等積法：解決四邊形問(wèn)題的重要方法

［摘 要］等積法是指利用圖形的面積相等或作等量代換求解或證明幾何問(wèn)題的方法，是解決四邊形問(wèn)題的重要方法。文章結(jié)合幾個(gè)實(shí)例多角度對(duì)等積法在解決四邊形問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行分析探討，以使學(xué)生體會(huì)等積法的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］等積法；四邊形問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）23-0034-03

四邊形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要圖形，四邊形問(wèn)題是歷年中考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)，而等積法是解決四邊形問(wèn)題的重要方法。等積法是等面積法的簡(jiǎn)稱(chēng)，指利用圖形面積相等或作等量代換求解或證明幾何問(wèn)題的方法，利用等積法解決四邊形問(wèn)題可以化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。下面，筆者結(jié)合實(shí)例分類(lèi)闡述如何利用等積法解決四邊形問(wèn)題。

一、求邊長(zhǎng)

利用等積法求四邊形中某條線段的長(zhǎng)，可以通過(guò)兩次列式計(jì)算四邊形的面積，建立等式求解未知量的值。

［例1］如圖1，四邊形[ABCD]是[⊙O]的內(nèi)接四邊形，[BD]是直徑，[AB=AD]，過(guò)點(diǎn)[A]作[AE⊥BC]于點(diǎn)[E]，[AF⊥CD]于點(diǎn)[F]。（1）求證：[BE=DF]；（2）若[BC=3]，[DC=5]，求[AC]的長(zhǎng)。

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到[∠BAD=∠BCD=90°]，推出四邊形[AECF]是矩形，得到[∠EAF=90°]，往證[△AEB ]≌[△AFD]，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到[BE=DF]；（2）根據(jù)勾股定理得到[BD=BC2+DC2=32+52=34]，所以在Rt[△BAD]中，有[AB=AD=22BD=17]，根據(jù)三角形的面積公式即可解出所求。

解：（1）∵[BD]是直徑，∴[∠BAD=∠BCD=90°]，∵[AE⊥BC]于點(diǎn)[E]，[AF⊥DC]于點(diǎn)[F]，∴[∠E=∠AFC=∠AFD=90°]，∴四邊形[AECF]是矩形，∴[∠EAF=90°]，∵[∠EAB+∠BAF=∠EAF=90°]，[∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°]，∴[∠EAB=∠FAD]，∵[AB=AD]，∴[△AEB ]≌[△AFD]（AAS），∴[BE=DF]。

（2）∵[BC=3]，[DC=5]，∴在Rt[△BCD]中，[BD=BC2+DC2=32+52=34]，∴在Rt[△BAD]中，[AB=AD=22BD=17]，由（1）知[△AEB ]≌[△AFD]，∴[AE=AF]，∵[S四邊形ABCD=S△BAD+S△BCD=12AB·AD+12BC·DC]，[S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12BC·AE+12DC·AF]，[AE=AF]，即[17×17+3×5=3×AE+5×AE]，∴[AE=4]，∵[∠ACB=∠ADB=45°]，∴[△AEC]是等腰直角三角形，∴[AC=2AE=42]。

評(píng)注：本題先用對(duì)角線[BD]將四邊形[ABCD]分割為兩個(gè)直角三角形，再用對(duì)角線[AC]將四邊形[ABCD]分割為一個(gè)銳角三角形與一個(gè)鈍角三角形，然后根據(jù)不同的分割方式分別列式表示這四個(gè)三角形的面積，借助面積相等的性質(zhì)建立方程，最后求得[AC]的長(zhǎng)。這類(lèi)對(duì)同一幾何圖形進(jìn)行不同分割是等積法求線段長(zhǎng)的典型實(shí)例。

二、求高線長(zhǎng)

利用等積法求高線長(zhǎng)一般表現(xiàn)為求菱形的高線長(zhǎng)，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以菱形的面積是兩條對(duì)角線乘積的一半。同時(shí)，菱形還是特殊的平行四邊形，它的面積還可以用底乘以高來(lái)表示，所以菱形的高線長(zhǎng)可以用等積法求得。

［例2］如圖2，已知菱形[ABCD]兩條對(duì)角線[BD]與[AC]的長(zhǎng)之比為3∶4，周長(zhǎng)為40 cm，求菱形的高及面積。

分析：設(shè)[BD=3x]，[AC=4x]，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得[BO=32x]，[AO=2x]，由菱形的周長(zhǎng)為40可得[AB=10]，利用勾股定理求出[BO]和[AO]，繼而求出[AC]和[BD]，再由菱形兩種面積計(jì)算公式求出菱形的高及面積。

解：∵[BD]∶[AC=3]∶4，∴設(shè)[BD=3x]，[AC=4x]，∴[BO=32x]，[AO=2x]，又∵[AC⊥BD]，在Rt[△AOB]中[AB2=BO2+AO2]，∴[AB=52x]，∵菱形的周長(zhǎng)是40 cm，∴[AB=40÷4=10]，即[52x=10]，∴[x=4]，∴[BD=12]，[AC=16]，∴[S菱形ABCD=12BD·AC=12×12×16=96]，又∵[S菱形ABCD=AB·h]，∴[h=9610=9.6]。答：菱形的高是9.6 cm，面積是96 cm2。

