建模思想在高中數學教學中的應用探究

【摘要】在教育改革不斷深入的背景下，高中數學教學模式也應隨之而變，傳統教學過于注重公式和理論知識傳授，忽視學生技能和綜合素質的培養.對此，教師可將建模思想引入課堂，引導學生以數學語言描述現實問題，由此降低解題難度，促進思維發展.基于此，文章分析了建模思想在數學課堂中的應用意義，剖析了當前高中數學建模教學中存在的問題，進一步探究了建模思想的實際應用策略，以期通過優化教學方案、創設教學情境、開展過程性評價等方式，不斷強化學生的建模思想，促進學生數學學習水平提升.

【關鍵詞】高中數學；課堂教學；建模思想；實踐應用

引 言

在實施素質教育過程中，高中數學教師應意識到“授人以魚，不如授人以漁”，只有學生真正掌握學習思路和方法，才能夠做到舉一反三，提高解題速度和準確率.數學建模思想作為一種思維方式，主張立足實際問題，經過深層次題目和信息解讀，將實際問題轉化為數學語言，尋找問題的本質規律，為解題提供理論支持.對此，數學教師應對數學建模加強重視，將其融入課堂教學中，主動優化教學方案，使學生樹立建模思維，靈活地運用所學知識，提高問題解決能力，取得更加理想的學習成果.

一、建模思想在高中數學教學中的應用意義

（一）有助于學生靈活運用知識

高中階段是學生學習的黃金時期，也是數學建模素養形成的關鍵時間點，學習并非讓學生變得刻板，而是通過數學建模的形式，促進理論和實踐的關聯，培養學生的實踐能力，促進學生發散思維的發展，使其變得更加靈動.在以往的教學中，大部分學生對應用題不知從何下手，或者根本看不懂.究其原因，受應試教育影響，學生長期處于被動學習狀態，很少有獨立思考和探索的機會，當題型更換說法后，便感到無從下手.新課標背景下強調培養學生的建模思想，教師應引導學生根據建模目的、對象特征，聯系已有知識經驗，簡化問題，并使用數學公式、圖形、表格等，對問題進行合理恰當的模型假設.在此期間，學生需要綜合運用所學知識，融入建模思想，深層次理解知識本質，并在自主學習、探索中得以延伸，活躍思維，做到舉一反三，實現知識點的靈活運用.

（二）有助于提升學生數學學習興趣

在教學中，教師圍繞課本知識，將與建模相關的歐幾里得幾何、萬有引力定律等故事滲透進來，使學生了解知識的背景來源，激發學生的學習興趣.同時，教師還可引導學生自主探究，借助計算機技術、小組合作等方式，培養其獨立思考能力和創新思維.面對復雜數學問題時，教師可引導學生從問題背景著手，以模型假設、創建、求解等方式，將復雜問題簡單化，由此激發學生的學習興趣，深入理解建模原理和應用方法，拓展思想和想象空間，并在師生交流、生生交流中，提高協作能力、表達能力、思考能力，實現自身的全面發展.

二、當前高中數學建模教學存在的問題

（一）教學理念滯后

當前高中數學教學中，在建模能力培養方面存在以下問題.部分教師受應試教育理念影響，對建模能力培養的重視度不足，認為建模能力屬于高階教學內容，需要在大學階段培養，與高中生關系不大.部分教師的教案老舊，已經嚴重滯后于現代化教學步伐，沒有滲透建模能力培養的相關內容，仍以知識灌輸為主，教學內容十分乏味枯燥，很難激發學生的學習熱情.部分教師在課后考評階段，以結果性評價為主，忽視學生建模能力的考查，導致學生歸納能力、舉一反三、邏輯思維能力的提升較慢，抑制了知識遷移，不利于數學綜合能力提升.

（二）建模活動指導不足

以往建模教學中，教師自身居于主體地位，未對學生進行科學引導，導致建模活動開展機械生硬，學生收獲甚微.在建模教學初期，教師沒有立足于教材，制訂與建模思想和能力培養相契合的教學目標，且學生缺乏相關建模經驗，對信息、數據的提取方式單一，尚未樹立問題意識，加上教師引導的缺失，無法充分感受建模活動的積極意義.在假設階段，學生容易以形象思維為主，過度關注實際問題解決的確切性，未能充分發揮歸納、抽象、遷移等思維將現實問題簡單化處理，從而影響建模活動的高效開展.出現上述問題主要因為教師指導不足，導致學生在建模期間效能感缺失，無法充分地在數學世界、現實之間互動聯系，自然難以取得理想的教學效果.

