新課程背景下高中數學拓展教學探析

［摘 要］拓展教學是一種創新的教育教學方法，它要求教師從更高的層次出發，不僅關注知識的傳授，更注重能力的培養和素質的提升。高中數學新課程中設計了許多探究活動和拓廣探索題，旨在對教材知識進行適當的拓展與延伸，培養學生的思維能力。文章結合高中數學的特點介紹了什么是拓展教學，以及拓展教學的目的和作用，并以“直線和圓的方程”為例，詳細闡述了教師如何在拓展教學中引導學生探索求解過程，進而培養學生的探究能力。

［關鍵詞］拓展教學；新課程；直線和圓的方程；高中數學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0010-04

拓展教學是指根據課程的教學內容和目標，整合一定范圍和深度的外部相關內容的教學活動。與傳統教學主要側重于知識的傳授不同，拓展教學方法對教師和學生提出了更高的要求。它旨在加深學生對教學內容的理解，培養學生的探究興趣和意識，同時提高學生的問題解決能力，從而促進學生全面和個性化發展。

隨著新課標的貫徹執行，拓展教學已成為課堂教學的重要組成部分。高中數學知識體量大，模塊眾多且各模塊間聯系緊密，學生學習任務艱巨。一些高考考點教材未直接涉及，需教師在課堂上對學生進行適當的拓展訓練。教材的每一章節都設置了較多的拓展和探究題目以及活動設計，內容和類型豐富。然而，一些教師仍采用傳統的教學方式，忽視了教材中的拓展和探究題目，未能實現教材編者的教學目標和意圖。其實，用好這些拓展和探究題目，對教材做適當的拓展，補充相應的知識點，增加例題和解題方法，并提供適量練習，不僅可以幫助學生鞏固知識，還可以提升學生的自主學習能力和解題能力。

那么，如何對教材進行適當的拓展和延伸呢？下面筆者以高中數學選擇性必修一第二章“直線和圓的方程”的教學為例，談談個人對拓展教學的思考。

一、對拓廣探索題進行適當拓展

在教學第二章第三節“直線的交點坐標與距離公式”時，部分教師對教材第80頁的拓廣探索題并未給予足夠的重視，甚至直接跳過這部分內容，進入下一節的教學。比如第16題：“已知[λ]為任意實數，當[λ]變化時，方程[3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0]表示什么圖形？圖形有何特點？”編者設計這些拓廣探索題的目的是讓學生在學過的直線與直線相交的位置關系基礎上，進一步探索如何求過交點的直線系方程。通過這樣的練習，學生不僅能鞏固知識，還能使其得到延伸和升華；同時，這也有助于開闊視野、拓展思維，并培養學生的自主學習能力。

在教學中，教師講解完第70頁的例1（求兩條直線“[l1：3x+4y-2=0]，[l2：2x+y+2=0]”的交點坐標，并畫出圖形）后，可以進一步設問：過交點的直線有多少條？這些直線該怎么表示？能否用[l1]和[l2]的形式來表示這些過交點的直線？如果可以，該怎么表示？

這樣的設問可以激發學生的求知欲，為他們的探究做好鋪墊。課后，讓學生帶著這些問題去思考和討論，并在下一節課上充分發表自己的見解，最終在教師指導下得出過兩條直線交點的直線系結論：

設直線[l1：A1x+B1y+C1=0]，[l2：A2x+B2y+C2=0]，則過兩直線交點的直線[l]的方程為：[A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0]。

二、對結論進行適當拓展訓練

利用上述結論可以快捷地解決很多題目，大大節省計算時間，凸顯了探究的實用價值。為了鞏固學生的學習成果，教師可以設計一至兩道題，并引入變式訓練。

［題目］求證：不論[m]取什么實數，直線[（2m-1）x+（m+3）y-m-10=0]都經過一個定點，并求出這個定點。

通過這樣的設計，教學不再局限于教材中的例題，既能深入教材，又能超越教材，符合學生知識生成的規律，還實現了知識的拓展和延伸，培養了學生的自主學習能力。

三、對例題進行適當拓展

再看教材第96頁“圓與圓的位置關系”中的例5：

已知圓[C1：x2+y2+2x+8y-8=0]，圓[C2：x2+y2-4x-4y-2=0]，試判斷圓[C1]與圓[C2]的位置關系。

本例給出了兩種解法：

解法2：依據兩圓圓心距與兩圓半徑之和及兩圓半徑之差的大小關系，判斷出兩圓的位置關系是相交。

雖然教材從代數角度和數形結合角度給出了兩種不同的解法，但教學不應局限于此。在當今注重數學學科核心素養培養的背景下，教師可在原題的基礎上，為學生設計一個探究與拓展環節，引導學生深入思考。如針對上述例題，教師可提出以下問題：

問題1：若兩圓相交于點A和點B，你能求出弦AB的長度嗎？

問題2：求過A，B兩點且圓心為[（3，4）]的圓[C3]的方程。

問題3：若點[M（1，-1）]在經過A，B的圓[C4]上，求圓[C4]的方程。

問題2：在問題1的基礎上，可以求出圓[C3]的半徑為5，因此圓[C3]的方程為[（x-3）2+（y-4）2=25]，化為圓的一般方程得[x2+y2-6x-8y=0]。

