著眼整體，輕松解題

摘要：整體思想是數學思想的重要組成部分，以“集成”的眼光，將某些代數式、圖形視為整體，以此把握已知和所求問題的內在聯系，進而從整體的視角處理問題.本文立足整體思想，基于整體思想的不同表現形式，對其在解題中的具體應用展開探究，旨在強化學生整體思想意識，提升解題能力.

關鍵詞：初中數學；整體思想；核心素養；解題教學

在初中數學解題中，常常會遇到一些特殊的問題，從局部入手，很難各個突破；如果能夠從宏觀的角度出發，運用整體思想分析問題，則可脫離傳統固化解題思維的束縛，出奇制勝，簡便解答問題.同時，整體思想作為一種重要的數學思想，在應用其分析問題、解決問題時，還可以增強學生思維靈活性、敏捷性，為學生更好地解決數學問題奠定堅實的基礎.筆者在調查中發現，整體思想在初中數學解題中占據主要地位，不僅貫穿整個數學解題中，而且其表現形式多種多樣，如整體代入、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊、整體構造等.因此，面對新課程下數學解題要求，初中數學教師應當立足整體思想的內涵，充分挖掘其在解題中的應用，促使學生在整體思想的引領下，提升分析問題和解決問題的能力，并促進數學思維水平的發展.［1］

1整體思想在初中數學解題中的具體應用

整體思想是一種實用型的思想方法，在初中數學解題教學中占據十分重要的地位，貫穿初中數學學習的整個過程，也是中考命題的重點.具體來說，整體思想就是運用集成的眼光看待、分析研究對象中的一個部分或全部，將其視為一個整體，充分把握條件和問題之間的聯系，進而在整體、全局的視角下分析和處理問題.

1.1整體代入

整體代入是整體思想的主要形式之一.在解決數學問題時，結合題目中給出的條件和所求的結論，將某個代數式視為整體，進而對所求問題展開變形、化簡，最終完成數學題目的高效解答.

例題已知1x＋2y=5，求代數式2x＋xy＋y8x-3xy＋4y的值.

分析：在解答本題時，如果按照傳統的思維，需要先將x、y的值求出來，之后再代入代數式中求解.但在本題中，這種局部求解方式很難完成.因此，可以運用整體思想，引導學生圍繞已知條件進行變形，轉化為2x＋y=5xy，所求代數式中也含有2x＋y、5xy的代數式.如此，即可采用整體代入的方式進行求解.

解析：因為1x＋2y=5，所以2x＋y=5xy.

代數式2x＋xy＋y8x-3xy＋4y=2x＋y＋xy4（2x＋y）-3xy=5xy＋xy4×5xy-3xy=6xy17xy=617.

1.2整體設元

整體設元也是整體思想的表現形式之一，主要是在解決數學問題時，將數學表達式中的一個部分視為整體，運用新的未知數表示出來，之后再根據題目中的已知條件求出新元，最終完成題目的解答.在解題實踐中發現，通過整體設元的方式，有效減少了學生的計算量，實現了化繁為簡、化難為易的解題效果.

例題解方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0.

分析：在解決這一問題時，如果按照常規解題思路，先用完全平方公式將其展開，之后再進行計算，解題過程十分煩瑣，學生將面臨極大的運算量.因此，解題時可以運用整體設元的方式，對題目的整體結構進行調整和優化，以便于學生更好地解題.

解析：設x2-2x=t，則原方程等價于t2-3t-4=0

，解方程得t1=4，t2=-1.

當t1=4時，x2-2x=4，解方程得x1=1＋5，x2=1-5；

當t2=-1時，x2-2x=-1，解方程得x3=x4=1.

綜上所述，原方程的根為x1=1＋5，x2=1-5，x3=x4=1.

1.3整體變形

整體變形也是整體思想的主要形式之一，主要是在解題的過程中，圍繞題目中某些局部展開變形，使其呈現出規律性的結構形式，以此簡化學生的解題過程，并減少運算量.

例題已知a=16，求1（a＋1）（a＋2）＋1（a＋2）（a＋3）＋1（a＋3）（a＋4）的值.

分析：在計算這一問題時，如果直接將a的值代入所求問題中，需要先進行通分，之后再計算.這一過程相對煩瑣，在計算過程中極容易出現各種錯誤.因此，可以運用整體思想，先進行整體變形，再進行計算.

