深度教學視角下初中幾何教學的策略思考

摘要：初中的幾何教學，歷來是一線教師的難點、痛點.基于深度教學理論，在幾何教學中開展教學實踐，讓學生從熟悉的圖形出發，經歷探究、發現、推理、證明的學習過程，引發學生的深度思考.以“平行線的拐角問題”為例，提出“以問題串挖掘幾何學習的充分深度”“以變式訓練擴展幾何學習的充分廣度”“采用多元實踐體現幾何學習的充分關聯度”“以多媒體信息技術拓寬幾何深度教學的路徑”等初中幾何教學的策略，培養學生數學思維，提升幾何方面的推理能力等核心素養.

關鍵詞：教學策略；初中幾何；深度教學；平行線拐角問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布后，“如何使核心素養在教學中落地”成為教育研究的熱點.深度教學強調教學應越過知識表層符號的教學，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，引導學生走向對學科思想和意義的理解并促進學生的深度學習，其目標指向學生學科核心素養的發展[1].因此，實施深度教學是培養學生核心素養的重要途徑.

初中幾何是在小學學習過的一些基本圖形的基礎上，進一步研究幾何圖形的性質與判定方法、圖形的變化，以及圖形與坐標的關系.相對于代數、概率與統計的教學，初中幾何教學的難度，長期以來都為師生所詬病.幾何的學習，涉及較多的圖形變化、轉化，需要在前期的幾何教學中，形成一定的觀察、想象以及歸納推理、類比推理和演繹推理能力，這樣才能在以后的學習中從容應對，有效地發展幾何直觀、空間觀念、推理能力等數學核心素養.因此，在七年級的幾何教學中，打下堅實的基礎至關重要.本文中以七年級的“平行線的拐角問題”為例，在深度教學理論視角下，探討初中幾何教學的策略.

1 “平行線的拐角問題”的內容分析

“平行線的拐角問題”是人教版數學教材七年級下冊第五章第三小節習題中的內容，是在學習了平行線的定義、判定以及性質后，綜合運用這些知識去解決“已知平行線求角與角之間的關系”或“已知角之間的關系，推出直線之間的平行關系”的問題.本節課的難點在于添加輔助線，以此實現線的關系和角的關系的互相轉化.但在此前，學生從未接觸過添加輔助線求解的問題，如何突破此難點，是教學中的一大挑戰.

在日常教學中，我們發現，教師在教學中往往直接給出添加輔助線的方法，講解例題后，沿“一個拐點到多個拐點”這樣的教學順序進行變式.看似由淺入深的教學，符合學生的思維模式，但是一來教師由于課堂的時間限制，講解不能夠透徹，二來學生以為自己學會了，但其實只能死板地記住添加輔助線的位置，或者直接套用結論，至于為什么要添加輔助線，什么時候應該添加輔助線，還是沒有解決.如果題目的圖形中拐點位置發生了變化，大多數學生都不能夠找出變化后的圖形與“平行線的拐角”之間的關系.課堂教學中虛假學習和淺表學習現象大量存在，課后“平行線的拐角問題”仍然是學生心目中的一個難點，添加輔助線更是在學生心目中平添了一層神秘感.要解決以上問題，幾何的課堂教學就必須向著能夠促進學生深度學習的方向轉型.

2 深度教學視角下的初中幾何教學的策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：幾何教學中，“圖形的性質”強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理[2].深度教學是超越知識表層結構而進入深層結構的教學.通過教師的引導，引發學生的深層思考，注重培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.學生圍繞學習目標深度參與，通過探索把新知識轉化為已有知識，從而產生新的認知，解決新的問題.筆者在教學實踐中摸索出以下教學策略，以達到深度教學的目的.

2.1 以問題串挖掘幾何學習的充分深度

教學設計應該以學生“探究未知”作為出發點，然后根據學習主題，提出相應的問題，引發學生思考.只有當學生在思考中遇到困難的時候，教師才進行下一步指導［3］.本節課是學習平行線的性質后的一節練習課，但是學生學習以后往往把這種類型的題目單獨列出來，認為這類題與平行線的關系就是從添加一條平行線開始的.所以，筆者首先要解決的問題是：為什么要學習平行線？

為解決這個問題，筆者在讓學生完成以下填空題：

例1 如圖1所示，直線AB，CD，EF被直線GH所截，且CD∥EF，∠1=70°，∠2=110°.

（1）求證：CD∥AB.

證明：∵CD∥EF（已知），

∴∠+∠=180°（" ）.

