添加輔助線 一題多解法

［摘 要］作輔助線是解決幾何問題的關鍵手段，文章以一道有關三角形的題目為例，具體闡述如何通過巧妙添加輔助線，實現一題多解，進而拓寬學生的解題思路，提升他們的思維品質。

［關鍵詞］輔助線；一題多解；初中數學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0024-03

作輔助線是解決幾何問題的關鍵手段。本文以一道有關三角形的題目為例，具體闡述如何通過巧妙添加輔助線，探索相關問題的多種解法，以拓寬學生的解題思維，提升學生的思維品質。

一、原題呈現

如圖1，在[△ABC]中，[∠ACB=135°]，[CD⊥AB]，垂足為[D]，若[AD=6]，[BD=20]，則[CD]的長為（ ）。

這是一道以三角形為背景的幾何題。題目圖形由兩個直角三角形拼合成一個鈍角三角形，已知這兩個直角三角形的各一邊長及鈍角的度數，要求出鈍角三角形最長邊上的高。解題的關鍵在于巧妙添加輔助線，構造出特殊的三角形，并利用特殊三角形的邊角關系求解。

二、解法探究

解法1：如圖2，作[△ABC]的外接圓，圓心為[O]，過點[O]作[OE⊥AB]于點[E]，過點[O]作[OF]∥[AB]，交[CD]的延長線于點[F]，連接[OA]，[OC]，[OB]。由垂徑定理得[AE=BE]。因為[AD=6]，[BD=20]，所以[AB=26]，[AE=BE=13]，[DE=7]。因為[∠ACB=135°]，由圓內接四邊形性質定理得弧[AB]所對的圓

評注：通過構造輔助圓，得到等腰直角三角形[AOB]，并作垂線[OF]分別構造矩形[OEDF]和Rt△[OFC]，借助矩形的性質實現邊長的轉換，及利用勾股定理求出[CF]的長。

評注：從135[°]的鄰補角是45[°]入手，通過作垂線構造等腰直角三角形，并運用勾股定理求解各邊的長。最后，利用“相似三角形對應邊成比例”建立方程求[CD]的長。采用“算兩次”策略，結合勾股定理與相似性質，成功求出[CD]的長。

解法3：如圖4，過點[A]作[AE]∥[BC]，過點[B]作[BE]∥[AC]，[AE]，[BE]交于點[E]，過點[E]作[EF⊥BC]于點[F]，構造平行四邊形[ACBE]，因此[AC=BE]，[AE=BC]。因為[∠ACB=135°]，所以[∠CBE=45°]，設[CD=x]，因為[CD⊥AB]，[AD=6]，

評注：本題是面積法在幾何問題中的一個典型應用實例。通過作平行線構造平行四邊形，再作垂線構造等腰直角三角形，利用平行四邊形對角線分割面積相等的性質，得到面積等式[S△BCE=S△ABC]，據此建立方程，通過解方程求出[x]。

解法4：如圖5，將[△ADC]沿[AC]翻折得到[△AEC]，將[△BCD]沿[BC]翻折得到[△BCF]，延長[AE]、[BF]交于點[G]，因為[CD⊥AB]，所以[△ADC]、[△AEC]、[△CDB]、[△CFB]均為直角三角形，因為[∠ACB=135°]，所以[∠ACB+∠ACE+∠BCF=270°]，所以[∠ECF=90°]，所以四邊形[ECFG]是矩形，所以[∠G=90°]，因為[CE=CF=CD]，所以四邊形[ECFG]是正方形，設[CD=x]，則[EG=FG=x]，因為[AD=6]，[BD=20]，所以[AE=6]，[BF=20]，所以[AG=x+6]，[BG=x+20]，在Rt[△AGB]中，由勾股定理[得AB2=AG2+BG2]，即[262=（x+6）2+（x+20）2]，解得[x=4]或[x=-30]（舍去），所以[CD=4]，故選D。

評注：當[x=4]時，[△ABG]的三邊恰好是勾股數5、12、13的兩倍，即10、24、26，此解法不僅基于扎實的基礎知識與技能，而且超越基礎層面，展現了命題者對學生思維的訓練，很是巧妙。

評注：由135[°]的鄰補角是45[°]入手，構造“一線三等角”的K型圖，利用[△FEA ]≌[△ADC]，推導出[△FEB ]∽[△CDB]及其各邊的代數關系。最后，通過相似三角形對應成比例建立方程求解，實現了全等三角形與相似三角形的綜合運用。

得[x=4]或[x=-30]（舍去），所以[CD=4]，故選D。

評注：由135[°]角入手，構造“一線三等角”的K型圖。與解法5相比，本解法構造的三個等角是三個鈍角，而解法5構造的是三個直角。本解法主要利用等腰直角三角形與矩形的性質，為相似三角形的對應邊提供數據支持，最后通過相似三角形對應邊成比例建立方程求解。

評注：通過構造兩個等腰直角三角形[△ADM]與[△BDN]，進而構造出相似三角形[△AMC]與[△CNB]。利用相似三角形對應邊成比例建立方程求解。之所以要構造等腰直角三角形，是因為圖形中有[∠ACB=135°]，135[°]與45[°]互補，這一角度關系為構造相似三角形提供了關鍵條件。

解法8：如圖9，在[AD]上截取[DE=CD]，連接[CE]，因為[CD⊥AB]，所以[△CED]是等腰直角三角形，所以[∠CED=45°]，所以[∠A+∠ACE=45°]，因

評注：本解法構圖比較簡單，只構造了一個等腰直角三角形，然后利用“母子型”相似三角形[△AEC ]∽[△ACB]，根據對應邊成比例建立方程求解。

評注：本解法通過在左右兩個方向上構造兩個等腰直角三角形，得到兩個135[°]的鈍角三角形，與已知[∠ACB=135°]相等。通過導角得到另一組等角，從而確立相似三角形[△ACE]與[△CBF]。最后，利用相似三角形對應邊成比例建立方程求解。

綜上，解題時作輔助線，應以啟發思考為突破口，以突出通性通法為抓手，以培養學生學習能力為宗旨，引導學生學會學習并逐步提高思維水平，進而提升學生的數學核心素養。