初中數學核心素養中數學抽象的應用及解題技巧

摘 要：數學抽象是初中學生數學學習中不可或缺的能力，也是學生發展核心素養的關鍵能力之一，它能夠幫助學生更好地理解數學概念，并靈活運用數學方法分析和解決實際問題.文章以“探索三角形全等條件”為例，探討數學抽象在初中數學學習中的具體應用及解題技巧.

關鍵詞：初中數學；核心素養；數學抽象；解題技巧

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0042-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：涂椿仙（1977.6—），男，福建省長汀人，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

基金項目：龍巖市2023年度課題“核心素養視域下數學‘學教評一致性’研究與實踐”（課題編號：SJMS2023-06）.

在初中數學學科中，數學抽象是一項至關重要的核心素養，對于學生的數學學習和解題能力具有重要作用［1］.數學抽象不僅可以培養學生的思維能力和邏輯推理能力，還能幫助學生更好地理解數學概念，靈活運用數學模型解決實際問題［2］.基于此，在學習“探索三角形全等條件”時，教師可引入具體實例，逐步引導學生從具體情境中抽象出數學符號和概念，幫助其理解三角形全等的條件，從而培養學生的抽象思維能力，

不斷提高其運用所學知識分析問題和解決問題的能力，

提升數學核心素養.

1 數學抽象素養的內涵

數學抽象是指對數學對象、概念、性質和關系進行分析、歸納和推理，以便發現其中的共性規律和普遍性規律的思維過程和能力.數學抽象在數學思維和解決數學問題中起著重要的作用.通過抓住數學對象的本質特征歸納總結規律并建立符號化表達，將具體與抽象相互轉化并進行推廣與應用，從而深入理解數學的本質和規律，并能靈活運用于解決各種數學問題.此外，數學抽象在日常生活中也同樣具有廣泛的應用價值.

2 利用數學抽象解決三角形全等問題

2.1 加強審題，利用幾何圖形的性質解題

在學習“探索三角形全等條件”時，教師可引導學生通過理解題目中給出的條件，并將其抽象成為數學性質和關系，從而運用相關全等條件判斷是否可以確定三角形的全等關系，有助于學生培養數學抽象的能力和解決問題的思維方式.

例1 如圖1，在△CBA和△DAB中，∠C=∠D=90°，AB為公共邊，且AC=BD.求證：AE=BE.

解析 為證AE=BE，可將其抽象為三角形全等問題，根據圖形特征及已知條件即可證明.根據圖形特征，欲證明AE=BE，只需證明AE和BE所在的兩個三角形全等，然后利用全等三角形的性質得出AE=BE.已知條件為AC=BD，∠C=∠D，要想通過證得兩個三角形全等得出AE=BE，需根據圖形特征選定兩個能夠全等的三角形.如果選定△CBA和△DAB，根據已知條件，∠C=∠D=90°，AC=BD，AB=BA，由直角三角形全等的判定“HL”可知△CBA≌△DAB，從而可得∠CBA=∠DAB.由“等角對等邊”性質可得AE=BE.如果選定△CEA和△DEB，根據已知條件可知AC=BD，∠C=∠D.由圖1可知，直線AD和BC相交于點E，根據“對頂角相等”可得到∠AEC=∠BED，從而可證△CEA≌△DEB，由全等三角形的性質可得AE=BE.

例2 如圖2所示，四邊形ABCD為正方形，在BC上任取一點G，連接AG，過D點作DE⊥AG，垂足為E，過B點作BF∥DE，交于線AG于點F.求證：AF=EF+BF.

解析 根據圖形特征，顯然AF=AE+EF.要想證得AF=EF+BF，只需證明AE=BF.因為AE是△ADE的邊，BF是△BAF的邊，從而可將該問題轉化為證△ADE和△BAF全等.根據已知條件及正方形的性質證明AF=BF即可.根據已知條件可知四邊形ABCD是正方形，所以∠BAD=∠ABC=90°，AD=BA.因為DE⊥AG，BF∥DE，所以BF⊥AG，即∠AED=∠BFA=90°.由此得到三角形全等的兩個條件，即一組邊和一組角分別相等，還有一組條件才能判定兩個三角形全等.根據“SAS”、“AAS”或“HL”判定定理，還需找到一組相等的邊或一組相等的角.根據圖形特征，易得∠BAD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE=90°，根據余角性質可得∠ABF=∠DAE，從而判定△ADE≌△BAF.

2.2 添加輔助線，建立新條件解題

為培養學生的數學抽象素養，在解決與三角形全等有關的幾何問題的過程中，教師應引導學生根據已知條件和幾何圖形分析問題.為構建已知條件和所求結論之間的邏輯關系，有時需結合圖形特征構造輔助線，使原有的圖形中出現全等三角形，從而使已知條件和所求結論之間的關系更加清晰，幫助學生形成解題思路，推動解題過程順利進行.在初中數學教學中，教師要讓學生掌握常用的解題技巧，培養學生發現問題中隱藏的條件和結論的能力.

