“相對與絕對”哲學思想在初中數學教學中的價值

【摘要】現代西方哲學觀念中主流的相對觀念認為一切都是相對的，這種哲學觀念被廣泛應用于各個學科中.在數學學科中，基于對《義務教育數學課程標準（2022年版）》的認識，我們利用這種哲學觀念重新審視數學教學，發現其在數學教學中散發著耀眼的光芒，為我們的教學指引著方向.

【關鍵詞】相對；絕對；初中數學；課堂教學

1研究背景：相對觀念在數學教學中散發的美

在一次一元一次方程的一道例題教學中，因一種不常規的解題思路引發了筆者的思考.

例1一艘郵輪從甲港到乙港順流而下需要3小時，由乙港到甲港逆流而上需4小時，一天這艘郵輪從早晨8點由甲港出發去往乙港，到達乙港時發現船上一逃生皮艇在途中落入水中，立刻返回，1小時后遇到逃生皮艇.試問：逃生皮艇是幾點掉入水中的？

有學生提出可以不用方程來解決問題：假設把逃生皮艇當作參照物，不論順流還是逆流，則郵輪與逃生皮艇的相對速度始終是靜水船速，所以返回花一個小時找到就是在到前一個小時丟失，無需列式子解方程就可以知道逃生皮艇是在10點掉入水中的.我們知道物理中有相對運動，學生就是利用相對運動的觀點，選擇的參照物不同來解決問題的，由此不禁讓筆者想到物理中的相對運動更本質的是哲學思想中的相對與絕對.西方現代哲學中居于主流地位的相對觀念認為：一切都是相對的，事物只是相對于人的觀察系統的性質的集合[1]REF_Ref139100625*MERGEFORMAT.事實上，數學的一切真理都是相對真理[2]REF_Ref139100658*MERGEFORMAT.帶著這種哲學觀念重新研讀新課標，能領會到這種哲學思想獨具數學特征.

2理論支撐：相對與絕對理論在數學教學中散發的光

2.1“方程與函數”的“前世今生”

數與代數是學生認識數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石，可以幫助學生從數量的角度清晰地認識、理解和表達現實世界[3]REF_Ref139108418*MERGEFORMAT.眾所周知，函數研究的是變量之間的變化關系，而方程是刻畫現實世界數量相等關系的有效模型.對于一個二元一次方程來說，如果用現實情境賦予它具體的意義，此時方程中的兩個未知數就可以看成兩個變量，而此時的相等關系也就可以看成這兩個變量之間的一種變化關系，那這個二元一次方程也就可以看成一次函數.函數的概念強調，在某個變化過程中，當我們知道任何二元一次方程的相等關系時，都可以賦予其實際意義，將其看成某個變化關系，所以這種看問題的角度是相對的.

2.2“三大變換”的“你中有我，我中有你”

“圖形的變化”強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量REF_Ref139110171*MERGEFORMAT.圖形的變化教學應當通過信息技術的演示、實物的操作，讓學生感悟圖形軸對稱、旋轉、平移變化的基本特征，知道感知變化是需要參照物的，可以借助參照物訴說變化的基本特征.對于圖形軸對稱中的軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系，可以用相對觀念來看：如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這個整體就是一個軸對稱圖形；如果把一個軸對稱圖形位于對稱軸兩旁的部分看成兩個圖形，那么這兩部分圖形就成軸對稱.同樣，中心對稱和中心對稱圖形的區別與聯系也可以用相對觀念來理解.

2.3“樣本與總體”的“父子像”

初中階段統計與概率領域包括“抽樣與數據分析”和“隨機事件的概率”兩個主題，學生通過樣本數據推斷總體特征的方法，以及定量刻畫隨機事件發生可能性大小的方法，形成和發展數據觀念REF_Ref139110204*MERGEFORMAT.統計和概率領域的學習，有助于學生感悟從不確定性的角度認識客觀世界的思維模式以及解決問題的方法.由于是通過樣本數據來推斷的總體特征，所以得出的很多數據都是相對的而不是絕對的.

3實現路徑：相對與絕對的“光芒”指引前行

帶著這種辯證的哲學觀念審視問題，對初中數學教學有很大的啟示作用.以下分別從圖形的變化之平移和圖形的變化之旋轉兩個方面舉例來說明.

例2已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以點B為中心，順時針旋轉矩形ABCD，得到矩形EBGF，點A，D，C的對應點分別為E，F，G．

（1）如圖1，當點E落在線段DF上時，BE與CD交于點H．

①求證：△BED≌△BAD；

②求DH的長度．

（2）如圖2，若矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點P，連接PE，PF，求△PEF面積的取值范圍．

常規思路（1）①利用旋轉的性質可得：∠A＝∠BEF＝90°，AB＝BE，可證△ADB≌△EDB（HL）.②由全等三角形的性質和平行線的性質可得∠BDC＝∠EBD，可得BH＝DH，由勾股定理可求DH的值.

（2）由勾股定理可求BD的值，可得BP＝52.△PEF在動，但EF的長度不變，因此三角形的面積要最小或最大也就意味著EF邊上的高最小或最大.在矩形旋轉過程中，EF邊上的高（設其為h）與PE如果能構成三角形，根據斜邊大于直角邊得h≤PE.又因為根據三邊關系得PE≤BE+BP，當且僅當三點共線時等號成立，所以h≤PE≤BE+BP.所以當E在線段BD上時，△PEF的面積有最小值.同理可得，當點E在線段DB延長線上時，△PEF的面積有最大值．

相對的巧用此題第（2）問的常規思路對絕大多數學生來說難度比較大，運用了直角三角形斜邊大于直角邊以及三角形三邊關系來分析與解決最值問題，學生理解起來并非易事.但此題如果運用相對運動的觀念來解決就非常簡潔，學生理解起來就比較輕松便于掌握.在旋轉矩形的過程中，要求△PEF面積的取值范圍，主要看線段EF和點P，我們知道線段EF會隨著矩形的旋轉變化而運動，而點P是固定不變的.此時可以利用相對運動的觀念：這里看成兩個矩形最開始是重疊的，我們固定EF不變即矩形EBGF位置不變，點P在旋轉，即矩形ABCD繞著B點旋轉，那P點的軌跡是以B點為圓心，BP為半徑的圓（見圖4）.那么求△PEF的面積取值范圍也就是求P點到線段EF的距離的取值范圍，由圖可知其一目了然，令人豁然開朗.

4結語

通過上述具體實例，我們感受到相對的哲學思想在數學解題中的廣泛應用，不應片面地強調相對與絕對，但應明確肯定相對與絕對的辯證思想是數學發展的一種基本形式.

參考文獻：

[1]王元明.現代西方哲學中的相對觀念[J].天津師范大學學報（社會科版），2003（04）：3-7+17.

[2]李長白.數學真理是相對真理—從“第二次數學危機”談起[J].沈陽航空工業學院學報，2004（06）：19-21.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.