數學史融入高中數學教學的設計研究

摘 要：數學史作為數學文化中不可缺少的關鍵部分，有利于學生對數學的深入理解和認識，也能幫助學生了解人類文明的發展歷程.新課標對數學史融入高中數學教學較為關注，需要教師在知識講解期間合理滲透數學史，保證學生能對知識學習產生濃厚興趣，加深學生對知識的印象與理解，讓學生的視野拓寬，為學生學科素養的發展打下良好基礎.因此，為提高教學有效性，教師應該將知識講解與數學史深度融合.在高中數學中，“三角函數”是教學重點，在高考中占有較大比例.基于此，本文圍繞“三角函數”教學設計展開，深入探究數學史在其中的融入對策.

關鍵詞：數學史；“三角函數”；教學策略；教學設計

將數學史融入三角函數教學中，有利于學生數學知識的內化與理解，也能讓學生通過對數學史的學習，形成良好的核心素養.學生在對數學史的深入研究中，能夠進一步探索和創新，這有助于學生綜合能力的提高.因此，為保證教學工作順利實施，高質量、高效率完成教學任務，教師應該圍繞教學內容，選取合理的方式將數學史滲透到知識講解中．

1 融入數學史料，設計教學活動

教師在三角函數教學過程中，需要保證活動設計的合理性、可行性，選取的數學史料要圍繞教學內容，并能夠以學生的水平、興趣為立足點，選擇合適的數學史料，以便學生在對三角函數知識學習與認識的同時，能夠對數學知識的歷史淵源以及內在價值有深刻的理解，以促進學生數學素養的提高，幫助學生形成良好的思維與創新能力.^［1］同時，教師也要保證教學方法選取的科學性，將三角函數教學的個性化特征展現出來.例如，在對人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》中“函數y=Asin（ωx+φ）”知識講解期間，教師的教學設計思路如下.

數學史料呈現，筒車是利用水流的流動性讓水桶旋轉，為農田灌溉提供方便.結合史料可知，筒車最早出現在隋朝，在唐朝時期得到大力發展，已有1000多年歷史.在明朝科學家徐光啟編寫的《農政全書》中，他利用圖畫的方式展現了筒車的工作原理（如圖1）.

師：同學們思考一下，如果在確保水流量保持平穩的條件下，筒車上的盛水筒在運動過程中，呈勻速，能不能利用函數模型將盛水筒距離水面的高度和時間關系畫出來？

教師通過此種方式的提問，讓學生在對問題思考和探究中了解筒車的運動原理.同時，教師引導學生采用三角函數模型對整個運動規律進行刻畫，加深學生對知識的印象．

2 反思教學過程，提高教學能力

教學過程并非單純對知識加以講解，還需要在講解過程中觀察、總結、歸納以及反思.因此，針對三角函數教學，教師應該在數學史滲透過程中學會反思，了解數學史料的融入是否合理，選擇的史料是否能夠與教學內容相匹配，獲得的效果是否能達到預期.^［2］通過不斷總結，教師依照反思結果以及學生的反饋意見，選擇合適且恰當的教學模式，靈活調整教學計劃，以便教學過程在持續優化與完善的同時，教學效率能夠提高，學生的能力也可以在潛移默化中增強.

例如，在對“兩角和與差的余弦公式”知識點講解期間，為保證學生能夠對新知識快速掌握和理解，教師可以在探究環節以帕普斯幾何模型為依據，利用問題對學生加以引導和驅動，讓學生逐步探索公式的形成以及證明過程，即cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα sinβ和cos（α+β）=cosα cosβ-sinα· sinβ.在對知識理解后，教師引導學生反思，并讓學生思考知識探究過程中遇到哪些問題、存在的困惑以及獲得了哪些收獲.教師也要對整個過程進行反思，了解數學史融入是否合理，學生能否接受，是否有助于學生知識的理解和內化，能否幫助學生將遇到的問題解決.在不斷反思和探究后，教師依照最終的反思結果，結合實際問題優化教學形式，保證教學過程能夠持續完善．

3 教學要素分析

在對兩角和與差的余弦公式證明過程中，教師可以采用多種方法.教材在編寫過程中，由于版本的不同，加之立意上存在一定差異，采用的方法也有明顯不同.在對方法選擇的過程中，除了要讓公式的證明過程簡單、容易之外，教師也要從學生的角度出發，盡可能讓學生快速熟悉和接受.同時，教師要保證公式推導有據可依，能夠將教材編寫的整體立意展現出來.本節內容在講解過程中，主要目的是將圓的對稱性和三角函數關系有效整合，采用旋轉對稱性的方式對兩角差余弦公式加以證明.在教學活動開展前，教師可以利用問題的方式引導學生探究，讓學生自主探索和分析.此外，在證明過程中，教材采用的推導方法主要借助加法和減法之間的關聯，以達到讓整個證明過程簡化的目的.