例3 如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠C和∠A是否相等？請說明理由.

分析 為培養學生的數學抽象素養，根據圖形特征及其已知條件，要想說明∠C和∠A是否相等，需要添加輔助線構造如圖4所示的三角形圖，通過證明三角形全等即可說明∠C=∠A.

解 如圖4，連接BD，在△ABD和△BCD中，因為AB=BC，AD=CD，BD=BD，所以△ABD≌△BCD（SSS），所以∠C=∠A.

例4 如圖5，線段AC與BD相交于 點O，連接AD，BC.已知AD=BC，AC=BD，求證：AO=BO.

分析 欲證AO=BO，只需將本題抽象轉化為證明△ADO和△BCO全等即可.根據已知條件可知，AD=BC，AC=BD.根據對頂角的性質可知∠AOD=∠BOC.根據這三個條件無法證明三角形全等.因此，需添加輔助線，構造新三角形，為問題解決創造條件.

解 如圖6，連接CD.在△ADC和△BCD中，CD=DC，AD=BC，AC=BD，所以△ADC≌△BCD（SSS），所以∠DAC=∠CBD.在△AOD和△BOC中，∠DOA=∠COB，∠DAC=∠CBD，AD=BC，所以△AOD≌△BOC（AAS），所以AO=BO.

2.3 歸納類比，強化思維解題

在初中數學教學中，教師需引導學生及時歸納解題方法，并類比應用到解決其他問題中，強化學生的解題思維.這樣的訓練能夠培養學生的觀察力、邏輯思維和問題解決能力，使學生更深入地理解三角形全等條件的本質，并能夠靈活運用數學抽象解決類似的問題.基于此，可對例4進行變式，得到例5.

例5 如圖7所示，在△ODA和△OCB中 ，點A在OC上，點B在OD上，∠DOC=50°，∠ODA=35°，BO=AO，CO=DO，求∠CEA的度數.

分析 基于例4的解題思想，欲求∠CEA的度數，需將問題轉化為三角形全等問題，利用全等三角形的性質求某些角的度數.

解 在△ODA和△OCB中 ，因為BO=AO，∠AOD=∠BOC，CO=DO，所以△ODA≌△OCB ，所以∠OCB=∠ODA=35°.又因為∠EAC=∠ODA+∠DOC=85°，所以∠CEA=180°-∠EAC-∠OCB=180°-85°-35°=60°.

2.4 建立符號化表達，利用數學知識解題

為培養學生的數學抽象素養，在引導學生解決數學問題時，教師應將生活元素融入數學知識中，引導學生將生活問題轉化為數學問題，然后利用數學知識解決實際問題，達到學以致用的目的.在解決問題的過程中，學生可通過符號語言更直觀地表示和分析問題，將復雜的實際問題轉化為數學問題.這樣的訓練有助于培養學生的數學抽象能力，提升其數學思維和解題能力.

例6 某校初二學生被組織去野外進行測量活動，要測量如圖8所示的池塘的寬度，即點A與點B之間的距離，請設計測量方案，并說明理由.

分析 欲測池塘的寬度，即線段AB的長，可考慮將全等三角形知識和生活實際聯系起來，將實際問題抽象為數學問題，然后利用數學知識解決問題.

解 如圖8，在池塘外取定一點C，該點能夠直接到達點A與點B，連接AC并延長到點D，使CD=AC.連接BC并延長到點E，使CE=BC.連接DE，AB.測量出ED的長度即得到池塘AB的寬度.理由如下：在△DEC和△ABC中，CD=AC，∠2=∠1，CE=BC，所以△DEC≌△ABC，所以DE=AB.

3 結束語

初中數學教學的最終目標是培養學生的數學核心素養，而數學抽象是其中一項關鍵技能.通過“探索三角形全等條件”的解題過程，可以更好地理解和應用數學抽象.數學抽象不僅能夠幫助學生形成清晰的解題思路，而且能夠培養學生分析問題、形成概念、建立關系的能力.因此，在初中數學學習中，教師需要重視數學抽象的培養，給學生提供更多探索和應用的機會，讓學生能夠靈活運用數學抽象解決問題.這不僅有助于學生對數學概念和原理的理解與運用，還能培養學生的數學思維能力，為未來學習和生活奠定堅實的數學基礎.

參考文獻：

［1］" 盛茜.立足基本環節 提升核心素養：以培養學生的數學抽象素養為例［J］.高中數學教與學，2023（13）：1-4.

［2］ 金鑫.關注數學抽象，發展學生核心素養［J］.教學管理與教育研究，2023（12）：66-68.

［責任編輯：李 璟］