解析：1（a＋1）（a＋2）＋1（a＋2）（a＋3）＋1（a＋3）（a＋4）

=1a＋1-1a＋2＋1a＋2-1a＋3＋1a＋3-1a＋4=1a＋1-1a＋4

=3（a＋1）（a＋4）=317×20=3340.

1.4整體合并

整體合并也是整體思想的常見形式.在解決某些數學問題時，將代數式、方程、不等式進行合并之后，往往可實現湊整、消元等目標.因此，在解決初中數學問題時，應立足題目特征，對其進行整體合并，進而使問題變得更加簡單明了.［2］

例題設a、b、c為常數，x、y是任意實數，且滿足A=（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a），B=（b-c）·x＋（c-a）y＋（a-b），C=（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c），求證：A、B、C不都是正數，也不能都是負數.

分析：這一問題難度系數比較高，常規解題思路中很難找到解題的切入點，并且學生需要圍繞a、b、c三個常數中一正兩負、一負兩正進行討論.但是在具體解題中，又因為x、y是任意實數，多數學生都面臨著無從下手的問題.鑒于此，即可融入整體思想，借助整體合并的方式進行消元，以便于學生從全新的視角分析問題、解決問題.

解析：因為A=（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a），B=（b-c）x＋（c-a）y＋（a-b），

C=（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c），

所以A＋B＋C=［（a-b）x＋（b-c）y＋（c-a）］＋［（b-c）x＋（c-a）y＋（a-b）］

＋［（c-a）x＋（a-b）y＋（b-c）］=0.

因為A＋B＋C=0，所以可用反證法對結論進行證明.

假設該結論不成立，則A、B、C同號，如果A、B、C均大于0，則有A＋B＋C＞0，這與題目中已有條件不相符；如果A、B、C均小于0，則A＋B＋C＜0，也與已知條件不相符.因此A、B、C不能均為正數，也不能均為負數.

1.5整體補形

整體補形也是整體思想的重要表現形式，是破解幾何問題的重要途徑.整體補形解題的關鍵在于將原本不規則、非特殊的圖形進行補充，最終成為規則或特殊的圖形.如此，真正實現了化隱為顯，以便于學生在整體補形中，迅速找到解題的切入點，最終完成數學問題的輕松解答.

例題如圖1所示，六邊形ABCDEF六個內角都相等，如果AB=1，BC=CD=3，DE=2，求六邊形ABCDEF的周長.

分析：在本題目中，六邊形ABCDEF并非是一個規則的六邊形，但該六邊形的內角都相等，均為120°.因此，在解答這一問題時，即可通過整體思想，采用整體補形的方式，借助向外作延長線的方式，最終得到一個等邊三角形，進而完成題目的解答.

如圖2所示，分別作AB、CD、EF的延長線以及反向延長線，相交于點G、H、P.

因為六邊形ABCDEF六個內角均為120°，

所以六邊形ABCDEF每一個外角均為60°，

所以△AHF、△BGC、△DPE、△GHP均為等邊三角形.

因為BC=3，DE=2，

所以GC=BC=3，DP=DE=2，

所以GH=GP=GC＋CD＋DP=3＋3＋2=8，

FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，

EF=PH-HF-EP=8-4-2=2，

則六邊形ABCDEF的周長為1＋3＋3＋2＋4＋2=15.

1.6整體配湊

整體配湊也是整體思想的主要表現形式之一.整體配湊立足題目中已知條件、所求結論，對其進行適當地配湊之后，形成特殊化、公式化的題目結構，最終結合相關的形式進行求解.

例題如果a＋2b＋3c=12，且a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c2的值.

分析：按照常規的解題思路，學生需要先將a、b、c的值求出來，再代入代數式求值，但是在這種解題思路中，已知條件無法滿足解題要求.因此，可以運用整體思想，借助整體配湊的方式，利用非負數的性質，精準找出a、b、c的關系，最終結合已知條件進行解答.

解析：因為a2＋b2＋c2=ab＋bc＋ca，所以2a2＋2b2＋2c2=2ab＋2bc＋2ca，

則（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2=0，即a=b=c.

將a=b=c代入a＋2b＋3c=12中，

得a=b=c=2，所以a＋b2＋c2=10.

1.7整體構造

整體構造立足代數和幾何的內在聯系，將代數式賦予幾何意義，并由此構造出幾何圖形，運用數形結合思想解決問題.