又∠2=110°（已知），

∴∠3=70°.

又∠1=70°（已知），

∴∠=∠（等量代換）.

∴EF∥AB（" ）.

∵CD∥EF，

∴CD∥AB（" ）.

（2）如果∠4=117°，∠5=20°，∠6=.

問題1 學習平行線的判定與性質的作用是什么？

說明：學生通過思考體會“平行線實現了線的關系和角的關系的互相轉化”.

問題2 以前所學過的角度的計算中，參與運算的角都有公共的頂點，但是圖1中∠4=∠5+∠6，而∠4和∠5，∠6并沒有公共的頂點，應該怎么處理？

說明：這個問題引導學生發現可以利用平行線對角進行平移，為之后添加輔助線作鋪墊.在講解例題的過程中，如果學生只是記住在哪里添加輔助線，則屬于淺表學習.課堂需要解決深層的問題，即什么時候應該添加輔助線，添加輔助線能夠解決怎樣的問題.于是筆者設計了如下的例題.

例2 如圖2，學校C在A同學家的北偏東45°方向，在B同學家的北偏西25°方向，則∠ACB=.

分析：此例引導學生思考下列幾個問題.

（1）解決這個問題我們遇到的困難是什么？

（2）如何轉化為我們熟悉的問題嗎？其手段是什么？

（3）如何添加輔助線？為什么要這樣添加？能達到什么目的？

（4）如果把角度的具體數值去掉，那么∠A，∠B與∠ACB有怎樣的關系？

在教師引導下逐步從“為什么要添加輔助線”到“在哪里添加輔助線”，再到“添加什么樣的輔助線”的過程，一步步把圖形拆分成為基礎的“三線八角”圖形.

說明：問題（1）引導學生發現解題中的困難.比如圖2中∠A，∠B這兩個角沒有共同的頂點；同時，雖然本題可以找到平行的條件，但是也并沒有給出“三線八角”的基礎圖形.由此引發學生思考解決辦法.

問題（2）進一步引導學生從已有知識中尋找方法，把已知的知識納入新的結構中，也就是把復雜的圖形拆分成熟悉的“三線八角”的基本圖形，解決的是“什么時候添加輔助線”的問題.

問題（3）更具體地讓學生思考“怎樣添加輔助線”這一問題，此處呼應知識復習時提到的“利用平行線進行角的平移”，借助添加的平行線把需要求的角移動到同一個頂點的位置進行計算.

問題（4）是一個從特殊到一般的過程，去掉具體的角度，形成模型，讓學生理解圖形中角之間的聯系.

深度教學是一種主動的、高投入的、理解記憶的、涉及高階思維，并且學習結果遷移性強的學習狀態和學習過程.教師設計的問題相當于建筑過程中搭建的“腳手架”，給學生布置思考的任務.自適應學習理論中，亦主張根據知識之間的內在邏輯關系，將有解題步驟的例題和問題串連成組，通過“條件建構”和“條件優化”幫助學生獲取產生式[4].這樣，學生能夠對具體的任務進行主動的思考和探究，從淺表知識挖掘到更深一層的知識，實現真正的深度學習.

2.2 以變式訓練擴展幾何學習的充分廣度

深度教學強調教師在一定情境中引導學生進行超越表層的知識符號學習，重在深度開發知識內涵的價值.變式教學能夠引發學生的深度思維，提高課堂學習的質量，是實現深度教學的重要手段之一.問題的變式既能夠實現對基礎知識的鞏固，又能夠實現知識的遷移，激發學生解決問題的興趣.教師對知識點進行針對性的變式，也可以讓學生自己探索變化的多種可能性，達到深度學習的目的.在“平行線的拐角問題”例題講解后，筆者沒有如以往教學，直接給出變式題目，而是讓學生通過實驗操作，嘗試找出除例題外，平行線間的拐點所在的位置有哪幾種情況？經探究發現，可能性如圖3所示：

學生通過自己動手操作，找出了一個點在平面移動過程中的其他五種情況，每一個變式圖形看上去都和例題的圖形不同，在探究時學生會發現按照之前問題的順序思考，以上圖形同樣可以找到相應的角度關系，從而這類問題的解決方法得到了鞏固和熟練.

在探究結論后學生也會發現，五種變式圖形的角度之間的關系并不是相同的，隨著點的位置不同，得到的角度關系式也不一樣.此時教師還能夠進一步引導，加上例題的圖形，一共有六種情況.為什么只有六種情況呢？其實是兩條平行線被第三條直線所截，三條線把平面分成了六個區域，拐點在每一個區域形成了一個圖形，所以一共只有六種情況.這個結論把無限的可能變成有限，再找出有限可能的存在規律，突破了學生思維的障礙，把知識向更深一層拓展.之后，給出以下變式練習：

變式1 如圖4，直線l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，則∠3的度數為.

