.數學基本思想與教學[M].北京：商務印書館，2018.

[4]史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.