例題已知0＜x＜12，求x2＋4＋（12-x）2＋9的最小值.

分析：在解決這一問題時，如果單純地從代數角度上進行思考，會陷入解題困境中.此時，可以立足代數和幾何的內在聯系，采用數形結合思想，作出相應的圖形，將其轉化為幾何問題，最終完成解答.

解析：如圖3所示，設AC=x，則x2＋4＋（12-x）2＋9的最小值即為CD＋CE的最小值.

結合幾何知識得知，當D、C、E三點共線時，x2＋4＋（12-x）2＋9存在最小值，且最小值為DE，DE=122＋（2＋3）2=13.

2基于整體思想解題的教學啟示

在初中數學解題教學中，科學運用整體思想，可促使學生在整體代入、整體設元、整體變形、整體合并、整體構造、整體配湊、整體補形的過程中，將原本煩瑣的問題簡單化，使得學生另辟蹊徑完成題目的解答.［3］如此，不僅優化了學生的數學解題過程，也顯著提升了學生的數學解題能力.整體思想作為一種數學思想，將其融入數學解題教學中，可以促進學生的數學思維發展，為學生學習奠定了堅實的基礎，也落實了數學核心素養下的教學目標.因此，初中數學教師不僅要樹立整體解題思想，并遵循以下原則，將其科學、合理地融入課堂教學中.

2.1整體思想培養原則

（1）滲透性.整體思想運用能力的培養和其他數學思想一樣，并非一蹴而就，而是一項長期的工程，需要經過長期的訓練方可完成.因此，初中數學教師在開展課堂教學時，應反復滲透，讓學生在日常學習過程中了解整體思想，掌握其核心本質，最終逐漸獲得運用整體思想解題的能力.要達到這一目標，教師必須要精心備課，選擇蘊含這一數學思想的題目、知識點展開講解，以便于學生在數學學習中循序漸進地掌握這一數學思想.

（2）明確性.在初中數學課堂教學中，為了引導學生真正理解、內化整體思想，必須遵循明確性的原則，精心選擇出典型問題，使得學生在典型題目的探究中，把握整體思想在數學解題中的應用方式和技巧.同時，鑒于初中生的實際情況，在完成教學之后，教師還應及時帶領學生進行概括、總結，以便于學生在明確的訓練、概括和總結中，真正完成整體思想的內化.

（3）反復性.初中數學教師在培養學生運用整體思想解題時，必須遵循“由簡到難、由具體到抽象、由特殊到一般”的原則，借助反復的訓練，促使學生真正理解、應用整體思想.

2.2整體思想培養策略

鑒于整體思想在初中數學解題中的具體應用，教師必須樹立整體思想解題的意識，將其滲透到數學課堂教學中，使得學生在數學課堂的潛移默化中，逐漸獲得整體思想解題的能力.一方面，教師應注重例題講解.在具體的數學課堂教學中，教師必須立足整體思想的內涵，選擇與教學內容相關的題目，并兼顧題目的代表性，使得學生在針對性的例題學習中，深化整體思想的認知，逐漸形成運用整體思想解題的意識.另一方面，教師還應全面加強應用訓練.在內化整體思想解題的過程中，還應結合教學內容、學生的實際情況，為學生準備相關的練習題目，使得學生在針對性的訓練中，強化整體思想解題意識，提升整體思想解題能力.［4］

3結語

整體思想作為重要的數學思想，將其植入數學解題中，可提升學生解題思維靈活性，使得原本復雜的問題簡單化、陌生問題熟悉化，真正提升了學生的數學解題效率.初中數學教師應當重視整體思想的教學，立足整體思想的內涵，將其滲透到課堂教學中，使得學生在針對性的訓練中，循序漸進提升自身的整體思想解題能力.

參考文獻

［1］王二平.整體思想在初中數學解題中的應用——以“圖形與幾何”問題為例［J］.數理天地（初中版），2022（24）：39-41.

［2］張志華.登高望遠，學以致用——談“整體思想”在初中數學解題過程中的策略達成［J］.中學數學，2020（14）：60-61.

［3］姜華文.淺談整體思想在初中數學解題中的應用［J］.數學教學通訊，2020（11）：63-64.

［4］程小芹.整體思想在初中數學解題中的應用［J］.語數外學習（初中版），2020（4）：28-29.