上述三個問題難度適中且層層遞進。利用學過的知識，學生可以自行解決這些問題。在學生分析完畢后，教師還可以進一步引導學生討論以下問題：

問題4：問題2和問題3有什么共同點？

問題5：經過A，B兩點的圓有多少個？它們的方程分別是什么？

問題6：這一類圓有什么樣的特征？能否用一種統一的形式來表示？

事實上，這些問題都在引導學生探究關于經過相交弦AB兩端點的圓的方程。通過層層遞進的問題引導學生思考、討論、探究，這樣的設計可以拓展學生的思維，提升學生的猜想能力和探究能力，并最終順勢引出圓系方程。

已知圓的一般方程：

圓[C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0]，圓[C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0]，

則過圓[C1]和圓[C2]交點的圓的方程可表示為：

[x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0]。

首先，這個方程代表一個圓。其次，圓[C1]和圓[C2]的交點[A]，[B]滿足這個方程，這是因為點[A]在圓[C1]上，所以點[A]的坐標可代入圓[C1]的方程，而點[A]也在圓[C2]上，所以點[A]的坐標也可代入圓[C2]的方程。圓[C1]的方程加上[λ]倍的圓[C2]的方程就可得到上面的圓系方程，所以點[A]在圓系方程代表的圓上。同理，點[B]也在圓系方程代表的圓上，所以圓系方程代表過圓[C1]和圓[C2]的交點的圓的方程。

如果沒有[λ]，上述圓系方程就只能表示所有相交圓中的一個，而加入一個任意實數[λ]后，該方程就可以表示所有的圓。當然，只要知道了這個圓經過的相交點以外的任何一個點，就可以確定[λ]的值。

四、“數形結合”的拓展應用

“數形結合”是把代數中的“數”與幾何上的“形”結合起來認識、理解和解決問題的思維方法，一般包括以“形”助“數”和以“數”解“形”兩個方面。在“直線和圓的方程”教學中，“數形結合”無處不在，比如下面這道題：

還可以設計以下題型：

已知圓[C1：（x-2）2+（y-3）2=1]，圓[C2：（x-3）2+（y-4）2=9]，[M]，[N]分別是圓[C1，C2]上的動點，[P]為[x]軸上的動點，則[PM+PN]的最小值為（ ）。

［分析］利用圓的性質及“將軍飲馬”模型來計算最值即可求出答案。

［詳解］如圖2所示，易知[O1（2，3）]，[O2（3，4）]，兩圓的半徑分別為[r1=1]，[r2=3]，取點[O1]關于橫軸的對稱點[A]，則[A（2，-3）]，在橫軸上任取一點[P]，連接[PO1，PO2]，連接[AO2]，交橫軸于點P，交圓[C2]于點E（圓上靠近橫軸一點），連接[PO1]交圓[C1]于

五、對題型進行拓展創新

近幾年，高考數學試題越來越重視對數學基本概念及其性質、基本技能和基本方法的考查，同時更注重綜合考查，要求學生能夠靈活運用數學思想方法來解決問題。此外，高考數學試題一直在尋求“雙基”與“創新”之間的平衡，涌現出許多新穎別致的創新題目。這些創新題目以“雙基”為立足點，通過橫向類比、縱向加深或陳題開放等方式進行設計。同時，這些試題背景新穎，以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，運算量不大，但思維容量大。因此，解答這類題目需要運用觀察、分析、類比、歸納等方法，僅靠重復操練是無法順利完成的。設置這些創新題目旨在訓練和考查學生的思維能力、分析問題和解決問題的能力。在“直線和圓的方程”教學中，教師可以嘗試拓展設計一些類似的創新題型。比如下面這道題：

（多選題）如圖3所示，在[8×6]的長方形區域（含邊界）中有[A，B]兩點，對于該區域中的點[P]，若

區域中的點[P]，其到[B]的距離不超過到[A]距離的一半，則稱點[P]處于[B]的控制下，則下列說法正確的有（ ）。

A.點（4，2）處于[A]的控制下

B.若點[P]不處于[A]的控制下，則其必處于[B]的控制下

D.圖中所有處于[A]的控制下的點構成的區域面積為[8+5π]

［分析］根據新定義可直接判斷選項A；取特殊點可判斷選項B；根據定義可求出點P所在區域，判斷選項C；結合圖象可求出面積，判斷選項D。

制下，當點處于[O，C，D]處時，其與A的距離有最大

六、結語

拓展教學的作用在于加強學生對教學內容的深入理解，培養學生的探究興趣和意識，引導學生掌握科學思維方法和探究方法，從而使其分析問題和解決問題的能力得到提升，促進學生全面和個性化發展。

拓展教學的目標是培養學生的批判性思維、創造性思維、問題解決能力和團隊合作精神，進而提升其綜合素質和未來競爭力。為了實現這一目標，教師應盡可能地提供多樣化的學科和主題選擇，鼓勵學生積極參與并探索自己感興趣的領域，從而激發他們的學習熱情和動力。

其實，類似于上文提及的拓展與探究內容，在教材中還有很多。這里所舉的例子只是極少部分，旨在拋磚引玉。教師需要在教學中合理利用教材，平時要勤于思考、善于發現和積累，精心設計拓展環節。只有這樣，才能做好教學的拓展工作，引導學生積極探索，并在探索的過程中挖掘深層次的知識，培養綜合能力。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 趙麗琴.把脈音樂課中的“拓展教學”[J].啟迪與智慧（教育），2015（6）：68.

[2]" 朱淑英.關于如何有效組織美術課后拓展的研究[J].啟迪與智慧（教育），2017（1）：31.

[3]" 付巍.“學案教學”的思考：聽兩節解析幾何課有感[J].數學通報，2013（8）：33-36.