（三）教學評價方式單一

科學的教學評價不僅能夠檢測學生的學習成果，還能夠考核教師的教學成效，對學生建模能力提升具有促進作用.在以往的高考試題中，數學建模考查多以知識的直接運用、演繹證明、推理等為主，題目條件和所求答案之間相對封閉，但在教育改革后，試卷考查更偏向于學生思維和應變能力，這就需要教師將數學模型的相關思維均納入評價體系中.但是，當前數學課堂以結果性評價為主，過于重視分數，而數學建模需要多角度分析問題，沒有統一標準答案，甚至沒有相似經驗可供借鑒，這就需要學生具備較強的知識遷移能力、審題能力、發散思維.但在現行的教學評價中，偏向于考查應試能力，側重單一思維，不利于強化學生數學建模思維，還會影響學生數學學習能力的提升.

三、建模思想在高中數學教學中的應用策略

（一）優化教學方案，培養建模意識

高考題目中體現數學建模思想的綜合題占比較大，大體可分為不等式模型、概率統計模型、三角模型和幾何模型等，為何高效開展建模教學成為數學教師所要思考的重要課題.受應試教育影響，學生已經習慣于傳統的教師講授、自己傾聽的模式，思維習慣較為固化，面對實際問題時常常無法做到學以致用，影響學習效率提升.在教育改革背景下，要求教師轉變教學思維，注重建模思想的傳授，引導學生通過自主探究，逐步養成自主分析和思考的習慣，順利解答數學問題.對此，教師應深刻意識到建模思想的內涵和應用價值，加強數學建模問題的相關理論研究，掌握最新研究成果，不斷更新自身知識體系，提高思想認知，能夠在教學理念層面做到與時俱進.教師還應樹立終身學習意識，利用課余時間加強教育學、心理學、認知心理學等相關知識學習，做好建模教學的理論準備，提前了解學生在建模期間可能面臨哪些困難、所學的解決方法等，便于課上有針對性地引導，高效培養學生建模思想和能力，學會靈活運用技巧順利解題.

此外，教師還要對教學方案優化設計，將其與建模能力培養相結合，以例題講解的形式，使學生掌握數學建模思路、過程，引導其根據實際問題，用所學數學模型解答應用型問題.待學生掌握一定建模思想后，教師可引導學生對已經建立的模型進行問題分析、假設檢驗，分析模型的不足之處，互相交流與分享，實現共同進步.高中生具有好奇、好動、好問的心理特點，思維逐漸從經驗型走向理論型，在教學期間，教師應結合學生的身心發展特點，督促學生認真審題，準確尋找題目中的數量關系，從中洞察題目的要點、用意，運用聯想、類比、猜想和邏輯推理等方式，將實際問題轉化為數學表達式，并借助幾何圖形、坐標儀、數學關系式等輔助解題.例如，在解答最優化問題時，學生可構建函數模型解決問題；在解答生產規劃問題時，可將問題轉化成不等式、方程問題進行解決；針對運行軌道問題，可通過創建幾何模型解決.

（二）立足教材內容，巧妙創建數學模型

高中數學以課堂教學的形式開展，但當前部分教師片面注重知識點傳授，忽視建模思想、建模方法的講解，不利于學生知識點扎實記憶.對此，教師應立足教材內容，分析教材內容和基本學情，明確教學目標與重難點，以情境教學的形式將建模思想融入課堂之中，引導學生探索思考、創建模型、解決問題，從而加深學生對知識點的理解和記憶，做到學以致用.

1.教材內容分析

以人教A版高中數學必修第一冊“指數函數的概念”為例，該章節是在函數基本性質、冪函數之后，對數函數之前的課程內容，具有承上啟下的作用.學生經過初中階段的學習，已經對n次方等概念有所了解，再加上前幾章函數基本性質、冪函數的學習，能夠把握一定的函數學習規律.教師立足教材內容，從三維角度設立教學目標，在知識與技能層面，要求領悟并掌握指數函數概念和定義；在過程方法層面，要求了解指數函數的應用場景，知曉數學源于生活，能夠在探索中掌握指數知識的應用方法；在情感價值觀方面，通過親身參與數學模型創建，學會站在數學角度看待問題，逐步樹立建模意識，提高邏輯思維.

2.創設情境，探索新知

為吸引學生眼球，使其快速進入學習狀態，教師采用情境教學法，立足于教材內容創設相應的教學情境，引領學生一同探索新知.例如，我國人民生活品質不斷提升，旅游業逐漸發展.隨著每年出行人數不斷增加，A，B兩個景區2011～2020年，兩景區游客的數量變化情況如下表所示.

出示表格后，教師讓學生認真觀察表中數據，探究兩處客流量波動有何規律，并分別談一談.甲同學思考后表示：“A景區每年游客的增長量在10萬左右，可將其近似成一個常數，B景區每年游客增長量十分顯著，規律不顯著.”教師點頭表示認可，然后追問：“為使B景區游客量變化規律更顯著，可以尋找其他量來表示增長情況嗎？”學生思考后并未給出答案，這時教師借機引出本節課的關鍵詞“指數增長”，也就是用增長率進行表示.上述情境中，經過計算發現B景區2012年和2011年游客數量比值近似1.1，2013年和2012年的游客比值接近1.1，每一年和前一年相比，游客增長數量均約1.1，因此B景區的增長率接近1.1，可看成一個常數，這樣的增長變化規律便是“指數增長”.上述教學情境的設計從學生熟悉的生活場景入手，引導學生自行思考、發現數學規律，明確B景區游客數量與時間增長的關聯，動手嘗試建立函數模型.