通過解讀教材發現，在本節知識點講解過程中，教材中設置三道例題，前兩道例題側重的是運用兩角差的余弦公式，旨在讓學生了解誘導公式和兩角差公式之間的關聯.最后一道題則是逆用兩角和的余弦公式.利用例題的方式對知識進行講解，可以讓學生對公式有更深的印象，幫助學生了解公式的功能以及作用.并且，在不斷的練習中，學生也能形成逆向思維，對運算水平與能力的提高有促進作用.^［3］

在教學人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》中“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”時，“兩角差的余弦公式”是第一課時的內容.該章節內容主要分為三個部分：第一部分是探討兩角和與差的正弦、余弦和正切公式；第二部分涉及二倍角的正弦、余弦和正切公式；第三部分則聚焦于基礎的三角恒等式變換.其中，“兩角和與差的余弦公式”對后續知識的學習有重要作用．

4 教學過程

（1）情境創設，引入新課.

@amp;師：amp;@古希臘天文學家、哲學家阿里斯塔克斯（Aristarchus）在觀測時注意到，當月亮呈現半圓形狀時，太陽中心S、地球中心E和月亮中心M三點形成的角度為87°（如圖2）.他當時試圖探究ES和EM之間的數量關系.為解決這一問題，他需要嘗試計算出sin87°的值和cos87°的值.同時，他也進行了一系列探究.在不斷地推導以及努力下，他成功推導出了兩者之間的數量關系.那么同學們現在思考一下，采用怎樣的方式才能將任意角的三角函數值計算出來呢？

問題1 算出下列三組三角函數值.

（1）sin30°；sin45°；sin60°.

（2）cos30°；cos45°；cos60°.

（3）cos15°；cos75°．

問題2 如果在表示兩個任意角的過程中，利用α和β代替，同學們想一想，在表示cos（α-β）和cos（α+β）的時候，可不可以同樣借助α和β代替？

【設計意圖】通過此種方式的利用，合理融入數學史，學生可以對數學知識的起源有正確了解，激發學生的探索欲望，也能夠在不斷探索中了解兩角和與差的余弦公式是非常重要的知識，由此讓公式的引入更為順暢，為后續知識的學習打下良好基礎.

（2）建立模型，探究公式.

問題3 如圖3所示，α和β是兩個銳角，嘗試在圖上找出與sinα、sinβ、cosα、cosβ相等的線段．

@amp;生：amp;@可以采用作垂線的方式得出（如圖4），具體為

AM=sinα，BP=sinβ，OM=cosα，OP=cosβ.

問題4 經歷了之前的分析和研究，能夠在圖中用α和β表示線段的長度，那么同學們現在可不可以將長度等于cos（α-β）的線段找出來？

@amp;生：amp;@過點A作AN⊥OB，垂足為N（如圖5），因為OA=1，所以ON=

cos（α-β）.因為ON=cos（α-β），因此研究長度等于cos（α-β）的線段，也就是研究線段ON的長度.

【設計意圖】借助啟發和引導的方式，使學生不僅可以深化對知識的認識，也能夠對數學家的思維過程有深層次體會，感受數學證明過程的嚴謹，在探究過程中體會數學的魅力.

問題5 線段ON的長度怎么用α和β的正弦和余弦表示？

教師與學生之間互動交流，并在探究過程中對學生加以啟發，讓學生嘗試采用添加輔助線的方式解決問題.如圖6所示，過點M作OB的垂線，垂足為H，得OH=OMcosβ=cosαcosβ；過點M 作 AN 的垂線，垂足為Q，得MQ=AM sinβ=sinαsinβ.