評(píng)注：本題雖然沒(méi)有直接給出菱形的對(duì)角線長(zhǎng)，但卻是根據(jù)菱形的周長(zhǎng)以及對(duì)角線的比值，再利用菱形對(duì)角線的垂直且平分的性質(zhì)列方程求得對(duì)角線的長(zhǎng)，由此求得菱形的面積，進(jìn)而根據(jù)等積法求得菱形的高。

三、求線段的和

求兩條線段的和一般不用求出這兩條線段各自的長(zhǎng)，而是將這兩條線段的和看作整體。用等積法求線段的和一般運(yùn)用于等腰三角形中，即當(dāng)一個(gè)四邊形由若干個(gè)等腰三角形組成并要求線段和時(shí)，可考慮等積法。

［例3］如圖3，已知矩形[ABCD]的對(duì)角線[AC]，[BD]交于點(diǎn)[O]，點(diǎn)[P]為[BC]邊上任意一點(diǎn)，[PE⊥AC]于點(diǎn)[E]，[PF⊥BD]于點(diǎn)[F]，[∠AOD=120°]，[AC=8]，求[PE+PF]的值。

分析：連接[OP]，先證明[△AOB]是等邊三角形，得出[AB=OA=OB=4]，再由勾股定理求出[BC]，最后通過(guò)[S△OBC=S△OBP+S△COP=14S矩形ABCD]，即可得出結(jié)果。

解：連接[OP]，如圖4所示，∵四邊形[ABCD]是矩形，[AC=8]∴[∠ABC=90°]，[OA=OC=12AC=4]，[OB=OD=12BD]，[AC=BD]，∴[OA=OB]，[S△OBC=14S矩形ABCD]，∵[∠AOD=120°]，∴[∠AOB=60°]，∴[△AOB]是等邊三角形，∴[AB=OA=OB=4]，∴在Rt[△ABC]中，[BC=AC2-AB2=82-42=43]，又∵[OB=OC]，[S矩形ABCD=AB×BC]，∴[S△OBC=S△OBP+S△COP=12OB·PF+12OC·PE=12OB×（PE+PF）=14AB×BC]，即[12×4×（PE+PF）=14×4×43]，∴[PE+PF=23]。

評(píng)注：由矩形的對(duì)角線相等且相互平分，可得矩形被兩條對(duì)角線分成了四個(gè)面積相等的等腰三角形，由矩形面積可得其中一個(gè)等腰三角形的面積。當(dāng)連接[OP]后，[△OBC]被分成了兩個(gè)三角形，分別計(jì)算這兩個(gè)三角形的面積再相加，由于這兩個(gè)三角形的底邊相等，可以得到[PE+PF]的式子，再利用等積法就可求得這兩條線段的和。

四、求證角平分線

利用等積法求證角平分線，實(shí)際上就是通過(guò)兩個(gè)三角形面積相等，得到一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么過(guò)這個(gè)點(diǎn)與角的頂點(diǎn)的射線就是這個(gè)角的平分線。

［例4］如圖5，在平行四邊形[ABCD]中，點(diǎn)[E]、[F]分別在[AD]、[CD]上，連接[AF]、[CE]并相交于點(diǎn)[O]，且[AF=CE]，連接[BO]。求證：[BO]平分[∠AOC]。

分析：如圖6，連接[BE]，[BF]，過(guò)點(diǎn)[B]作[BG⊥AF]于點(diǎn)[G]，[BH]垂直[CE]于點(diǎn)[H]，由[△ABF]與[?ABCD]的面積關(guān)系及[△BCE]與[?ABCD]的面積關(guān)系，得[△ABF]和[△BCE]面積相等，進(jìn)而通過(guò)列等式及[AF]∶[CE]判斷出[BG=BH]，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理即可得出結(jié)論。

證明：如圖6，連接[BE]，[BF]，過(guò)點(diǎn)[B]作[BG⊥AF]于點(diǎn)[G]，[BH⊥CE]于點(diǎn)[H]，∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，可得[S△ABF=12S?ABCD]，[S△BCE=12S?ABCD]，∴[S△ABF=S△BCE]，∵[S△ABF=12AF·BG]，[S△BCE=12CE·BH]，∴[12AF·BG=12CE·BH]，即[AF·BG=CE·BH]，∵[AF=CE]，∴[BG=BH]，又∵[BG⊥AF]，[BH⊥CE]，點(diǎn)[B]在[∠AOC]內(nèi)，∴[OB]平分[∠AOC]。

評(píng)注：本題由兩個(gè)三角形都等于同一平行四邊形面積的一半，得到它們面積相等，因?yàn)榈走呄嗟龋运鼈兊母咭蚕嗟龋詈笥山瞧椒志€性質(zhì)定理的逆定理得到角平分線。這里是利用等積法證得了兩條高線相等，是等積法的又一價(jià)值體現(xiàn)。