3.建立模型，解決問題

根據上述數據分析可知，B景區從2011年開始，1年后，游客量為2011年的1.1倍，2年后，數量是2011年的1.12倍，3年后為1.13倍，由此推測，x年后，游客數量為2011年的1.1x倍，假設用y表示，則可列出函數式y=1.1x（x取值為[0，+∞））.上述問題解答中，x的單位是年，計算結果與實際值相接近，且x不能取小數，否則涉及淡旺季問題，影響計算結果，因此只能為正整數.上述設計可引導學生通過數據分析，動手嘗試構建數學模型，促進問題解答.針對上述實例進行深入研究，設A景區的門票價格為150元，B景區的門票價格為200元，對比兩個景區近10年旅游收入的變化情況.該問題的設置促使學生利用模型思維進行求解，鍛煉利用模型解決實際問題的能力.可見，在教師啟發下，學生學會多角度分析數據，發現規律，創建函數模型，并求解應用.在此期間，學生能夠充分體驗建模過程，感受建模思想在實際場景中的應用，并樹立數學建模意識，自身的閱讀思考能力、運算能力也得到顯著提升.

（三）強化建模思想，提高數學學習能力

數學建模問題與生活實際息息相關，常常一個問題有多種解題思路，十分靈活多變.這就要求教師注重建模思想的強化，通過開展變式訓練、強化閱讀理解能力等方式，使學生的數學學習能力和素質得到全面提升.

1.開展變式訓練，培養知識遷移能力

數學建模問題并非一成不變，而是多樣且復雜的問題，如若教師在教學時，單純展示固定格式的題型，缺乏結構和形式上的改變，學生只能獲得固定的知識與經驗，不利于高階思維培養.對此，在建模教學中，教師應注重變式訓練，促進學生能力遷移，強化建模思維.經過初中階段和高中部分階段知識學習，學生已經接觸到多種數學模型，如函數模型、概率模型、幾何模型等，教師可引導學生歸類整理，使其掌握不同類型模型的用法和思路，能夠根據不同的應用題型，靈活運用相應模型求解各類建模問題.教師還可針對已知題目，改變題目中的部分條件，開展變式訓練，引導學生改變以往思路，使其學會數學知識遷移，從不同角度切入思考求解，提高舉一反三、類比、聯想等能力，創造性總結這一類問題的解決思路，實現從特殊到一般經驗轉化，促進能力遷移.

2.強化數學閱讀理解能力

建模問題源于生活，常常以較長文字敘述形式呈現，其中摻雜一些圖形、符號語言等，部分學生在閱讀題目時感到云里霧里，未能理清題意，此時如若盲目下手解題，很容易失誤丟分.可見，閱讀理解能力是能否順利解決建模問題的基本能力.對此，教師應引導學生逐句剖析題目，不遺漏任何條件，找到每句話、每個圖形內的關鍵信息，還要分析隱藏信息以及文字敘述中的數量關系，用自己的話解讀出來，分別列出條件和結論后再進行求解.在課堂教學中，教師還要從具體事物著手，由具體到抽象，由特殊到一般，逐層深吸，強化學生的理解，在建模中對使用方法、策略加以解釋，引導學生理清其中關聯，掌握更多的解題方法和技巧，明白知識、技巧和策略間并非相互獨立，而是相互聯系的關系，由此構建完整的結構體系，達到融會貫通的效果.

3.加強過程性評價，提高反思能力

在日常教學中，評價屬于重要內容之一，可以動態跟蹤和檢查學生的學習結果，為后續教學方案改進提供參考依據.從整體上看，教學評價可分為過程性和結果性兩種，以往教師多采用結果性評價，忽視學生學習過程中的變化.對此，為及時全面了解學生在建模期間遇到的困難和疑惑，教師應加強過程中評價，讓學生充分展示自己的建模思路、過程，談一談自己為何這樣做、靈感來源等，教師充分了解學生真實想法后，再給予科學客觀地評價引導，包含建模方法、思維過程、抽象概括能力、運算能力等多方面著手，依靠全方位、多維度的評價結果，促進學生自我反思能力的提升.

結 語

綜上所述，在高中數學教學中，教師應積極響應素質教育的號召，注重思維和能力培養，將建模思想融入課堂教學，通過合理創建與教材內容相關的情境、提出驅動性問題、開展自主探究等方式，使學生深層次地理解和掌握知識，提高知識應用能力.同時，教師要注重教學方案優化設計、過程性評價，真正做到以學生為本，樹立建模意識，幫助其不斷積累建模經驗和技巧，逐步提高解題水平，并對學生的學習能力、課堂表現、能力和思維等進行綜合評價，促進學生知識遷移、閱讀理解和反思等能力的全面提升.

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