問題6 通過觀察不難發現在之前探討的問題中，我們都是以銳角為研究對象，那么如果是其他角，我們得出的結論還正確嗎？

@amp;生：amp;@如果不是銳角，在公式證明過程中，可以利用誘導公式，最終推導出來的結果依然是正確的.

【設計意圖】通過引導學生思考探究，讓學生分析其他角是否能保證結論正確，學生在探究過程中能夠讓思維發散，對邏輯推理核心素養的提升大有裨益.

問題7 在推導公式的過程中，如果不運用帕普斯模型，能運用其他方法將公式推導出來嗎？

教師采用微視頻的方式為學生展示其他數學家推導公式的方法和技巧，并以學生已有的知識為前提，為學生介紹不同的推導方式.教師著重講解美國數學家麥克沙恩（E.J.Mcshane）對公式推導的過程，并讓學生了解這種方法便是教材中應用的方法，具體如圖7所示.

【設計意圖】利用微視頻的方式為學生講解不同數學家的公式推導方式，可以讓學生的思維和眼界得到拓寬，課堂氛圍也能得到活躍.抽象、靜態的知識會以動態的方式展現，學生的探索欲望會增強，即便遇到困難也會迎難而上，在不斷探究中形成創新意識.對于數學家來說，利用不同的方式推導公式，既是追求美的體現，也是對數學熱愛之情的展現.學生可以將數學家作為榜樣，在學習數學知識過程中嘗試運用多種方法，熟練應用技能技巧，以達到對知識靈活應用的目標.

（3）應用感知，學以致用.

練習1 求 cos15°及 cos75°的值．

練習2 求下列各式的值.

（1）cos37°cos23°-sin37°sin23°.

（2）cos64°sin56°-sin64°cos56°．

練習3 α，β均為銳角，且sinα=55，cosβ=1010，求α-β的值．

【設計意圖】通過設計相應練習題，使學生能夠靈活運用公式，并將其用于解決實際問題，這有助于學生數學思維的拓展，更能讓學生對三角代換的思想有深刻體會和認識.

（4）總結提升，概括歸納.

為了能讓學生對知識有更深入的理解，教師在知識講解完后，需要對知識點進行歸納總結，詳細概括本章節知識，幫助學生厘清知識點之間的關聯，并讓學生了解本節知識在數學史中的作用.從古代天文觀測到現代科學技術的應用，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（α，β為任意角）、cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（α，β為任意角）對三角問題的解決有重要價值.通過深入學習，學生的數學技能不僅能提高，數學的邏輯性也會不斷增強.此外，學生也能產生對數學的探索欲，對數學史散發的魅力有深刻體會.

【設計意圖】課堂上大膽表達，學生之間相互借鑒、補充，并通過教師總結以及評價，學生的概括能力不僅能增強，數學史意識也會在不知不覺中形成.學生通過對數學史的學習，能夠與數學近距離接觸，強化學習自信心，真正將“德育之效”體現出來.

（5）情感升華，任務后延.

對教材中的兩組練習題選做.

【設計意圖】通過這種方式，不僅可以讓學生的新知識得到鞏固，

而且使學生在練習中靈活使用公式，幫助學生快速將問題解決．

5 結語

為促進三角函數教學效果與質量的提高，教師在教學設計過程中，應該保證數學教學方法選擇的針對性、適用性、合理性，對知識內容展開全方位的研究，并圍繞教學目標和內容，科學選擇和利用數學史料，同時與教學活動深入整合，保證學生在快速理解和內化知識的同時，思維能力能得到良好發展.此外，為保證教學活動順利推進，教師也要確保活動設計的多元化，在對教材深入分析的基礎上，科學創設教學情境，靈活搭建教學模型，以便學生能夠靈活利用知識，真正做到學以致用．

參考文獻

［1］宋嬋，馬旭.數學史融入高中數學的教學設計探索與實踐——以“數系的擴充”教學為例［J］.數理化解題研究，2024（21）：24-26．

［2］李玟潔，陳算榮，徐倪明.融入數學史的高中數學教學研究——“祖暅原理與幾何體體積”的重構設計［J］.高中數學教與學，2023（1）：1-5．

［3］薛鈞予.融入數學史的高中數學教學設計研究［J］.試題與研究，2019（6）：128．