變式2 如圖5，一條公路修到湖邊需繞道，第一次拐角∠B=110°，第二次拐角∠C=150°，為了保持公路AB與DE平行，則第三次拐角∠D的度數為.

說明：變式1讓學生從所給圖形中發現基礎圖形，再用前面發現的結論解決問題，變式2改變了角的方向.通過變式題目的練習，培養學生的發散思維、幾何直觀的和推理能力.變式2相當于兩種情況的組合，也為多個拐點的解決打好了基礎.學生經過推理變式問題，思維更加靈活，更加自信，主動解決問題的意識增強，與深度教學的理念相吻合.

2.3 采用多元實踐體現幾何學習的充分關聯度

2.3.1 利用實驗操作進行實踐

實踐是檢驗真理的唯一標準.學生可以通過動手操作完成探究的過程，加深對知識的理解.在本節課中，筆者采用分組模式完成了兩個實驗過程.第一個實驗，讓學生通過教具探索平行線間一個拐點的所有可能性；第二個實驗，讓學生進行組間競賽，完成以下幾個任務：

（1）在適當的位置添加輔助線；

（2）分別畫出添加輔助線后得到的兩個基礎圖形；

（3）寫出∠E，∠A和∠C的關系；

（4）請一個學生展示本小組的結論并敘述理由.

以上前三個任務學生若能順利完成，則，說明學生初步熟悉了基本的解題模型，能夠把復雜圖形分解成為簡單的基本圖形，清楚不同情況得到的結論也不相同，不同情況下的結論不需要死記硬背.任務（4）講述理由則是讓學生理清分析思路的過程，使學生進一步加深印象.根據學生水平的不同由學生自主選擇需要完成的任務，學生可以自主、積極地進行互動交流，最終通過合作順利完成任務.

2.3.2 做好作業設計，將深度思考延續到課后

為了讓學生的思維得到拓展，可以將深度學習的有效性鞏固、深化延續到課后.教師應該改變布置作業的習慣，將以前的題海戰術精簡成為目標指向性突出的精選作業.比如一題多解、深化思維等形式更能夠刺激學生思考“精練”模式，或者在課后設計探究性的實踐作業.本節課后，筆者讓學生思考遇到平行線間有n個拐點的“鋸齒圖”時應當如何解決？然后以思維導圖的形式對本節課的內容進行總結歸納.學生通過制作思維導圖重新回顧課堂知識，并對所學圖形加以分類、深化，使教學成果得以鞏固和延續.

2.4 以多媒體信息技術拓寬幾何深度教學的路徑

當今時代隨著多媒體信息技術的飛速發展，更多的視頻、軟件和多媒體平臺可以運用到教學中，學生之間、師生之間打破了時間和空間的限制.課堂上能夠更快地進行反饋和評價，大大提高了深度教學的有效性.本節課是“廣州-畢節-甕安-河源”智慧課堂-數字教材“專遞課堂”展示交流活動的一節示范課，筆者通過信息技術同時對廣州和貴州兩地的學生上課，講課過程中運用了希沃白板的拖曳、書寫、動畫等功能，同時，也利用了智慧平臺的分組討論、快速問答、課堂獎勵等功能，在學生分小組探究的過程中對每個小組的討論過程及結果進行展示和評價獎勵，大大了提高課堂效率，也激發了學生的探究興趣和學習熱情.

3 結束語

在初中幾何教學中開展深度教學，既滿足了新課標中對幾何推理能力的要求，又提升了學生的核心素養.教師從教學目標出發，以學生作為深度教學的中心，并結合多元性的教育理念組織實施深度教學，這樣可以不斷提高課堂的效率以及教學的有效性.深度教學不是提高教學的難度或者是增加課堂的容量，而是促進學生思維向深度發展，激發學生主動學習、積極探索的內驅力.多種教學策略相結合，可以達到很好的效果.

參考文獻：

[1]金果.地理核心素養培養視角下深度教學策略研究[D].南京：南京師范大學，2021.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]陳莉紅，曹經富.2021年中考\"圖形的性質\"專題命題分析[J].中國數學教育，2022（Z1）：68-78，96.

[4]李亦菲.自適應學習的理論與實踐[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2004（4）：55-58.