五、求圖形面積

利用等積法求圖形面積是指將原圖形分割拼接后得到的圖形與原圖形面積相等，也就是圖形的形狀雖然變了但是面積不變，利用這一點(diǎn)可以求得未知圖形的面積。它包括將兩個(gè)或多個(gè)圖形拼合成一個(gè)圖形，或?qū)⒉灰?guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

［例5］在直角梯形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，[∠B=∠A=90°]。操作：小明取直角梯形[ABCD]的非直角腰[CD]的中點(diǎn)[P]，過(guò)點(diǎn)[P]作[PE]∥[AB]，交[BC]于點(diǎn)[E]，剪下[△PEC]（如圖7），并將[△PEC]繞點(diǎn)[P]按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°到[△PFD]的位置，拼成新的圖形（如圖8）。小明發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)四邊形中，只要有一組對(duì)邊平行，就可以剪拼成平行四邊形。如圖9，在梯形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，[E]是[CD]的中點(diǎn)，[EF⊥AB]于點(diǎn)[F]，[AB=5]，[EF=4]，求梯形[ABCD]的面積。

分析：如圖10，過(guò)點(diǎn)[E]作[AB]的平行線，交[BC]于點(diǎn)[G]，交[AD]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[H]，易證四邊形[ABGH]是平行四邊形，由[△DEH ]≌[△CEG]，得[S△DEH=S△CEG]，得[S梯形ABCD=S?ABGH]，再利用平行四邊形的面積公式求出[S?ABGH]即可。

解：如圖10，過(guò)點(diǎn)[E]作[AB]的平行線，交[BC]于點(diǎn)[G]，交[AD]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[H]，∵[AH]∥[CG]，∴[∠H=∠CGE]，∵[E]是[CD]的中點(diǎn)，∴[DE=CE]，又∵[∠DEH=∠CEG]，∴[△DEH ]≌[△CEG]（AAS），∴[S△DEH=S△CEG ]，∵[AH]∥[BC]，[AB]∥[HG]，∴四邊形[ABGH]是平行四邊形，∵[EF⊥AB]于點(diǎn)[F]，[AB=5]，[EF=4]，∴[S?ABDH=AB×EF=5×4=20]，∴[S梯形ABCD=S五邊形ABGED+S△CEG=S五邊形ABGED+S△DEH=S?ABDH=20]。

評(píng)注：本題利用兩個(gè)全等三角形的面積，將梯形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積，也就是利用圖形分割重新拼合后面積不變求得不規(guī)則圖形的面積。

六、求最值

利用等積法求最值，常與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合，先利用等積法建立起函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)自變量的取值范圍，確定因變量的取值范圍，這樣就可以求得因變量的最大值與最小值。

［例6］如圖11，正方形[ABCD]的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)[P]為邊[BC]上任意一點(diǎn)（可與點(diǎn)[B]或點(diǎn)[C]重合），分別過(guò)[B]、[C]、[D]作射線[AP]的垂線，垂足分別是[B']、[C']、[D']。（1）設(shè)[AP=x]，[BB'+CC'+DD'=y]，求[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系式，并求出[x]的取值范圍；（2）直接寫(xiě)出[y]的最大值為" " " " " " " "，最小值為" " " " " " " "。

分析：（1）連接[AC]、[DP]，根據(jù)三角形的面積公式得出[S△DPC=S△APC=12×AP×CC′]，根據(jù)[S正方形ABCD=S△ABP+S△DPC+S△ADP]，推出[BB′+CC′+DD′=8AP]，即可得解；（2）根據(jù)已知得出[2≤AP≤22]，代入（1）即可得解。

解：（1）如圖12，連接[AC]、[DP]，∵正方形[ABCD]的邊長(zhǎng)為2，∴[S正方形ABCD=2×2=4]，由勾股定理得：[AC=AB2+BC2=22+22=22]，∵[AB=2]，∴[2≤AP≤22]，∵[△DPC]和[△APC]的公共邊[CP]上的高分別是[DC]、[AB]且[DC=AB]，∴[S△DPC=S△APC=12×AP×CC′]，∵[4=S正方形ABCD=S△ABP+S△DPC+S△ADP=12×AP×（BB′+CC′+DD′）]，∴[BB′+CC′+DD′=8AP]，∴[y=8x]，其中[2≤x≤22]；（2）由（1）知，[y=8x]，[2≤x≤22]，∴當(dāng)[2≤x≤22]時(shí)，[y]隨著[x]的增大而減小，∵當(dāng)[x=2]時(shí)，[y=4]，當(dāng)[x=22]時(shí)，[y=22]，∴[22≤y≤4]，即[y]的最大值為4，最小值為2[2]。

評(píng)注：本題根據(jù)正方形的面積等于三個(gè)同底三角形面積的和，建立了三條垂線段的和與[AP]的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)自變量[AP]的取值范圍，求得三條垂線段和的取值范圍，也就得到了三條垂線段和的最大值與最小值。

綜上，等積法在求四邊形的邊長(zhǎng)、高線長(zhǎng)、線段和以及證明角平分線、求圖形面積、求最值等方面有重要運(yùn)用。利用等積法可以將復(fù)雜的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化。教學(xué)中引入等積法可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯 梁桂廣）